扇形周长和面积公式.docx
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扇形周长和面积公式
扇形周长和面积公式
(经典版)
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扇形周长和面积公式
这是扇形周长和面积公式,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
扇形周长和面积公式第1篇
扇形面积
S扇=LR/2(L为扇形弧长,R为半径)
S扇=αR2/2(α为弧度制下的扇形圆心角,R为半径)
S扇=πnR2/360(n为圆心角的度数,R为半径)
S扇=π(R^2)*N/360(N扇形的度数)
扇形周长
若半径为r,直径为d,扇形所对的圆心角的度数为n°。
C=2r+(n÷360)πd=2r+(n÷180)πr
扇形所对的圆心角的度数为n°,大圆半径为R,小圆半径为r。
C=2*(R-r)+π(R+r)/180*n
如果两个圆不是同心圆,角度分别为n,m。
大圆半径为R,小圆半径为r。
C=2*(R-r)+π(R*n+r*m)/180
扇形弧长
在圆上过2点的一段弧的长度叫做弧长。
n是圆心角度数,r是半径,α是圆心角弧度。
l=nπr÷180
l=n/180·πr
l=|α|r
l=n°πR÷180°
扇形周长和面积公式第2篇
教学内容:
*教育出版社义务教育教科书《数学》六年级上册第75、76页。
教学目标:
1、认识弧、圆心角以及他们之间的对应关系,认识扇形。
2、能准确判断圆心角和扇形。
3、理解扇形的大小在同一个圆中与圆心角有关,了解扇形与所在圆的关系。
4、感受图形之美,体会生活中处处有数学。
教学重点:
认识弧、圆心角、扇形,能准确判断。
教学难点:
理解扇形的大小在同一个圆中与圆心角有关,了解扇形与所在圆的关系。
教具准备:
课件。
教学过程:
一、复习旧知
出示口算,指名生答。
480=240
6=24
3.145=15.7
5=25
+=
-=0
二、激趣导入
课件出示生活中常见的扇形物体:
扇贝、扇形藻、折扇。
师:
它们的名称中都含有一个扇字,它们的形状都是这样的(课件抽象出图形)我们把它们称为扇形,今天我们就来研究扇形。
(板书课题:
扇形)
三、教学新课
1.师提问:
关于扇形,你想知道什么?
生答:
定义,各部分名称,周长,面积,大小与什么有关,怎样画扇形
师选择*板书:
定义,各部分名称,周长,面积,大小与什么有关
2.师指出:
扇形的定义和它各部分的名称,数学书上有介绍,下面请同学们打开打开数学书第75页自学这部分内容。
生自学,同时师在黑板上画出一个虚线圆和扇形不作标注,另外再画两个圆,标好圆心和一条半径。
3.自学后反馈:
自学完了,你知道了什么?
①生答:
圆上a、b两点之间的部分叫做弧,读作弧ab。
师:
你能在黑板上找到弧ab吗?
请一名学生上黑板指出。
②生答:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
师:
请你上来指指。
他指得对吗?
师生共同小结:
扇形是由一条弧和两条半径围成的,所以扇形的定义是:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
③生答:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
师:
真棒,你能在黑板上指出来吗?
我们来看看这个扇形的圆心角的特点:
一,顶点在圆心。
二,它的两条边其实就是半径。
三,他所对的圆上的部分是所在扇形的弧。
扇形周长和面积公式第3篇
教学目标:
1、掌握扇形面积公式的推导过程,初步运用扇形面积公式进行一些有关计算;
2、通过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中,渗透从特殊到一般,再由一般到特殊的辩*思想.
教学重点:
扇形面积公式的导出及应用.
教学难点:
对图形的分析.
教学活动设计:
(一)复习(圆面积)
已知⊙o半径为r,⊙o的面积s是多少?
s=r2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积,如图中*影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题:
已知⊙o半径为r,求圆心角n的扇形的面积.
(二)迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤:
(1)圆周长c=2
(2)1圆心角所对弧长=;
(3)n圆心角所对的弧长是1圆心角所对的弧长的n倍;
(4)n圆心角所对弧长=.
归纳结论:
若设⊙o半径为r,n圆心角所对弧长l,则(弧长公式)
2、探究新问题
教师组织学生对比研究:
(1)圆面积s=
(2)圆心角为1的扇形的面积=;
(3)圆心角为n的扇形的面积是圆心角为1的扇形的面积n倍;
(4)圆心角为n的扇形的面积=.
