高三数学公式及定理大全.docx
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高三数学公式及定理大全
高三数学公式及定理大全
抛物线:
y=ax*+bx+c
就是y等于ax的平方加上bx再加上c
a>0时开口向上
a<0时开口向下
c=0时抛物线经过原点
b=0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y=ax+h*+k
就是y等于a乘以x+h的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:
y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为p/2,0准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
圆:
体积=4/3pir^3
面积=pir^2
周长=2pir
圆的标准方程x-a2+y-b2=r2注:
a,b是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>0
一椭圆周长计算公式
椭圆周长公式:
L=2πb+4a-b
椭圆周长定理:
椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长2πb加上四倍的该椭圆长半轴长a与短半轴长b的差。
二椭圆面积计算公式
椭圆面积公式:
S=πab
椭圆面积定理:
椭圆的面积等于圆周率π乘该椭圆长半轴长a与短半轴长b的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体,公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高
三角函数:
两角和公式
sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosA
cosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinB
tanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB
cotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotAcotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA
倍角公式
tan2A=2tanA/1-tan2Acot2A=cot2A-1/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0
cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0以及
sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2
tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0
四倍角公式:
sin4A=-4*cosA*sinA*2*sinA^2-1
cos4A=1+-8*cosA^2+8*cosA^4
tan4A=4*tanA-4*tanA^3/1-6*tanA^2+tanA^4
五倍角公式:
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*5-10*tanA^2+tanA^4/1-10*tanA^2+5*tanA^4
六倍角公式:
sin6A=2*cosA*sinA*2*sinA+1*2*sinA-1*-3+4*sinA^2
cos6A=-1+2*cosA^2*16*cosA^4-16*cosA^2+1
tan6A=-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5/-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6
七倍角公式:
sin7A=-sinA*56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6
cos7A=cosA*56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7
tan7A=tanA*-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6/-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6
八倍角公式:
sin8A=-8*cosA*sinA*2*sinA^2-1*-8*sinA^2+8*sinA^4+1
cos8A=1+160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2
tan8A=-8*tanA*-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6/1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8
九倍角公式:
sin9A=sinA*-3+4*sinA^2*64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3
cos9A=cosA*-3+4*cosA^2*64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3
tan9A=tanA*9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8/1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8
十倍角公式:
sin10A=2*cosA*sinA*4*sinA^2+2*sinA-1*4*sinA^2-2*sinA-1*-20*sinA^2+5+16*sinA^4
cos10A=-1+2*cosA^2*256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1
tan10A=-2*tanA*5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8/-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10
·万能公式:
sinα=2tanα/2/[1+tan^2α/2]
cosα=[1-tan^2α/2]/[1+tan^2α/2]
tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2]
半角公式
sinA/2=√1-cosA/2sinA/2=-√1-cosA/2
cosA/2=√1+cosA/2cosA/2=-√1+cosA/2
tanA/2=√1-cosA/1+cosAtanA/2=-√1-cosA/1+cosA
cotA/2=√1+cosA/1-cosAcotA/2=-√1+cosA/1-cosA
和差化积
2sinAcosB=sinA+B+sinA-B2cosAsinB=sinA+B-sinA-B
2cosAcosB=cosA+B-sinA-B-2sinAsinB=cosA+B-cosA-B
sinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2
tanA+tanB=sinA+B/cosAcosBtanA-tanB=sinA-B/cosAcosB
cotA+cotBsinA+B/sinAsinB-cotA+cotBsinA+B/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/21+3+5+7+9+11+13+15+…+2n-1=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+11^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=nn+12n+1/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=nn+1/2^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+nn+1=nn+1n+2/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:
角B是边a和边c的夹角
乘法与因式分a2-b2=a+ba-ba3+b3=a+ba2-ab+b2a3-b3=a-ba2+ab+b2
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√b2-4ac/2a-b-√b2-4ac/2a
根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注:
韦达定理
判别式b2-4a=0注:
方程有相等的两实根
b2-4ac>0注:
方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0注:
方程有共轭复数根
公式分类公式表达式
圆的标准方程x-a2+y-b2=r2注:
a,b是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2c+c'h'
圆台侧面积S=1/2c+c'l=piR+rl球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注:
其中,S'是直截面面积,L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
图形周长面积体积公式
长方形的周长=长+宽×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积
已知三角形底a,高h,则S=ah/2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[pp-ap-bp-c]海伦公式p=a+b+c/2
和:
a+b+c*a+b-c*1/4
已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2
设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=a+b+cr/2
设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
已知三角形三边a、b、c,则S=√{1/4[c^2a^2-c^2+a^2-b^2/2^2]}“三斜求积”南宋秦九韶
|ab1|
S△=1/2*|cd1|
|ef1|
【|ab1|
|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内Aa,b,Bc,d,Ce,f,这里ABC
|ef1|
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!
】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[Ma+Mb+Mc*Mb+Mc-Ma*Mc+Ma-Mb*Ma+Mb-Mc]/3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=上底+下底×高÷2
直径=半径×2半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
长×宽+长×高+宽×高×2
长方体的体积=长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体正方体、圆柱体
的体积=底面积×高
平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C=4a
S=a2
长方形a和b-边长C=2a+b
S=ab
三角形a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=a+b+c/2S=ah/2
=ab/2?
sinC
=[ss-as-bs-c]1/2
=a2sinBsinC/2sinA
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9同位角相等,两直线平行
10内错角相等,两直线平行
11同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13两直线平行,内错角相等
14两直线平行,同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理sas有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23角边角公理asa有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24推论aas有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25边边边公理sss有三边对应相等的两个三角形全等
26斜边、直角边公理hl有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角
31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边
35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
43定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理n边形的内角的和等于n-2×180°
51推论任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2矩形的对角线相等
62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半,即s=a×b÷2
67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
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