1995年全国初中数学竞赛试题及答案整理docx.docx
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1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1.[2知a=3",b=444,c=5^,贝ij有[]
D.a A.a 2.方程组pfF,的正整数解的组数是 xz-yz=23 [] A.1B.2C.3D.4 3.如果方程(x-l)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是【】 B・ 4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆 的周长为[] A.62nB.63兀C.64nD.65兀 5.设AB是。 O的一条弦,CD是。 O的直径,且与弦AB相交,记“=I ^ACAB-S^DABI,N=2S2\OAB,则[] A.M>NB.M=NC・M 6.设实数a、b满足不等式丨丨a丨—(a+b)I A.a>0Ab>0B・a<0月.b>0 C・a>0JELb<0D.aVO且b<0 二、填空题 1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有个。 2・己^口虫是: 易^&疋22+盟—上=O白勺彳艮,贝IJ -4 气亠节—;——的價等于- +a斗——虫丄 3・设远为正实数,贝U函数y=x2-x+丄的最小值 X 4.以线段AB为直径作一个半鬪,鬪心为O,C是半鬪周上的点,且 第二试 、已知ZACE=ZCDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、 C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为ACDE的内心。 A. 二、在坐标平而上,纵坐标与横坐标都是整数 20的点称为整点,试在二次函数 10105 的图象上找岀满足y 三、试证: 每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于111互质的口然数Z和。 1995年全国初中数学联赛参考答案 笫一试 一、选择题 1.讲解: 这类指数幕的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有 0=(53)11=12511 <243n=(35)n=a <25611=(44)1,=bo选C。 利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以,但没有优越性。 2.讲解: 这类方程是熟知的。 先由第二个方程确定z=l,进而可求出两个解: (2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组 Jxy+y=63,① [x+y=23, 直接判断: 因为xHy(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,选B。 3.讲解: 显然,方程的一个根为1,另两根之和为x,+x2=2>1o三 根能作为一个三角形的三边,须且只须丨xj-x2IVI又 有0W4—4mVl. 解得 但作为选择题,只须盼|代入得方程的根划、I'r不能组成三角形,故包硏松、氏D均可否定,选C. 4•讲解: 四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在 ab2+ad2 =252+602 =52X(52+122) =(32+42)X132=392+522 =BC2+CD2 故可取BD=65为直径,得周长为65Ji,选D. 5. 讲解: 此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为冇些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB为直径,则M=N=0,于是就选B.其实,这只能排除A、C,不能排除D. 不失一般性,设CE2ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且$厶 ace—SAADE=SAAEF=2SA0E.冋理,Sabce—ABDE=2SAB0E.相加,得S AABC—ADABAOAB*即M=N・选B・ 若过C、D、O分别作AB的垂线(图3),CE丄AB、DF丄AB、OL丄AB,垂足分别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又曲垂径分弦定理,知L是EF的中点.根据课本上做过的一道作业: 梯形对角线中点的连线平行底边,并R等于两底差的一半,冇 ICE-DFI=20L・ 两边乘以*AB,可得 乙 即M=N.选B・ 6・讲解: 取a=・l、b=2可否定A、C、D,选B.—般地,对已知不等式平方,有 IaI(a+b)>aIa+bI. 显然IaII(a+b)I>0(若等于0,则与上式矛盾),有 条+b〉負 Ia+bIlai, 两边都只能取1或・1,故只冇1>-1,即 a+b_[a_ 有aV0且a+b>0,从而b>-a>0.选B・ 二、填空题 1.讲解: 本题虽然以计算为载体,但首先要有试验观察的能力.经计算12,22,…,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后,对两位数10a+b,有 (10a+b)2=20a(5a+b)+b2・ 其十位数字为b? 的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,也中有b=4或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,冇2X9+1=19・ 2.讲解: 这类问题一般都先化简后代值,直接把a =兰返代入将导致复杂的计算. 由己知, 原式二 有a2+a= (a-1)(a2+a+1)a2(a_1)(a+l)2 学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将护+a作为整体代入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活•比如,由①有 a3+a2=^-a,② a5+a4=卜*③ 由②一①,得 a3-a=扌@一1)・④ 由③一②并将④代入,得 于是,原式=/_]=i6@2+a+1)16(a_1) =16(扌+1 )=20. 还可由①得 a2+a+1=寸, ⑥三⑤即得所求. 3.讲解: 这个题口是将二次函数y=x2—x与反比例函数 y=丄作叠加,要求学生在掌握二次函数求最值X (配方法)的基础上,做综合性与灵活性的运用.逬行两次配方: y=仗_1)2+(扳_ 或厂矽―咚T)+i》i. 因而x=l时,y有最小值1. 4.讲解: 此题由笔者捉供,原题是求sin ZCAB,让初中生用代数、儿何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sinl5°・解法如下: 图5 首先ZACBF‘进而4畀,代入己知条件,有 (^AB)2=AC・BC,① 与AB2=AB2+AC2② 联立,可推出 ac+bc=^|ab.