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大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点
第八章
空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、线性运算:
加减法、数乘;b(bx,by,bz)
3、空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、利用坐标做向量的运算:
设a(ax,ay,az),
则ab(axbx,ayby,azbz),a(ax,ay,az);
5、向量的模、方向角、投影:
/~222
1)向量的模:
r 2)两点间的距离公式: AB|xj2(y2yi)2(Z2zj2 3)方向角: 非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,, 4) 方向余弦: COS x 一,cosr 222d COScoscos1 5)投影: Prjuaacos,其中 为向量a与u的夹角 (二)数量积,向量积 1、数量积: ab|a|bcos 1)aa a 2 2) a b ab0 a b axbx aybyazbz 2、向量积: cab 大小: |a||bsin,方向: a,b,c符合右手规则 1) a a 0 2) a//b a b 0 ■i ■j k a b ax ay az bx by bz 运算律: 反交换律baab (3)曲面及其方程 1、曲面方程的概念: S: f(x,y,z)0 2、旋转曲面: yoz面上曲线C: f(y,z)0, 绕y轴旋转一周: f(y,vx2z2)0 /22 绕z轴旋转一周: f(\'Xy,z)0 3、柱面: 0 的柱面 F(x,y) F(x,y)0表示母线平行于z轴,准线为 z0 4、二次曲面 2 z2 x 1) b2 椭圆锥面: 2 a x 2 y 2z2 1 2) 椭球面: 2 22 a b c 2 22 x y z 1 旋转椭球面: 2 a 22 a c 2 2 2 x y z 1 3) 单叶双曲面: a 2 b2 2c 2 2 2 x y z 1 4) 双叶双曲面: a 2 b2 2c 2 2 x y z 5) 椭圆抛物面: a 2 b2 2 2 x y z 6) 双曲抛物面 (马鞍面) : a2 b2 2 2 x y1b21 7) 椭圆柱面: 2a 2 2 x y1b21 8) 双曲柱面: 2a 2 9) 抛物柱面: x ay (四)空间曲线及其方程 F(x,y,z)0 1、般方程: G(x,y,z)0 x x(t) x acost 2、参数方程: y y(t),如螺旋线: y asint z z(t) z bt 3、空间曲线在坐标面上的投影 H(x,y)0 F(x,y,z)0 G(x,y,z)0'消去z,得到曲线在面xoy上的投影 (五)平面及其方程 1、 点法式方程: A(xX。 )B(yyo)C(zZo) 2、 法向量: n (A,B,C),过点(Xo,yo,Zo) 般式方程: Ax ByCzD x 截距式方程: — a 3、 两平面的夹角: ni (A1,B1,C1),n2 (A2,B2,C2), cos AA2 B1B2C1C2 Bi2Ci2,AfBf C; A|A? B1B2C1C2 4、 i〃 △旦邑 A2B2C2 点Po(xo,yo,Z0)到平面Ax By CzD0的距离: Ax。 By。 CzoD.A2B2C (六)空间直线及其方程 1、 般式方程: A1x B" C1z D1 0 A2x B2y C2z D2 0 x Xo yyo zz° 方程: 1 1 m n P 2、对称式(点向式) 方向向量: S(m,n,p),过点(X。 y。 ,z。 ) xx0mt 3、参数式方程: yy。 nt ZZopt 4、两直线的夹角: Si(g,ni,Pi),S2(m2,n2,P2), cos m1m2ngp1p2 2 ni 222 p1\m2n2 2 P2 Li® m1m2mn2 P1P20 m2 niPi n2P2 5、直线与平面的夹角: 直线与它在平面上的投影的夹角, sin AmBnCp L// AmBnCp0 ABC L mnp 第九章多元函数微分法及其应用 (1)基本概念 1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。 2、多元函数: zf(x,y),图形: 3、极限: limf(x,y)A (x,y)(X0,y°) 4连续: 爲叽。 )"")f(X0,y0) 5、偏导数: fx(Xo,y。 ) limf(x。 X,y。 )f(x°,y。 ) x0x fy(Xo,y°) lim込上 yo y)f(x。 ,y。 ) y 6、方向导数: fff ——cos——COS其中,为丨的方向角。 ixy 7、梯度: zf(x,y),则gradf(x°,y。 )fx(x°,y°)ify(xo,y°)j 8全微分: 设zf(x,y),则dz-;dx: dy xy 1、 (二)性质 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系: 偏导数连续 2、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理) 3、 微分法 1)定义: 2)复合函数求导: 链式法则 若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y),则 zzuzvzzuzv xuxvx,yuyvy 3)隐函数求导: 两边求偏导,然后解方程(组) (3)应用 1、极值 1)无条件极值: 求函数zf(x,y)的极值 解方程组 fy 0 求出所有驻点,对于每一个驻点(X。 ,y。 ), Afxx(Xo y。 ), B fxy(X°,y°),Cfyy(x0,y°), ①若AC B2 0 A0,函数有极小值, 若AC B2 0 A0,函数有极大值; ②若AC B2 0, 函数没有极值; ③若AC B2 0 不定。 2)条件极值: 求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值 令: L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数 Lx0 解方程组Ly0 (x,y)0 2、几何应用 1)曲线的切线与法平面 xx(t) 曲线: yy(t),贝S上一点M(Xo,yo,z°)(对应参数为to)处的 zz(t) 切线方程为: xXox(to)y(to) yy。 ZZo Z(to) 法平面方程为: X(to)(XXo) y(to)(yy°)z(t°)(zz°)o 2)曲面的切平面与法线 Fx(Xo,y°,Zo)(X 曲面: F(x,y,z)o,贝q上一点M(x°,yo,zo)处的切平面方程为: X。 )Fy(Xo,yo,Z0)(yy。 )Fz(x。 ,y°,z))(zzo)0 法线方程为: xXo yyo zZ° Fx(Xo,y°,z)) Fy(Xo,yo,zo) Fz(Xo,yo,zo) 第十章重积分 1、 定义: D 2、 性质: (6 3、 几何意义 4、 计算: 1) 直角坐标 D (x,y) (一)二重积分 f(X,y)d lim o : 曲顶柱体的体积。 i(x) a 2(X) b f(x,y)dxdy b dx a (x,y) i(y) c n f(k,k) k1 2(X) f(x,y)dy l(X) x2(y)yd, 2) f(x,y)dxdy 极坐标 d2(y) cdyI(y)f(X,y)dX i( f(x,y)dxdy D 2() 2() df(cos,sin)d 1() 1、 定义: f(x,y,z)dv 叫f(k,k,k)Vk 0k1 2、 性质: 3、 计算: 1) 直角坐标 f(xyz)dv dxdy D Z2(x,y) f(xyz)dz 后—二 \,J5—4 /、■\6y丁J)j〜 Z1(x,y) 先 f(x,y,z)dv b dz f(x,y,7)dxdy “先「 二后一 \7J1> aDz \JJJ/J 2) 柱面坐标 x cos y sin f(x,y,z)dvf(cos,sin z)dd dz z z 3) 球面坐标 x rsin cos y rsin sin n 重积分 一\二 zrcos f(x,y,z)dv f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd (三)应用 曲面S: zf(x,y),(x,y)D的面积: A屮(: )2(y)2dxdy 第十 早曲线积分与曲面积分 (- ')对弧长的曲线积分 1、 定义: Lf(x,y)dsli叫 n f(i,i)s i1 2、 性质: 1) L[f(x,y)(x,y)]ds Lf(x,y)ds Lg(x,y)ds. 2) f(x,y)dslf(x,y)ds LL1 f(x,y)ds.(L L2 JL2). 3)在L上,若f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds. 4)Ldsl(l为曲线弧L的长度) 3、计算: x(t), 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为(t y(t), 其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,且2(t)2(t)0,则 Lf(x,y)dsf[(t),(t)]J2(t)2(t)dt,() (二)对坐标的曲线积分 1、定义: 设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧,函数P(x,y),Q(x,y) n 在L上有界,定义LP(x,y)dxlim0P(k,QXk, 0k1 n LQ(x,y)dy lim 0k Q(k,k)yk. 1 向量形式: LF dr LP(x,y)dxQ(x,y)dy 2、性质: 用L表示L的反向弧, 则lF(x,y)drlF(x,y)dr 3、计算: 