盈亏问题.docx
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盈亏问题
盈亏问题
【盈亏问题公式】
(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:
(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。
(2)两次都有余(盈),可用公式:
(大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数。
(3)两次都不够(亏),可用公式:
(大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。
(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:
亏÷(两次每人分配数的差)=人数。
(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:
盈÷(两次每人分配数的差)=人数。
一、 基本型盈亏问题
基本概念:
一定量的物体,按照某种标准进行分组,最后会产生一种结果;
按照另一种标准进行分组,又会产生另一种结果。
基本特点:
两个未知:
总份数,总数。
两个一定:
总份数不变,总数不变。
基本思路:
比较法:
(1)总份数=总差÷每份差
(2)再代到任一条件求总数。
基本题型:
盈盈型:
总份数= (较大余数‐较小余数)÷每份差;
亏亏型:
总份数= (较大不足数‐较小不足数)÷每份差;
盈亏型:
总份数= (余数+不足数)÷每份差。
如:
小朋友分苹果,每人4本多10个;每人6本少8个,问多少人多少苹果?
两个未知:
人为份数,苹果为总数;
两个一定:
人数不变,苹果数不变。
(1)人数= (10+8)÷(6‐4)=9
(2)苹果数=4×9+10=46 (或6×9‐8=46)
我们遇到的题目一定首先分清什么是份数,什么是总数,可以套一下人分苹
果模型,人为份数,苹果为总数。
有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。
例1:
(2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛)A、B买了相同张数的信纸。
A在
每个信封里装1张信纸,最后用完所有信封还剩40张信纸;B在每个信封里装3张信纸,最后用完所有的信纸还剩40个信封。
他们都买了多少张信纸?
分析与答:
信封为份数,信纸为总数。
每个信封里装3张信纸,最后用完所有的信纸还剩40个信封,相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。
即:
每个信封里装1张信纸,还剩40张信纸;
每个信封里装3张信纸,120张信纸。
信封数= (40+120)÷(3‐1)=80
信纸数=80×1+40=120
注:
很多同学的错误解法是信封数=(40+40)÷(3‐1)=40
一定注意第二个条件要把份数转化成总数再做题目。
学案一:
用绳子测游泳池水深,绳子两折时,多余60厘米;绳子三折时,还差40厘米,求绳子长和水深。
分析与答:
水深为份数,绳长为总数。
注意两折时,实际上是绳长多60×2=120厘米
三折时绳长少40×3=120厘米
水深:
(120+120)÷(3‐2)=240厘米
绳长:
2×240+120=600厘米
二、份数变化型盈亏问题
基本型盈亏解决的是份数不变的题目,当份数变化时一定把它转化成对应的
人数不变的情形。
例2:
(2010走美)春节前夕,一个富翁向该帮帮众施舍一笔钱财。
一开始他准备给每人100元,结果剩下350元,他决定每人多给20元。
这时从其他地方闻讯赶来了5个乞丐,如果他们每个人拿到的钱和其他乞丐一样多,富翁还需要再增加550元,原有多少名乞丐?
分析与答:
乞丐分钱,乞丐为份数,钱为总数。
人数增加5人,每人120元差550元,相当于人数不增加,每人120元,余下120×5‐550=50元
即:
每人100元,余350元;
每人120元,余50元
人数:
(350‐50)÷(120‐100)=15
学案4:
发奖金,如果每人发90元,余下900元;如果人数增加
到2倍,奖金少了1800元。
问多少人?
多少奖金?
分析与答:
人分奖金,人为份数,钱为总数。
如果人数增加到2倍,每人90元,相当于人数不变每人180元。
如果每人发90元,余下900元;
如果每人180元,少了1800元。
人数:
(900+1800)÷(180‐90)=30人
奖金:
30×90+900=3600元
附:
练习:
人分球,每人5个多10个,人数增加到3倍,每人2个少8个,问多少人多少球?
