数学之友高考模拟卷 1.docx
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数学之友高考模拟卷1
2016高考数学模拟题
(1)
南师大《数学之友》
1.
23
2.
3.已知曲线y=x(x∈R,e是自然对数的底数)在x=-1处的切线和它在x=x(x
≠0)
ex00
处的切线互相垂直,设x∈⎛m,m+1⎞,m是整数,则m=▲.
0⎜44⎟
4.在⊗ABC中,角
⎝⎠
A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=2,且
cos2B+cosB+cos(A-C)=1,当a+2c取得最小值时,最大边所对角的余弦值是
▲.
二、解答题
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x2y2
⎛12⎞
E:
+
a2b2
=1(a>b>0)的离心率为
,点A⎜,⎟
2⎝33⎠
在椭圆E上,射线AO与椭圆E的另一交点为B,点
P(-4t,t)在椭圆E内部,射线AP,BP与椭圆E的另一交
8.
(1)若点M在边BC上,设∠BPM=θ,用θ表示BM和NE的长;
(2)
(1)若数列{an}是等比数列,求实数p的值;
⎧1⎫
(2)是否存在实数p,使得数列⎨
⎩
⎬满足:
可以从中取出无限多项并按原来的先后次
n⎭
(1)若f[f
(1)]<0,求实数k的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(x)-kx2的单调递增区间为D,对任意给定的k>0,均有
理科加试
11.
(1)设所选3人中女生人数ξ,求ξ的分布列及数学期望;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
12.
(1)求a3;
参考答案
一、填空题
4
解:
根据题意D为BC的中点,E为AC的三分之一点,以BC所在的直线为x轴,以线段BC的中垂线为y轴建立图示的直角坐标系,则
222
4
解:
因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的图形关于原点成中心对
由图像可知函数f(x)在区间[-1,1]上为单调递增函数,所以
⎩
解:
当x<0时,f'(x)=x-1,且f'(-1)=-2e,及f(x)⋅(-2e)=-1即:
f(x)=1
>0,
ex0
02e
可以得到x
,即1-x0(-2e)=-1,即
0ex
0ex0
ex0
0
ex0+2ex-2e=0,设g(x)=ex+2ex-2e(x>0),显然g(x)在(0,+∞)上单调递增,
g
(1)=
2
-e<0,g(
3)=
4
-e=-
2
>0,所以x∈⎛2,
⎝
⎠
4
解:
根据题意,-cos(A+C)+cos(A-C)=1-cos2B,化简得:
sinAsinC=sin2B,
=4,当且仅当a=2
,c=
4
解:
集合A表示圆(x+1)2+y2=2上的点,又Q(0,0)∈B,∴集合B表示两条直线
距离d≥r,即|t-1|≥
5
解:
根据题意得:
a2x+max-n+a-2x+ma-x-n=-2,则
(ax+a-x)2+m(ax+a-x)-2n=0,令t=ax+a-x≥2,当且仅当x=0时,取“=”,
t2+mt-2n=0,即点(m,2n)在直线tx-y+t2=0上,m2+4n2可以看成是点(m,2n)到
(m2+4n2)
t22t4
原点的距离的平方,所以
5
min
=()
1+t2
=t2+1
是增函数,当t=2时,
二、解答题
⎛1⎞2⎛2⎞2
⎜3⎟⎜3⎟
a2
解得a2=1,b2=1,
2
+⎝⎠
b2
=1,且=,2
1212
C(x,y)
D(x,y)
uuur=
uuur
uuruuur
设11,
22,AP
λ1PC,BP=λ2PD,其中λ1,λ2∈(0,1),
⎧
⎪x=
(λ1
+1)(-4t)-1
3
⎪1
⎪1
则⎨
⎪(λ1+1)t-
代入椭圆方程并整理得,(λ1+1)⋅18t2=λ1-1,
⎪y=3
1
⎩⎪1λ
12
Q18t2<1,∴λ
8.解:
(1)当点M在边BC上,设∠BPM=θ(0≤tanθ≤3),
4
在△PEN中,不妨设∠PEN=α,其中sinα=3,cosα=4,则
PE=NE,
即NE=
4sinθ=
sin(θ+α)
20sinθ
4sinθ+3cosθ
55
=20tanθ;
4tanθ+3
sin(π-θ-α)
sinθ
4tanθ+34
33
Qtanθ=
<0,tanθ=
4
444
当点M在边CD上,设CD中点为Q,由轴对称不妨设M在CQ上,此时点N在线段AE
上;设∠
MPQ=θ
(0≤tanθ≤4),在Rt△MPQ中,MQ=PQ⋅tanθ=3tanθ;
3
在△PAN中,不妨设∠PAE=β,其中sinβ=4,cosβ=3;
则PA=
AN,即AN=
55
3sinθ=15sinθ
=15tanθ;
sin(π-θ-β)
sinθ
sin(θ+β)3sinθ+4cosθ
3tanθ+4
由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN,得
AN=MQ,即3tanθ=15tanθ;解得tanθ=0或
3tanθ+4
tanθ=1;
3
3
9.