归纳结论:
若设⊙o半径为r,圆心角为n的扇形的面积s扇形,则
s扇形=(扇形面积公式)
(三)理解公式
教师引导学生理解:
(1)在应用扇形的面积公式s扇形=进行计算时,要注意公式中n的意义.n表示1圆心角的倍数,它是不带单位的;
(2)公式可以理解记忆(即按照上面推导过程记忆);
提出问题:
扇形的面积公式与弧长公式有联系吗?
(教师组织学生探讨)
s扇形=lr
想一想:
这个公式与什么公式类似?
(教师引导学生进行,或小组协作研究)
与三角形的面积公式类似,只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看作底,r看作高就行了.这样对比,帮助学生记忆公式.实际上,把扇形的弧分得越来越小,作经过各分点的半径,并顺次连结各分点,得到越来越多的小三角形,那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
(四)应用
练习:
1、已知扇形的圆心角为120,半径为2,则这个扇形的面积,s扇=____.
2、已知扇形面积为,圆心角为120,则这个扇形的半径r=____.
3、已知半径为2的扇形,面积为,则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形,其弧长为,则这个扇形的面积,s扇=____.
5、已知半径为2的扇形,面积为,则这个扇形的弧长=____.
(,2,120,,)
例1、已知正三角形的边长为a,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生*完成,对基础较差的学生教师指导
(1)怎样求圆环的面积?
(2)如果设外接圆的半径为r,内切圆的半径为r,r、r与已知边长a有什么联系?
解:
设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为r,r,面积为s1、s2.
s=.
∵,s=.
说明:
要注意整体代入.
对于教材中的例2,可以采用典型例题中第4题,充分让学生探究.
课堂练习:
教材p181练习中2、4题.
(五)总结
知识:
扇形及扇形面积公式s扇形=,s扇形=lr.
方法能力:
迁移能力,对比方法;计算能力的培养.
(六)作业教材p181练习1、3;p187中10.
(二)
教学目标:
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上,会计算弓形面积;
2、培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析问题和解决问题的能力;
3、通过面积问题实际应用题的解决,向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点:
扇形面积公式的导出及应用.
教学难点:
对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计:
(一)概念与认识
弓形:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦ab把圆分成两部分,这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
(二)弓形的面积
提出问题:
怎样求弓形的面积呢?
学生以小组的形式研究,交流归纳出结论:
(1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差;
(2)当弓形的弧大于半圆时,它的面积等于扇形面积与三角的面积的和;
(3)当弓形弧是半圆时,它的面积是圆面积的一半.
理解:
如果组成弓形的弧是半圆,则此弓形面积是圆面积的一半;如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积;如果组成弓形的弧是优弧,则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说:
要计算弓形的面积,首先观察它的弧属于半圆?
劣弧?
优弧?
只有对它分解正确才能保*计算结果的正确.
(三)应用与反思
练习:
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______;
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______.
(学生*完成,巩固新知识)
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m,其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想,分析:
(1)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m为你提供了什么数学信息?
(2)求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息?
(3)扇形、三角形、弓形是什么关系,选择什么公式计算?
学生完成解题过程,并归纳三角形oab的面积的求解方法.
反思:
①要注重题目的信息,处理信息;②归纳三角形oab的面积的求解方法,根据条件特征,灵活应用公式;③弓形的面积可以选用图形分解法,将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知:
⊙o的半径为r,直径abcd,以b为圆心,以bc为半径作.求与围成的新月牙形aced的面积s.
解:
∵,
有∵,
组织学生反思解题方法:
图形的分解与组合;公式的灵活应用.
(四)总结
1、弓形面积的计算:
首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧,从而选择分解方案;
2、应用弓形面积解决实际问题;
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
(五)作业教材p183练习2;p188中12.
(三)
教学目标:
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法;
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力;
3、渗透图形的外在美和内在关系.
教学重点:
简单组合图形的分解.
教学难点:
对图形的分解和组合.
教学活动设计:
(一)知识回顾
复习提问:
1、圆面积公式是什么?
2、扇形面积公式是什么?
如何选择公式?
3、当弓形的弧是半圆时,其面积等于什么?
4、当弓形的弧是劣弧时,其面积怎样求?
5、当弓形的弧是优弧时,其面积怎样求?
(二)简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形,并体验图形的外在美,激发学生的研究兴趣,促进学生的创造力.
2、提出问题:
正方形的边长为a,以各边为直径,在正方形内画半圆,求所围成的图形(*影部分)的面积.
以小组的形式协作研究,班内交流思想和方法,教师组织.给学生发展思维的空间,充分发挥学生的主体作用.
归纳交流结论:
方案1.s*=s正方形-4s空白.
