第一章集合.docx
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第一章集合
第一章集合
教学目的:
集合论是本课程的基础.引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.
重点难点:
DeMorgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要
遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.
§1.1集合概念
具有一定性质的对象的全体称为集或集合,其中的对象称为该集的元或元素•集合的元素必须彼此互异,而且归属明确.一般以大写字母A,B,X,Y等表示集合,以小写字母a,b,x,y等表示集的元素.若x是集合X中的一个元,则我们记X壬X.并称X属于X或X包含X;若X不是集合X中的元,则我们记X芒X.不包含任何元素的集合称为空集,记为*•若一个集合只含有一个元素X,则该集称为单元素集,并记为*}.注意W^X!
类似地,{xi,X2,…,Xn}表示含元素Xi,X2,…,Xn的集,可简记为QU缶约定
以专用字母表示一些最常用的集,例如,字母N,乙Q,R,C分别表示自
若对集X中的每一个元素X,有一命题P(x)与之对应,则记号
{x忘X:
p(x)}表示X中使命题P(x)成立的一切元素x所构成的集.例如
对每一X忘X,令P(x)表示命题"0cxc1",则{x忘R:
P(X)}就是开区间
(0,1).
设A和B是两个集.若A中所有兀素都是B的兀素,则称A是B的子集,记为AUB.若AUB同时BUA,则称A和B相等,记为A=B.
我们规定,空集*是任何集合的子集.
定理1.1.1(i)对任何集合A,有AUA
(ii)若对集合A,B禾口C有AUB,BUC,贝JAUC.
§1.2集合的运算
一、集合定义
在运用集合时,经常需要将一复杂的集分解为某些较简单的集的某种“组合”,或利用已知集合构造特定的新集,这都依赖于集的运算•设X是一个集合,A和B都是X的子集,我们来定义下面几种运
并.由A中所有元与B中所有元汇合在一起构成的集称为A和B
的并,记成aUb,即
aUB={x:
X亡A或X亡b}
交•既属于A又属于B的所有元构成的集称为A和B的交,记成
A^B,即
a"B={x:
x€A且X迂b}
差•属于A但不属于B的所有元构成的集称为A和B的差,记成
A-B,即
A-B={x:
X亡A但X誉b)
补特别,X_A称为A关于X的补集,记成A,即
Ac=X-A
图1是几种运算示意图.
Ac
1.2
.1
B和C都是X的子集,则
(i)AUB=BUA,AAB=BAA(交换律);
(ii)(AUB)UC=AU(BUC),(AAB)AC=AA(BAC)(结合律);
(iii)(AUB)AC=(AAC)U(BAC)(并对交的分配律),
(AAB)UC=(AUC)A(BUC)(交对并的分配律);
(iv)(AUB)c=AcABc,(AAB)c=AcUBc(对偶律).
二、集族概念
并和交的运算可以推广到更多个集合的情形,设集合X的每个
元都是X的子集,此时称X是X上的一个集族,例如R中所有开区间就是R上的一个集族.
今若X是X上的一个集族,则我们把乞:
存在Au文使X忘A称为集族X的并,并记成U{a:
A€)~}.此外把集5对每一A迂X有A称为集族X的交,并记成n{a:
a亡x}.
对每一i"={1,2,3,…,n},有X的子集A与之相对应,则集族
nn
f・1flUAinAj
{AN"}记成{AiI空,其并和交分别记为y和y;又若
A={1,2,3,…,n,…},贝y集族{"iJl}即{An:
n-n}记成,称为一个
□CCC
UAnnAn集合序列,其并和交分别记为心和心
一般,若对集A中每一元A有集X的一个子集比与之对应,则我们得到X上的一个集族X},此时该集族的并和交分别记为
UA'nA-
U%:
八2及ng丄f也可以写成总人及总:
f
UAzgJ
集族的并和交有和定理1.2.1中类似的对偶律即DeMorgan公式.定理122(DeMorgan公式)设g环是集X上的一个集族,则xc
三、直积的概念和常见例子.
设Xi和X是两个集,任取xi-Xi和X2-X2,就得到一个序对
(Xi,X2).所有这样的序对全体构成的集称为Xi和X2的直积,记为Xi
XX2,即
X1XX2二幺Xi,X2):
Xi忘Xi,x^X2}
XiXX2中的两个元(xi,x2)和(yi,y2)称为相等的,若xi=yi,x2=y2.