(18人,100个球)
三、 盈亏问题在行程问题当中的应用:
例3:
小华从家到学校,他先用每分钟50米的速度走了2分钟,如果这样走下去,他就要迟到8分钟;如果改用每分钟60米,会早到5分钟,求家到学校的距离。
分析与答:
时间为份数,路程为总
先不看开始每分钟50米的速度走了2分钟,即50×2=100米
分析CB段:
每分钟走50米,迟到8分钟,走到规定时间,还差50×8=400米没走到(即走到D,路程比他走的多400米);
每分钟走60米,早到5分钟,走到规定时间,还能多走60×5=300米(即走到E,路程比他走的少300米)。
计划时间:
(400+300)÷(60‐50)=70分钟
CB路程:
50×70+400=3900米
家到学校距离AB:
3900+100=4000米。
四、 分组标准不统一的盈亏问题:
基本型盈亏解决的是分类标准统一的题目,当分类标准不统一时一定把它转
化成对应的分类标准统一的情形。
统一的标准一般是“其余”
学案3:
少先队去植树,每人挖5个坑,还有三个没人挖;如果其中2人各挖4个,其余每人挖6个,就刚好挖完。
有多少人,多少坑?
分析与答:
人为份数,坑为总数。
如果其中2人各挖4 个,其余每人挖6个,就刚好挖完。
相当于每人挖6个差(4‐2)×2=4个坑。
即:
每人挖5个坑,多3个;
每人挖6个坑,差4个。
人数:
(3+4)÷(6‐5)=7人
坑总数:
7×5+3=38个
注:
如果其中2人各挖4个,其余每人挖6个,就刚好挖完。
分类标准不统一,有人挖4个。
也有人挖6个。
统一成与“其余”一样,每人挖6个差(4‐2)×2=4个坑。
例4:
同学搬砖,有12人每人各搬7块,有20人每人各搬6块,其余每人各搬5块,这样最后剩下148块;如果有30人每人搬8块,有8人每人搬9块,其余每人搬10块,这样最后还剩下20块。
问有多少学生多少砖?
分析与答:
人数为份数,转数为总数。
有12人每人各搬7块,有20人每人各搬6块,其余每人各搬5块,这样最后剩下148块。
分类标准不统一,统一标准找其余每人各搬5块。
即所有人都搬5块,那么搬7块的人每人能剩下7‐5=2块,12人可剩下12×2=24块;有20人每人各搬6块,可剩下20×(6‐5)=20块,
这时共剩下24+20+148=192块。
本条件转化为:
如果每人各搬5块,则剩下
12×(7‐5)+20×(6‐5)+148=192块。
如果有30人每人搬8块,有8人每人搬9块,其余每人搬10块,这样最后还剩下20块。
分类标准不统一,统一标准找其余每人各搬10块。
即所有人都搬10块,那么搬8块得每人差10‐8=2块,30人差2×30=60块;那么搬9块得每人差10‐9=1块,8人差1×8=8块,这时共差60+8‐20=48块。
本条件转化为:
如果每人各搬10块,差(10‐8)×30+ (9‐8)×8‐20=48块。
如果每人各搬5块,剩192块;
如果每人各搬10块,差48块。
人数:
(192+48)÷(10‐5)=48人
砖数:
48×10‐48=432块
五、份数为多种事物的盈亏问题:
基本型盈亏解决的是份数是同一种事物的题目,当份数不是同一种事物时一
定把它转化成对应的份数是同一种事物的情形。
转化条件找题目中描述两种事物
对应关系的关键条件。
学案4:
(走美真题)幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友,如果分给大
班的小朋友,每人5粒缺6粒;人过分给小班的小朋友,每人4粒余4粒。
已知大班比小班少2个小朋友,这袋糖果共有多少粒?
分析与答:
人数为份数,糖果数为总数。
分大班:
每人5粒缺6粒;
分小班:
每人4粒余4粒。
份数不是同一种,即大班小班人数不一样,要先转化成同一个班,转化依据
是“大班比小班少2个小朋友”,
方法一:
把小班转化成大班:
分小班:
每人4粒余4粒,转化成分大班:
每
人4粒余4×2+4=12粒。
即:
分小班:
每人5粒,缺6粒;每人4粒余12粒。
大班人数:
(12+6)÷(5‐4)=18人
糖果总数5×18‐6=84粒
方法二:
当然本题也可以把分大班:
每人5粒缺6粒的条件转化成分小班:
每人5粒缺5×2+6=16粒,希望孩子们自己试试。
例5(2010年迎春杯四年级初赛)小红去买水果,如果买5千克苹果则少4元,如果买6千克梨则少3元,已知苹果比梨每500克贵5角5分,问小红带了多少钱?
