整理高等数学同济第七版7版下册习题全解.docx
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高等数学同济第七版7版下册习题全解
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y
2
D2
-1
O
iT
—2
图10—1
数,故
/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr.
fhi)i
又由于d3关于;t轴对称,被积函数(/+r2)3关于y是偶函数,故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy1):
从而得
/,=4/2.
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意:
如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix,—y)=-f(x,y),PJ
jf/(x,y)da=0;
D
如果积分区域D关于:
k轴对称,而被积函数/(x,y)关于:
c是奇函数,即
/(~x,y)=-/(太,y),则
=0.
D
«3.利用二重积分定义证明:
(1)jjda=(其中(7为的面积);
IJ
(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj|y’(a:
,y)do■(其中A:
为常数);
on
(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!
U/)2,,A为两个
I)b\lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数。
/U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
jj'ltr=Hmy^/(,rji)A =limcr=a。 A-0 n (2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^ i)1 n =Alimy/(^(,i7,)A(7-,=k\\f{x,y)Aa. A—°台•{! (3)因为函数/U,y)在闭区域/)上可积,故不论把£»怎样分割,积分和的极限总是不变的。 因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线。 这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和,记为 ^/(^,,17,)Act,=^/(^,,17,)Act,+^/(^,,17,)Act,. /)(U0,",l): 令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限,即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da. p,un}V,n; Sa4。 试确定积分区域/),使二重积分][(1—2x2—y2)d«ly达到最大值。 I) 解由二重积分的性质可知,当积分区域/>包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点,而不包含使被积函数1—2/-y2小于零的点,即当£»是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时,此二重积分的值达到最大. &5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)Ju+y)2山7与J[U,其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+。 、= DI) 1所围成; (2)J(x+7)2如与■,其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2= t)n 2所围成; (3)I’mA;+y)(lor与! ”[In(X+y)]2(1(7,其中Z>是三角形闭K域,三顶点分别为 l)" (1,0),(1,1),(2,0); (4)Jpn(: r+y)dcr与In(: t+y)]2fW,其中/)=|(。 r,.v)|3,0彡、彡1。 i)i) 解 (1)在积分K域0上,故有 (x+j)3^(x+y)2。 根据二重积分的性质4,可得 J(.r+y)\lrx^J(。 \+v) 0D (2)由于积分区域0位于半平面|(a: ,V)|。 V+•、彡11内,故在/)|: &(。 f+y)2彡(a+y)3•从『("•J(v+>): drr^jj(x+y)\lfr。 (3)由于积分区域D位于条形区域1U,y)|1彡1+7彡2丨内,故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1,从而有[lnU+y)]2彡lnU+。 y)。 因此 jj[ln(a: +y)]2(Jo—^+y)d (4)由于积分区域/)位于半平面丨(x,y)|。 v+y彡e|内,故在Z)上有ln(x+y)彡1,从而: In(—v+)')]2彡In(: c+)’)。 因此 Jj^1n(。 r+y)]2dcr^Jln(x+y)da. i)a 36。 