北京中考最短路径问题综合汇编无答案.docx
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北京中考最短路径问题综合汇编无答案
最短路径问题
练习
一.选择题(共4小题)
1.(2016秋房山区期末)如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为()
A.6B.8C.10D.12
2.(2015秋通州区期末)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=6,CD是△ABC的一条高线.若E,F分别是CD和BC上的动点,则BE+EF的最小值是()
A.6B.3
C.3
D.3
3.(2014秋昌平区期末)如图,等边△ABC的边长为6,E是AC边上一点,AD是BC边上的中线,P是AD上的动点.若AE=2,则EP+CP的最小值为()
A.2B.
C.4D.
4.(2011秋东城区期末)如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=2,点E、F分别是OA、OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于2,则α=()
A.30°B.45°C.60°D.90°
二.填空题(共5小题)
5.(2016秋门头沟期末)如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,则△PQR周长的最小值为.
6.(2014春海淀期末)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边的中点,BF平分∠ABC交AD于F,P是BF上任意一点,∠ABC=60°,AB=4,则PE+PA的最小值为.
7.(2011秋昌平期末)已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=6,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2的周长为;若OA上有一动点M,OB上有一动点N,则△PMN的最小周长为.
8.(2011秋海淀期末)已知点A(﹣2,3)和点B(3,2),点C是x轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,则点C的坐标为.
9.(2010秋东城期末)已知如图所示,∠MON=40°,P为∠MON内一点,A为OM上一点,B为ON上一点,则当△PAB的周长取最小值时,∠APB的度数为.
三.解答题(共15小题)
10.(2014东城二模)我们曾学过“两点之间线段最短”的知识,常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题,下面是大家非常熟悉的一道习题:
如图1,已知,A,B在直线l的同一侧,在l上求作一点,使得PA+PB最小.
我们只要作点B关于l的对称点B′,(如图2所示)根据对称性可知,PB=PB′.因此,求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小,显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小,因此连接AB′,与直线l的交点,就是要求的点P.
有很多问题都可用类似的方法去思考解决.
探究:
(1)如图3,正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,P是BD上一动点.连结EP,CP,则EP+CP的最小值是;
(2)如图4,A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组成△ABC,使△ABC周长最小;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)如图5,平面直角坐标系中有两点A(6,4)、B(4,6),在y轴上找一点C,在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小,则点C的坐标应该是,点D的坐标应该是.
11.(2013昌平二模)
(1)【原题呈现】如图,要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
解决问题:
请你在所给图中画出泵站P的位置,并保留作图痕迹;
(2)【问题拓展】已知a>0,b>0,且a+b=2,写出
的最小值;
(3)【问题延伸】已知a>0,b>0,写出以
、
、
为边长的三角形的面积.
12.(2012通州一模)小明在学习轴对称的时候,老师留了这样一道思考题:
如图,已知在直线l的同侧有A、B两点,请你在直线l上确定一点P,使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的作法是这样的:
①作点A关于直线l的对称点A′.
②连接A′B,交直线l于点P.则点P为所求.请你参考小明的作法解决下列问题:
(1)如图1,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使得△PDE的周长最小.
①在图1中作出点P.(三角板、刻度尺作图,保留作图痕迹,不写作法)
②请直接写出△PDE周长的最小值.
(2)如图2在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,G为边AD的中点,若E、F为边AB上的两个动点,点E在点F左侧,且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时,请你在图2中确定点E、F的位置.(三角板、刻度尺作图,保留作图痕迹,不写作法),并直接写出四边形CGEF周长的最小值.
13.(2013石景山一模)问题解决:
已知:
如图,D为AB上一动点,分别过点A、B作CA⊥AB于点A,EB⊥AB于点B,联结CD、DE.
(1)请问:
点D满足什么条件时,CD+DE的值最小?
(2)若AB=8,AC=4,BE=2,设AD=x.用含x的代数式表示CD+DE的长(直接写出结果).
拓展应用:
参考上述问题解决的方法,请构造图形,并求出代数式
的最小值.
14.(2009昌平一模)请阅读下列材料:
问题:
如图1,点A,B在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得AP+BP的值最小.
小明的思路是:
如图2,作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线l的交点P即为所求.
请你参考小明同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)如图3,在图2的基础上,设AA′与直线l的交点为C,过点B作BD⊥l,垂足为D.若CP=1,PD=2,AC=1,写出AP+BP的值;
(2)将
(1)中的条件“AC=1”去掉,换成“BD=4﹣AC”,其它条件不变,写出此时AP+BP的值;
(3)请结合图形,直接写出
的最小值.
15.(2015秋怀柔期末)请阅读下列材料:
问题:
如图1,点A,B在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得AP+BP的值最小.
小明的思路是:
如图2所示,先作点A关于直线l的对称点A′,使点A′,B分别位于直线l的两侧,再连接A′B,根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求.
请你参考小明同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)如图3,在图2的基础上,设AA'与直线l的交点为C,过点B作BD⊥l,垂足为D.若CP=1,AC=1,PD=2,直接写出AP+BP的值;
(2)将
(1)中的条件“AC=1”去掉,换成“BD=4﹣AC”,其它条件不变,直接写出此时AP+BP的值;
(3)请结合图形,求
的最小值.
16.(2015秋昌平期末)已知:
如图所示,点P,Q分别代表两个小区,直线l代表临近小区的一条公路.点P到直线l的距离为
千米,两点P、Q所在直线与直线l的夹角为45°,两小区P、Q之间的距离为1千米.根据居民出行的需要,计划在公路l上的某处设置一个公交车站.考虑到修路的费用问题,希望车站的位置到小区P和小区Q的距离之和m最短,请在公路l上画出车站的位置(用点M表示,保留画图痕迹,不写作法),并求出m的值.
17.(2013秋房山期末)
(1)已知:
图1中,点M、N在直线l的同侧,在l上求作一点P,使得PM+PN的值最小.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)图2中,联结M、N与直线l相交于点O,当两直线的夹角等于45°,且OM=6,MN=2时,PM+PN的最小值是.
18.(2013秋昌平期末)如图,四边形ABCD中,AD=2,∠A=∠D=90°,∠B=60°,BC=2CD.
(1)在AD上找到点P,使PB+PC的值最小.保留作图痕迹,不写证明;
(2)求出PB+PC的最小值.
19.(2013秋朝阳期末)在平面直角坐标系xOy中,等腰三角形ABC的三个顶点A(0,1),点B在x轴的正半轴上,∠ABO=30°,点C在y轴上.
(1)直接写出点C的坐标为;
(2)点P关于直线AB的对称点P′在x轴上,AP=1,在图中标出点P的位置并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,在y轴上找到一点M,使PM+BM的值最小,则这个最小值为.
20.(2012秋房山期末)
(1)如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.请你在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
(2)如图2,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10.请你在OA上找一点Q,在OB上找一点R,使得△PQR的周长最小.要求:
画出图形,并计算这个最小值是.
21.(2012秋通州期末)已知:
如图,某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城,途中需要到河流l边为汽车加水,汽车在河边哪一点加水,才能使行驶的总路程最短?
(1)请你在图上画出这一点.(保留作图痕迹)
(2)根据图示,求出最短路程.
22.(2011秋海淀期末)已知点A(2,1)和点B(3,2),点C是y轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,求点C的坐标.
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