n
fTnXk
类似地,若'xJi兰勺是n个集,则它们的直积记为7,定义为
n
nXk={(Xi,X2,…,Xn):
Xk忘Xk,1 ki n nXk 即心中的元是一个“n隹向量"(XZ,…,Xn),它的第k个“分 n nXk 量”Xk迂Xk,1兰k兰n若Xk=x(1兰k兰n),则将匕写作xn,称为X的n重积或n次幕. fxnXk 最后集合序列^Xk^k>的直积km定义为 □c nXk=qxi,X2,…,Xk,…): Xk亡Xk,k>1} k三 oC nXk 即心中的元是一个序列(为必,…,Xk,…),其中Xk-Xk/k^1 积集使用十分广泛,常见的例子是: (i)n维Euclid空间Rn,正是R的n重积: Rn Rn二仏兀,…,Xn): Xk亡R,1 R1就是R,即实数直线,R2是理解为平面,R3理解为空间, 中分量全为0的元就记为0,称为原点. (ii)Qn是Rn中的有理点的全体,即 Qn二…,rn): m亡Q,1兰k zn二你1*2;",kn): kiZ,1n} (iv) IXJ={(X,y): X亡I,y亡J} 是R2中一矩形•一般地,对任何集A,B,通常将积集AXB形象地看 作一个以A,B为“边”的矩形. §1.3对等与基数 、映射 在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.在数学分析中函数的 定义域通常是Rn的子集,值域是实数集集.若将函数的定义域和值域换成一般的集,就得到映射的概念. 设X和Y是两个集合.若按某种对应关系或法则,使得对每一X迂 X,Y中有唯一的一个元y与之相对应,则我们说给出了从X到Y的 一个映射若用f表示此映射,则f,X和Y之间的关系可用 f: XTY 表示;此外上述X和y之间的关系表示为 y=f(X) y称为X在映射f下的像,X称为y在映射f下的原像.若对任何y壬Y, 存在X忘X使y=f(x),则称f是完全映射;若对X中任何两个不同的 兀X1和X2有f(xjHf(X2),则f称为是1-1映射. 仍设f: XtY.令X表示X的子集全体,Y表示Y的子集全体. 对每一A忘X及B忘Y令 f(A)={f(X): x忘A},f二(B)f(X)亡B}, 则f(A)称为A在f下的像,f」(B)称为B在f下的原像•这样,给了 f: XTY,按上述法则,我们诱导出两个新的映射: 现在,特别地若f: XTY是完全1-1映射,则对每一泸Y,X中有且只有一个元X使f(x)=y.此时若定义L(y)=x(y=f(x)),则f, 是Y到X的一个完全1-1映射,它称为f的逆映射. 现设给了三个映射: f: XTY,g: YtZ,h: ZtW 此时对每一X壬X,定义 u(x)=g(f(X)), 则U成为X到Z的映射,它称为g和f的复合,记为 按照此定义,h"gr)及(hy)r都是X到W的映射. 定理1.3.1设f: XTY,g: YtZ,h: ZtW,则 (i)h气gr)=(hy)r (ii)若f和g都是完全1-1映射,则gs: xtz也是完全1-1 映射. 二、对等与基数 我们要比较某教室里的学生数与座位数谁多谁少? 如果每个学 生都有一个座位,而且每个座位上都有一个学生,那么我们根本用不着一个一个地去数学生与座位,便可断定学生数和座位数是相同的; 若每个学生都坐一个座位后,还有空座位,则可断定座位数比学生数多;若每个座位上都坐一个学生后,还有学生没座位坐,则可断定座位数比学生数少.现在我们把这种方法推广到比较任何集合元素的多少. 若在集A和B之间存在一个完全1-1映射,贝y我们称A和B对等,记为A〜B. 例如若acb,f(X)=a+(b—a)x,则f: [0,1]t[a,b]是完全1-1映射,所以[0,1]〜[a,b]. 又如g(x)=tgx,则g: (_2,2)tR是完全1-1映射,故(-;,;) R. 定理132 (i)对任何集A有A〜A(自反性); (ii)若A〜B,则B〜A(对称性); (iii)若A〜B且B〜A,则A〜C(传递性). 定理133设{a-川a}是一个两两不相交的集族,{bqW}也是一个两两不相交的集族.若对每一几有A入〜B),,则 U亿: 几亡AU{b: X€a). 证明: 由条件,对每一a-A,令垸: A扎TB扎是完全1-1映射. 现对每一},有且只有一个g忙,使x^A几,此时就定 于是可知f: U{A]: 川Rtufe]: 扎是完全1-1映射. /uA 除了A〜B,有时也用A=B表示A与B对等,其中A和B分别称 为a和B的基数或势•这样,两个集合有相同的基数即两个集合对等. 三、基数的比较 设a和B是两个集,若a与B的一个子集对等,则我们记A 若A 此外,若A是有限集并且A〜{12…,n},则记A=n,n就是A 中元素的个数;若A是可数集,则记A=a;A有连续统势的情况, 我们已经知道记为A=c.这样,对每一正整数n,nwa,并且acc. 定理134(Bernstein)(i)对任何集 A (ii)若A (iii)若A 证明: 只证(iii). 由A A〜Bi,其中BluB.即存在完全1-1映射f: ATB,, Bi=f(A).
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