n213
2
a
1
an
⎨⎬
⎩n⎭
当p≠0时,因为a1
=1,2a
n+1
=2an
+
p,即a
⎧1⎫
n+1
-
an=
下面用反证法证明,当p≠0,从数列⎨a⎬不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一
⎩n⎭
0⎨a⎬
⎩n⎭
所以,当n>1-b1,即n-1>-b1,即(n-1)d<-b时,b
=b+(n-1)d =0,这与 dd 1n111 0 (2)当p<0时,令p0n+1-p0<0,解得,n>1-2, 022p 当n>1- p0 时,an<0恒成立, <0矛 n1n11dn e+1 所以k∈(- e 12 (2)g'(x)= -1-2kx>0得2kx x +x-1<0,注意到x>0,得0 所以g(x)的单调递增区间为 0-1+ 1+8k >a,得 (, 4k4k k<1-a 2a2 1-a 2a2 所以a≥1,又a=1时,D⊆(0,a]⇔-1+ 1+8k4k ≤1⇔ ≤4k+1⇔k2≥0, 1 1-x (3)设f(x)=lnx-x-k,x∈(0,e),则f'(x)= -1= x 所以f(x)在(0,1)上单调递 x 增,在(1,e)上单调递减,f (1)=-1-k,f(e)=1-e-k,因此f(x)在区间(0,e)上有两个 ⎩f(e)<0 ⎨ 当⎧f (1)>0,即1-e ⎩f(e)<0 ⎨ ⎧f (1)>0 递增,得在区间f(x)在(0,1)上存在唯一零点,而 ⎩f(e)<0 ,及f(x)在(1,e)上单调递减, 得f(x)在区间(1,e)上存在唯一零点,故f(x)在区间(0,e)上有两个零点的充要条件为 理科加试 33112 ∴ξ的分布列为 C35 C35 C35 ∴Eξ= ξ 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 131 555 3 = 6 (2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C,则P(C)=C41, —4 C35 (3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则 21 = P(A)=C5=1,P(AB)=C41, C32C35 P(A)5 {2,3},{1,2,3},则所有满足题意的集合对(A,B)为({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), (2)设A中的最大数为k,其中1≤k≤n-1,整数n≥3,则A中必含元素k,另元素 1,2,L,k-1可在A中,故A的个数为: C0 1 k-1 +L+Ck-1=2k-1,B中必不含元素 1,2,L,k,另元素k+1,k+2,L,n可在B中,但不能都不在B中,故B的个数为: 1 n-k 2 n-k n-kn-k- =2n-k-1, 从而集合对(A,B)的个数为2k-1⋅(2n-k-1)=2n-1-2k-1, n-1 所以,an=(2 k=1 n-1 -2k-1 )=(n-1)⋅2 n-1 -1-2n-11-2 =(n-2)⋅2 n-1 2016高考数学模拟题 (2) 南师大《数学之友》 4 ),且sin2θ= 1,则sin(θ- 4 4 OC= OB⋅OC=0,则⊗ABC ⎧|2x-1|,x<1 ⎩2-x,x≥1 若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有6个不同的 二、解答题 ︒ 别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区,且AB的长不超过5km,由于条件的限制 AC=akm,a∈[3 2 3] ,设AB=xkm,问该渔民至少 2 直线l 被圆截得的弦长与椭圆 x2y2 C: + a2b2 2 (1)求椭圆C的方程; (2)过点M(0,-1)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问: 在坐标平面上是否存在一个 3 2x 1+x2 ,若直线y=e-x是曲线C: y= f(x)的 (1)求a,b的值; nnn3nn (1)记数列{a}的前n项的和为S,已知S=n2,求证: 数列{a}是数列{a}的等差子列; 的等比子列,求n1的值; 理科加试 (1)假设这名运动员投篮3次,求恰有2次投进的概率; (2)假设这名运动员投篮3次,每次投进得1分,未投进得0分;在3次投篮中,若有2 件“1≤x1 + x2 +L+xn (1)求S2,S4的值; 22 参考答案 解: d=,AB=2 ,所以S⊗OAB=2⨯2 ⨯t= ,当t=2 4 解: 因为θ∈(0,π ),所以sinθ 4 以sinθ-cosθ=- 2 ,故sin(θ- π)= 4 44 24 3 解: V E-FGH 8A-BCD83433 解: 以OB,OC为正交基底建立平面直角坐标系(OB,OC的方向为x,y轴的正方向), 则BC=5,直线BC的方程为x+2y-2 A(4cosα,4sinα),则A到直线BC的距离为 =0,点A在圆x2+y2=16上,设 1 d=≤ 3,- 2 解: 由函数f(x)的图像可得, 使得函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有6个不同的零点, ⎧0<-b<1 ⎪2 2⎪ 必须保证方程g(x)=2x 3 +2bx+1=0在(0,1)上有两个不同的根,⎨3+2b>0, ⎪ ⎪4b2-8>0 ⎩ 解得- 2 (a+1)2 (a+1)2(a+1)2 解: Sn =n ,当n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n-n-1即 (an -1)2=(a n-1 4 +1)2 化简得an -1=±(a n-1 +1)所以an -an-1 4 =2或an =-a 4 n-1(舍去), S+Sm2+n2 4(m2+n2) 令n=1,解得a1 Skk =(m+n)2,又 4(m2+n2) 2(m-n)2 S+S (m+n)2 -2= (m+n)2 S k 二、解答题 7.