方案2、s*=4s瓣=4(s半圆-s△aob)
=2s圆-4s△aob=2s圆-s正方形abcd
方案3、s*=4s瓣=4(s半圆-s正方形aeof)
=2s圆-4s正方形aeof=2s圆-s正方形abcd
方案4、s*=4s半圆-s正方形abcd
反思:
①对图形的分解不同,解题的难易程度不同,解题中要认真观察图形,追求最美的解法;②图形的美也存在着内在的规律.
练习1:
如图,圆的半径为r,分别以圆周上三个等分点为圆心,以r为半径画圆弧,则*影部分面积是多少?
分析:
连结oa,*影部分可以看成由六个相同的弓形amo组成.
解:
连结ao,设p为其中一个三等分点,
连结pa、po,则△poa是等边三角形.
说明:
①图形的分解与重新组合是重要方法;②本题还可以用下面方法求:
若连结ab,用六个弓形apb的面积减去⊙o面积,也可得到*影部分的面积.
练习2:
教材p185练习第1题
例5、已知⊙o的半径为r.
(1)求⊙o的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙o直径(2r)的比值;
(2)求⊙o的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).
例5的计算量较大,老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识,提高学生的计算能力.
说明:
从例5
(1)可以看出:
正多边形的周长与它的外接圆直径的比值,与直径的大小无关.实际上,古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数,使正多边形的周长趋近于圆的周长,从而求得了的各种近似值.从
(2)可以看出,增加圆内接正多边形的边数,可使它的面积趋近于圆的面积
(三)总结
1、简单组合图形的分解;
2、进一步巩固了正多边形的计算以,巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
(四)作业教材p185练习2、3;p187中8、11.
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心,以l为半径画弧所交成的四瓣梅花图形,如图
(1)所示.
再分别以四边中点为圆心,以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的花形,如图(12)所示.
探讨:
(1)两图中的圆弧均被互分为三等份.
(2)两朵花是相似图形.
(3)试求两花面积
提示:
分析与解
(1)如图21所示,连结pd、pc,由pd=pc=dc知,pdc=60.
从而,adp=30.
同理cdq=30.故adp=cdq=30,即,p、q是ac弧的三等分点.
由对称*知,四段弧均被三等分.
如果*了结论
(2),则图(12)也得相同结论.
(2)如图(22)所示,连结e、f、g、h所得的正方形efgh内的花形恰为图
(1)的缩影.显然两花是相似图形;其相似比是ab?
ef=?
1.
(3)花形的面积为:
扇形周长和面积公式第4篇
教学内容:
人民教育出版社义务教育教科书《数学》六年级上册第75、76页。
教学目标:
1、认识弧、圆心角以及他们之间的对应关系,认识扇形。
2、能准确判断圆心角和扇形。
3、理解扇形的大小在同一个圆中与圆心角有关,了解扇形与所在圆的关系。
4、感受图形之美,体会生活中处处有数学。
教学重点:
认识弧、圆心角、扇形,能准确判断。
教学难点:
理解扇形的大小在同一个圆中与圆心角有关,了解扇形与所在圆的关系。
教具准备:
课件。
教学过程:
一、复习旧知
出示口算,指名生答。
480=240
6=24
3.145=15.7
5=25
+=
-=0
二、激趣导入
课件出示生活中常见的扇形物体:
扇贝、扇形藻、折扇。
师:
它们的名称中都含有一个扇字,它们的形状都是这样的(课件抽象出图形)我们把它们称为扇形,今天我们就来研究扇形。
(板书课题:
扇形)
三、教学新课
1.师提问:
关于扇形,你想知道什么?
生答:
定义,各部分名称,周长,面积,大小与什么有关,怎样画扇形
师选择性板书:
定义,各部分名称,周长,面积,大小与什么有关
2.师指出:
扇形的定义和它各部分的名称,数学书上有介绍,下面请同学们打开打开数学书第75页自学这部分内容。
生自学,同时师在黑板上画出一个虚线圆和扇形不作标注,另外再画两个圆,标好圆心和一条半径。
3.自学后反馈:
自学完了,你知道了什么?
①生答:
圆上A、B两点之间的部分叫做弧,读作弧AB。
师:
你能在黑板上找到弧AB吗?
请一名学生上黑板指出。
②生答:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
师:
请你上来指指。
他指得对吗?
师生共同小结:
扇形是由一条弧和两条半径围成的.,所以扇形的定义是:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
③生答:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
师:
真棒,你能在黑板上指出来吗?
我们来看看这个扇形的圆心角的特点:
一,顶点在圆心。
二,它的两条边其实就是半径。
三,他所对的圆上的部分是所在扇形的弧。
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