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)/=|^7(文+7)心,其中/)=\(x,y)1,01|; n (2)/=j^sin^sin^do■,其中/)=j(a: ,y)|0^^^tt,0^y^tt1; i) (3)/=J*(A: +y+l)d(7,其中/>={{x,y)|0^x^l,0^j^2[; it (4)/=J(x2+4y2+9)do•,其中D=\{x,y)\x2+y2^4|。 I) 解 (1)在积分区域D上,0矣;<: 矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此 (2)在积分区域/)上,0矣sinj: 矣1,0^sin1,从而0彡sin2A: sin2y彡1,又0的面积等于tt2,W此 (3)在积分K域”上有\^x+y+\«4,/)的而积等于2,因此 (4)W为在积分K域/〉»上有0矣;t2+y2苳4,所以有 9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25。 34I)的酣枳等于4tt,W此 36tt^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir。 二重积分的计算法 .^1.计算下列二甩积分: (2)l<3x十2);dcr,其中"是由两坐标轴及直线—X-+v=2听围成的闭区域; b (3Jjj(xJ+3x2\+v3)da,其中D=(x,v)0^a: ^1.0^v^1; u (4)jjxcas(X+Yjdo■,其中Z〉是顶点分别为(0.0j<77,0)和(77,77)的三角形闭 区域。 m(1 (x24—V2)d(T=fdxf(X2-hV2)dV dx jfh (2)D可用不等式表示为 于是 2r2-x 3xy+y2]l~xdx=|(4+2x—2x2)dx 20 (3) (+3x2y+y3)da=d〉(文3+3。 r2v+、、)ch. +xy+v"jc di (4)l)可用不等式表示为 0^V^A: ,0^。 t^7T。 于是 |a: cos(jc+y)da=Icos(.v+v)di [sin(。 t+y)]q()^=Jv(sin2。 v—sin.v)<1xx(\(cos.v—丄(.〈,s2.v) 卜( 1X(— TTrTX cos。 v-—rus TT。 &2。 _出枳分ix: 域,斤i卜r): v列m分: (1)J^^do■,其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域; D (2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域; I) (3)JV+’dcr,其中/)=I(%,)•)||A;|+|J|^1! ; D (4)|”U2+/-x)〈lo•,其中D是由直线y: l、y二xh: 2*所围成的闭区域. D 解 (1)0可用不等式表示为 x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2)。 于是 (2) 0«^^/4—y2,-2矣7矣2(图10—3), D可用不等式表示为 (3)如阁I()—4,W=/\U”2,其中 /〉1=\(x,y)\—x-\^y^Jc+1,-1^a;^0|, I)2=\(x,y)|*-1+ 因此 Ea3。 如果二重积分|/(.r,y)心办的被积函数/(x,v)是两个函数/](O及)的乘 n 积,即/(X,y)=f\(x)./“y),积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫 这个二重积分等于两个单积分的乘枳,即 |*/|U)—/2(r)flatly=[J/,(.v)(l.v]—[[/: (>)^v]— 证Jj。 /1(x)•.,2(/)dvdV~J[fJ\(v)■./: t^]l^x* 在上式右端的第一次单枳分f/,(。 V)•/2(.V)dv中,。 /,(A。 )1Jfut变招: 、无关,nn见为常数提到积分5外,W此上式“端笏T 而在这个积分中,由于f/2(y)dy为常数,故又可提到积分号外,从而得到 •f2<,y)^xAy=[|/2(y)dj]—[Jn/,(x)dx] 证毕。 ^4.化二重积分 /=Jf(x,y)da I) 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域£>是: (1)由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域; (2)由x轴及半圆周/+y2=r2(y英0)所围成的闭区域; (3)由直线y=x,;c=2及双曲线: k=^-(*〉0)所围成的闭区域; X (4)环形闭区域IU,y)|1+y2^4(. 解 (1)直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10—6).于是 fix /=j[dy^/(*,y)tk. f(x,y)dy, (2)将/)用不等式表示’fyO^y^r2—x2,-r^W/•,于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分: r /=J(1文Jf(x,y)(\y; 如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/•,则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分: dr x,y)dx。 (3)如图10—7. : 条边界曲线两两相交,先求得3个交点为(1,1),2,y和 (2,2).于是 dy(i_/(^,y)+tlj/(x,y)dx。 |dxj[f(x,y)dy。 注本题说明,将二重积分化为二次积分时,需注意根据积分区域的边界曲线的情况,选取恰当的积分次序。 本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由-个方程给出,而左边界曲线却分为两段,由两个不同的方程给出,在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利,这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分。 需要指出,选择积分次序时,还需考虑被积函数/U,y)的特点。 具体例子n]'见教材下册第144页上的例2。 dx •\/4 J\xyy)dy+d.vl (1% /T /(A: y)clr+d.vl ■ya—x2 /(。 r,v)d>—f/(。 vVv)dv。 /(.v,v)d。 v—f .\/4-、 /(\,>)d。 v-f 厂、/4—、•' •I -v^W” /(v,y)(l。 \。 (4)将D按图10-8(a)和图10—8(1>)的两种不同方式則分为4块,分別得 图10—8 ,5.设/U,y)在D上连续,其中/)是由直线;==所围成的闭区 域,证明 x,r)d。 t。 dx|f(x,y)Ay 证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y)do•,因而它们相等。 I) ^6.改换下列二次积分的积分次序: (5)(lx\f{x,y)Ay\ 广2fyix—x2 (4)|叫2f{x,y)dy-, fix/-sinx (6)IAx\J(x,y)Ay. JOJ-siny (2)J)dj|: f(x,y)dx; 解(丨)所给二次积分等于二重积分J[/U,;k)(^,其中o=丨h,y)1°^^^r— ” 0^j^I(./〉n|■改写为|Uj)|*矣y矣1,0^^I|(罔10—9),于是 原式=丄 (2)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山,.K: 中/)=I|。 y2^^<2y, 0 0^21。 MI)njm为{u’y)I音矣j^7^,0^x在4)(1冬11(〉—I0),W此 原式=J,i\xjy/(x,y)i\y。 (3)所给二次积分等于二重积分。 其中D=: (。 v.v)|-V1 -y2^ .V^1 $、飞 V彡1 U X^J1—y2,0彡〉•彡1;•又D可表示为: (JC,)*)丨0彡y彡V1—。 r2,—1=(图10—11),因此 f1fV1—X~ 原式=J^dxj/(x,v)dy. (4)所给二次积分等于二重积分其中D=: (.v.v)'2— h s/lx-x1%\彡.r彡2: .又D可表示为: (a: v)|2—1彡.t•彡1+Y1-v2,0: (图10—12),故 原式=丄d)jf(x%y)dx。 (5)所给二次积分等于二重积分]|/(.10)(1^,)1: 中/)=1(.v。 v)|0^v^ I) x彡e|•又/)可表示为|(a: ,>•)|e、彡a•彡e,0彡、彡1i(|劄10—1,故 原式=L(I.、|,./X.、,。 、)(l。 v。 (6)m1()—14,将积分|〉<: 域/)丧示为/),U/)2,其中A),=jU,、)|arcsin>^ /(x,y)dx. y 广1rir-arcsin> 原式=Idyf(xyy)c\x JOJarcsin) tt—arcsiny,0彡y彡1|1,D2=|(.r,y) 一2arcsin,一1彡)’彡0|。 于是 ^7。 设平面薄片所占的闭区域D由直线;t=2,y=和;r轴所围成,它的面密度 /x(.t,v)=x2+y2,求该薄片的质量. 解D如图10-15所示.所求薄片的质 rt -x+xy dr M=jJ/Lt(x9y)dcr=^dyj(x2+y2)dx Ay r[+(2")3+2, ~d\2x 12 |冬|10—15 c\)’'ixe|o»•Y=sinA的反闲数足A=iirrs»My——1x 足ihy-hinx=sin(tt—x)"n! Jtt—x^arcKiny,从ifii得反闲数^ (子•中,TT tt—iin-Hiny. 8.i|灯|l|四个平而a: =0,y=0,;t=I,v=I所闲成的柱休被平面z=0及2.r+3y+z6藏得的立休的体积。 解江力一EJ.它? ? 芪是;c0: .S二苎泛7: 省•。 =X.;,0矣二矣 0^;。 €1。 了是芒-2x-3: 。 F10-]6。 g-护不二歹 l=|(6-2j: —3;.dxdv=dx6—lx—5•.d’. Sa9.求由平面a: =0,y=0,^+: ,•=]所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c: ,: .: =6—: £.得的」/。 体的体积. 解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOv面上的闭区域D=.0«^1-: ,. 顶是曲面Z=f)— V-(I6—^x2+y2)dx(\y 6(1-x)-x2+-—f1 广1广1—戈 dx^(6-x~ \1_ 6"* 10—17 m10-18 H.r 这10。 求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积。 _2^2 解由=T+'}’消去z,得;c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6—2x2—j2 区域为 D=|(x,y)|x2+〆矣2|(图10—18).所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差: V=(6-2x2—y2)dcr—x2+2y2)dcr l)I) =JJ(6—3^r2—3y2)da=jj(6-3p2)pdpd0 /-2tt d0[(6-3p2)pdp=6tt。 注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时,并不一定要画出立体的准确图形,但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程,这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识• y11。 両出积分区域,把积分J[/(A: y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区 U 域D是: (1)\(xyy)\X2+y2^a2I(a>0); (2)|{xyy)\x2+y2^2^|; (3)|(x,y)|a2彡x2+y1彡62|,其中0〈a<6; (4)j(xyy)|0^j^1-x,0^x1|。 解 (1)如图10-19,在极坐标系中,0=|(p,0)|0彡p彡a,0彡(9彡2tt1,故 ^j\x,y)AxAy—jj/(pcos0,psin6)pdpd0 /—2tTr〈l (1^1/(pcos0,psin0)pAp. (2)如图10—20,在极坐标系中, l)=(p,0) jjy(x,y)dxdy=jj/(pcos0,pain0)pdpdO i)i) —y*y。 2coH0 =J,d^j)/(pros0,psin6»)p (3)如图10-21,在极坐标系中,/)=\(p,6、彡p彡/),0彡0彡2tt,故 =J/(pcos0,psin0)pdpd0 /-2-it (id/(pros0,psin0)pdp。 (4)D如图10-22所示.在极坐标系中,直线x 的方程为p sin0+cos0 —于是 sin6+cos62J f(x,y)dxdy=jj/(pcos0,psin6)pdpd0n V C,in•n« ^/(pcos0,psin6)pdp。 )\ p=b (r P=^\ -bl—aVO jyhx 10-22 图10-21 12。 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)丄心丄/(d'HIv; 2〉/3\ (2)(|.vf/(/r'+v2) 解 (1)如图10-23,用直线7=*将积分区域£〉分成£>1,102两部分: {(p,0) (p,e) 于是 l—X,sec6rYrcsc8 原式=[d0[_/(pcos6,psin6)pdp+Ld^l/(pcos0,psind)pdp. (2)D如图10-24所示。 在极坐标系中,直线x=2,射线和;r=^x(x^0)的方程分别是p=2sec6,6=•^和0=•因此 |(pyO) 0^p^2sece,f^6^f}。 又f(Vx2+y2)=f(p),于是 f—Yy。 2sec0 原式=d0j)/(p)pdp- (3)D如图1()—25所示。 在极坐标系中,直线;K=1_x的方程为P= 1,圆;k=-/l—x2的方程为p=1,因此 sin0+cos6 (p,e) 原式 sin0+cos6 于是 /(pcos6,psin0)pdp。 (4)/)如图10—26所示。 在极坐标系中,直线*=1的方程是/〉=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c: os2(9,即p=tan伽e(.0;从原点到两者的交点的射线是沒= rTrser0 D=〈(p,6) 7T 于是 JlanO^ec0 原式=[d沒/(pcos6,psin6)pdp。 ("A .s/lax ‘A: + y2)dj; rti。 v; (3)[dxi(x2+/)-了dy (4)d〉 (.r2+y2)cIa 解 (1)积分区域D如图10—27所示。 在极坐标系中, 0=ip,6) 0^p^2aros0,0^L 于是 r2/*2fl<'OSf)/•j•—*4 原式=ideip2'pdp=i 4aA[c(、s40(W=4aA IT i\0 注在多元函数积分学的计算题中,常会遇到定枳分sin'4如和j/,-os^,)^。 |M此i己住如下的结果是有益的: r//-I^-33ITT、j,-/…似 •r了••T”,n匆I[。 偶数, (2)m10—28,在极坐标系中, TT i13.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: i 于是 T/-rtsec0 d6»j)p-pAp=yj^secJ6»d6〉 =——[sec^tan6+ln(sec6+tand)]46o =~~[+ln(J2+1)]. o 0^^tanOsec0,0^f)J— (3)积分区域D如图10-29所示。 在极坐标系中,抛物线y=X2的方程是psin沒p: cos2沒,即p=tan6sec0;射线y=A;(: t彡0)的方程是0=子,故 "=\(
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