分析与答:
苹果和梨的单价为份数,总钱数为总数。
买苹果:
买5千克少4元;
买梨:
买6千克少3元。
份数为两种事物:
苹果和梨,因此要转化为同一种,转化依据是“苹果比梨
每500克贵5角5分”即:
苹果比梨每千克贵1.1元。
方法一:
把梨转化为苹果:
买梨:
买6千克少3元,用这些钱去买苹果,买6千克应该少1.1×6+3=9.6元。
方法二:
把苹果转化成梨:
买苹果:
买5千克少4元,用这些钱去买梨,买5千克应多1.1×5‐4=1.5元,
买梨:
买5千克多1.5元;
买6千克少3元。
梨的单价:
(1.5+3)÷(6‐5)=4.5元每千克
总钱数:
4.5×6‐3=24元
六、 同时分配多种事物的盈亏问题:
基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目,当同时分配的事物不只一种
时,把其中某一种的分配数量调整相同,再比较数量不同的那一种。
例6 (全国奥赛竞赛试题)苹果和梨各有若干个,如果每5个苹果和3个梨装一袋,还多4个苹果,梨正好装完;如果7个苹果和3个梨装一袋,苹果恰好装完,梨还多12个。
苹果和梨各多少个?
分析与答:
同时分配两种事物:
苹果和梨;
每袋:
5个苹果+3个梨,还多4个苹果;
7个苹果+3个梨,还多12个梨。
盈亏问题的核心思路是比较法:
两种分法梨数量相同无法比较,所以应比较苹果数量,每袋7个苹果+3个梨,还多12个梨,
如果把全部梨分完还需要12÷4×7=28个苹果,
每袋:
5个苹果+3个梨,还多4个苹果;
7个苹果+3个梨,还差28个苹果。
袋数为份数,苹果数为总量。
袋数:
(28+4)÷(7‐5)=16袋
梨数:
16×3=48个
苹果数:
16×5+4=84个。
补充题(南京兴趣杯竞赛试题)有若干苹果和梨,如果1个苹果和3个梨放一堆,那么苹果分完时还剩2个梨,如果按半个苹果配两个梨一堆,那么梨分完时还剩半个苹果,苹果和梨各多少个?
分析与答:
如果1个苹果和3个梨放一堆,还剩2个梨;
如果0.5个苹果和2个梨一堆,那么梨分完时还剩0.5个苹果。
与上道题的不同之处在于苹果和梨的数量都不相同,选择把苹果的数量统一成一个(也可把梨的数量统一成6个,但是两个条件都要变,麻烦)即:
如果1个苹果和4个梨一堆,那么梨分完时还剩0.5个苹果。
如果1个苹果和3个梨放一堆,还剩2个梨;
如果1个苹果和4个梨一堆,那么梨分完时还剩0.5个苹果。
这时苹果数相同,梨数不同,比较梨数,梨分完时还剩0.5个苹果,把这0.5个苹果分完,还差0.5×2个梨。
原题转化为:
如果1个苹果和3个梨放一堆,还剩2个梨;
堆数为份数,梨为总数。
共(2+2)÷(4‐3)=4堆,即4个苹果
梨数:
4×3+2=14个
七、 两次分配的是两种不同事物的盈亏问题:
基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目,当分配的事物不只一种时,根
据题中的条件,把其中某一种的转化为另一种。
例7:
幼儿园有苹果和桃子,苹果数是桃子的2倍,分给小朋友们。
每人分桃5个,最后余下桃子15个;每人分苹果14个,则苹果数差30个,那么幼儿园有桃和苹果各多少个?
分析与答:
分桃:
每人5个剩15个;
分苹果:
每人14个差30个。
方法一:
根据苹果数是桃子的2倍,把分苹果:
每人14个差30个,转化为分桃:
每人7个差15个。
即:
分桃:
每人5个剩15个;每人7个差15个。
人数:
(15+15)÷(7‐5)=15人
桃数:
15×5+15=90个
苹果数:
90×2=180
方法二:
根据苹果数是桃子的2倍,分桃:
每人5个剩15个相当于分苹果:
每人10个剩30个.孩子们可以自己试试。
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