解: 根据题意S△ABD +S△ACD =S△ABC, 即1x⋅1⋅sin60︒+122 x AC⋅1⋅sin60︒= a 1x⋅AC⋅sin120︒,解得: AC= 2 x x-1 令0< x-1 ≤a,解得: x≥ a-1 a 又 a-1 -5= 5-4a a-1 <0,所以 aa-1 令△ABC的面积为y, 则y= 1x⋅AC⋅sin120︒= 2 ⋅x2= 4x-1 [(x-1)+ 4 1 x-1 ©当aa-1 ≤2,即2≤a≤3时,y≥ 3(2+2)= 4 ,当且仅当x=2时取"="; º当aa-1 >2,即3≤a<2时,令t=x-1,t∈[2 1 a-1 再令f(t)= 4t4t2 Q1>1,∴f'(t)>0即f(t)在t∈[1,4]上为单调递增函数, a-1 所以fmin(t)= a-14(a-1) a-1 答: 当2≤a≤3时,养殖区面积的最小值为 平方公里, 当3≤a<2时,养殖区面积的最小值为 2 4(a-1) 8.解: (1)由题设,可知b= =1, x22 又e=,a=,所以椭圆C的方程是+y 22 (2)法一: 假设存在点T(u,v),若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1, 3 设点A,B的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则x1,2= 6k2+3 uur 因为(x - u,y- uur=(x - u,y - v)及y =kx -1,y =kx -1, TA11 v),TB22 113223 所以,TA⋅TB=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v) =(k2+1)xx-(u+1k+kv)(x+x)+u2+v2+2v+1 1231239 (6u2+6v2-6)k2-4ku+(3u2+3v2+2v-5) , 6k2+3 当且仅当→→恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T, TA⋅TB=0 ⎧6u2+6v2-6=0, ⎨ 所以⎪u=0, 39 ⎧x2+y2=1 ⎪ ⎧x=0 解得⎨y=1 ⎩⎪39⎩ 当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为x2+y2=1,过点T(0,1); 当直线l的斜率存在,设直线方程为y=kx-1,代入椭圆方程, 3 ⎧x+x= 12k, ⎪1218k2+9 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则⎨-16 ⎩⎪12 18k2+9 →→及y =kx -1,y =kx -1, QTA=(x1,y1-1),TB=(x2,y2-1) 113223 →→ ∴⋅=xx + (y -1)(y -1) TATB1212 =(k2+1)xx-4k(x+x)+16 123129 =-16(k2+1)-4⋅12k+16= 18k2+93k18k2+990 ⎨ ⎧a-lnx0-1=-1 根据题意得,, ⎩e-x0=ax0+b-x0lnx0 ⎨ ⎧a=lnx0 ⎩b=e-x0 又f (1)=1=a+b=lnx0+e-x0 令h(x)=lnx-x+e-1(x>1),h'(x)=1-1,所以h(x)在(1,+∞)为单调递减函数, x (2)因为f(x)=x-xlnx(0 所以f(x)在(0,1)上为单调递增函数; 要证上式成立,只要证n-nlnn> n2-1 2nn2+1 ' ,即证lnn- (n2-1)2 n2-1 n2+1 <0, 令r(n)=lnn-(0 n2+1 n(n2 +1) >0, 所以r(n)在(0,1)为单调递增函数,所以r(n) (1)=0, 所以lnn- n2-1 n2+1 (2)根据题意,a3=a5-2d=6-2d,公比q=6-2d, 6 所以an 6 1-2d 又a=a5+(n1-5)d=6+(n1-5)d, 366 所以d=1,n1=8或d=2,n1=11或d=-3,n1=6, 设数列{a k }为{an}的等差子列,公差为d,则an =a⋅qnk-1,a nk+1 =a⋅qnk+1-1, 所以a nk+1 - ank =a1 当q>1时,qnk+1-nk-1≥q-1,所以d =ank+1 - ank ≥a1 取nk >1+logq ,所以a nk+1 - ank 当q<1时,d =a1 ⋅ qnk-1⋅qnk+1-nk-1≤a ⋅ qnk-1⋅(qnk+1-nk +1)<2a1 ⋅ qnk-1, 取nk >1+logq ,所以a nk+1 - ank 理科加试 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 0.008 0.096 0.128 0.256 0.512 22 若x1+x2+L+xn=k(1≤k≤m),只要x1,x2,L,xn中有k个取1或-1其余均取0即可,共有Ck⋅(C1)k=2k⋅Ck,所以 n2n Sn=C12+C222+L+Cm2m =C020+C121+C222+L+Cn2n-(2m+1+2m+2+L+2n)
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