③ 而式①、③表明,AB、AC是二次方程£aBx+字=0的两个根,解得 xr士亿任 X1.24・ 当EC=逅时, 4 sinZCAB=^=品;旋(ZCAB=7宁); 当BC=二迈AB时, sinZCAB=(ZCAB=15°). 改为求ZCAB之后,思路更宽一些.女口,由 saabc=1ac-bc=1oc2, Sgc=2S®c=2・|OC2smZAOC, 得sinZAOC=|・ 当ZAOCF时,ZCAB=1(180^-30^)=75°; 当ZAOC=150°Bj-,ZCAB=-(180°-150°) 2 =15° 第二试 一、讲解: 首先指出,木题有IMO29-5(1989年)的背景,该题是: 在直角△ABC屮,斜边BC上的高,过AABD的内心与AACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L,AABC和厶AKL的面积分别记为S和T.求证S 在这个题口的证明中,要用到AK=AL=AD. 今年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK=AL=AD(斜边上的高),再求证KL通过ZSABD、AADC的内心(图7). 其次指出,本题的证法很多,但思路主耍有两个: 其一,连FC、FD、FE,然后证其中两个为相应的角平分线;其二是过F作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相等•下面是几个有代表性的证法. 证法1: 如图6,连DF,则市已知,有 ZCDF=ZCAB=45"=丄ZCDE,故DF为2 ZCDE的平分线. 连BD、CF,由CD=CB,矢U ZFBD=ZCBD-45° =ZCDB-45°=ZFDB, 得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上,CF是ZECD的平分线. 由于F是ACDE上两条角平分线的交点,因而就是厶CDE的内心・ 证法2: 同证法1,得出ZCDF=45°=90。 -45°=ZFDE之后,由于ZABC二ZFDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得 ZFBD=ZFDBZ后,立即冇ZFED=ZFBD=ZFDB=ZFEB,即EF是ZCED的平分线. 木来,点E的信息很少,证EF为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了,因而证法2并不比证法1复杂. 由这个证明可知,尸是厶DCB的夕卜心• ZCDF=ZCAB=45°=-ZCDE,知DF是 2 ZCDE的平分线.故F为CDE的内心• 证法4: 如图8,只证CF为ZDCE的平分线.ftlZAGC=ZGBA+Z GAB=45°+Z2, ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB+Z1 =45°+Z1 得Z1=Z2. 从而ZDCF=ZGCF, 得CF为ZDCE的平分线. 证法5: 首先DF是ZCDE的平分线,故 ACDE的外心I在直线DF上. 现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系,并记CA=CB=CD=d,则一直线 AB是一次函数 y=-x+d① 的图象(图9).若记内心I的坐标为(X】,力),则 X[+y]=CH+IH=CH+HB=CB=d 满足①,即I在直线AB上,但I在DF上,故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是F,从而证得F为RtACDE的内心. 还可延长ED交OO于P],而CP为直径來证. 二、讲解: 此题的原型由笔者提供.题目是: 坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点. 于第一象限内,纵坐标小于横 对二次函数汗1995,请找出其位坐标的格点. 这个题目的实质是解不等式 l 求正整数解.直接解,数字较繁.但有巧法,由 l+2+-+x=x(x: l)=i995+y 及lWyVx, 知1+2——(x—l)V1995Vl+2+・・・+x・ 但1953=1+2+…+62<1995<1+2+・・・+62+63=2016,得x=63,从而y=21,所求的格点为(21,63). 经过命题组的修改之后,数据更整齐11便于直接让算. 解法1: 己知即斗产<1x1, 有X? —x+18W10lx|.当x$0时,有x2-llx+18W0, 得2WxW9,代入二次函数,得合乎条件的4个整点: (2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x<0时,有x? +9x+18WO, 得・6WxW・3,代入二次函数,得合乎条件的2个整点: (■6,6),(-3,3). 解法2: 由尸呛一讣+18为整数,知x关于模I。 的 余数只能为2(或-8)、、7(或-3)、9(或・1)・ 对x$0,取x=2,4,7,9,12,14,・・・顺次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且当x>9时,由 0,知y〉-z,再无满足尺IxI的解. 对xvO,取x=・l,・3,・6,•&…顺次代入,得(・3,3)、(-6,6),且当xv・6时,由 1卄y+"=10Kx+2)-4] >—[-6-F—)2-—]=O, 10L4 知y>・x,再无满足yWIxI的解. 故一共冇6个整点,图示略. 解法3: 先找满足条件y=IxI的整点,即分别解方程 x2-llx+18=0① x2+9x+18=0② 可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).再找满足y 依次检验得(4,3)、(7,6).故共冇6个整点. 三、讲解: 直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n—2中,必有一个数A与n互质(2WAWn—2),记 B=n—A22, 有n=A+B・ 此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>l,贝临也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾. 但是,对于初中生來说,这个A的存在性冇点抽象,下面分情况,把它具体找出來. (1)当n为奇数时,冇 n=2+(n—2), n+1 (2)当n为偶数,但不是4的倍数时,有 =口一1+门+4 由n〉6知今〉1,且学、号■均为奇数, n+4 4)=1. 小一4 (3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有 n+2 由门〉6知韦〉1,且碍均为奇数, 宁)=(宁,2)=1 专业好文档精心整理欢迎下载
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