设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为 x(t), (t: ),其中 (t), (t) 在[ ]上具有一 阶连续导数,且 y(t), 2(t)2(t) 0,则 LP(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t)Q[(t), (t)](t)}dt 4、两类曲线积分之间的关系: x (t) 设平面有向曲线弧为L: z-X> L上点(x,y)处的切向量的方向角为 y (t) cos(t) cos cos (t) 2(t)2(t)'/2(t)2(t)' 则lPdxQdyL(PcosQcos)ds. (三)格林公式 1、格林公式: 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在 2、G为一个单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数,则 Q x P y 曲线积分PdxQdy在g内与路径无关 L 曲线积分? PdxQdy0 L P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分 (四) 对面积的曲面积分 1、定义: D上具有连续一阶偏导数,则有 D dxdy -PdxQdy L 设为光滑曲面,函数f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数, n 定义f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si 0i1 2、计算: “一单二投三代入” : zz(x,y),(x,y)Dxy,则 f(x,y,z)dSDf[x,y,z(x,y)](1zx2(x,y)Zy2(x,y)dxdy Dxy (5)对坐标的曲面积分 1、预备知识: 曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量 2、定义: 设为有向光滑曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在上的有界函数, n 定义R(x,y,z)dxdylim。 R(i,i,J(SJxy 0i1 n 同理,P(x,y,z)dydzlim。 P(i,i,J(SJyz 0i1 n Q(x,y,z)dzdxlim。 R(i,i,J(S)x 0i1 3、性质: 1)12,则 PdydzQdzdxRdxdy PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 12 2)表示与取相反侧的有向曲面,贝SRdxdyRdxdy 4、计算: 一一“一投二代三定号” : zz(x,y),(x,y)Dxy,zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在 上连续,则R(x,y,z)dxdyDR[x,y,z(x,y)]dxdy,为上侧取“+”, Dxy 为下侧取“-”. 5、两类曲面积分之间的关系: PdydzQdzdxRdxdy PcosQcosRcos dS 其中,,为有向曲面在点(x,y,z)处的法向量的方向角。 (6)高斯公式 1、 高斯公式: 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数P,Q,R在 上有连续的一阶偏导数,则有 Rdxdydz-Pdydzz Qdzdx Rdxdy 2、 通量与散度 R. dxdydz: Pcosz Qcos Rcos dS 量: 向量场A(P,Q,R)通过曲 定侧的通量为: PdydzQdzdx Rdxdy PQ 散度: divA- xy (7)斯托克斯公式 1、斯托克斯公式: 设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向 符合右手法则,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续 阶偏导数, 则有 dydz——dzdx——dxdy二PdxQdyRdzzxxy 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作: dydz dzdx dxdy 2、 环流量与旋度 环流量: 向量场A -PdxQdy Rdz (P,Q,R)沿着有向闭曲线 的环流量为门PdxQdyRdz …RQPRQP 旋度: rotA,, yzzxxy 第十二章无穷级数 (一)常数项级数 1、定义: 1)无穷级数: UnU1U2U3Un 部分和: SnUkU1U2U3Un, k1 正项级数: 5,Un0 n1 交错级数: (1)nUn,Un0 n1 Un发散 2)级数收敛: 若limSnS存在,则称级数Un收敛,否则称级数 nn1n 3)条件收敛: Un收敛,而|片|发散; n1n1 绝对收敛: |Un|收敛。 n1 2、性质: 1)改变有限项不影响级数的收敛性; 2)级数a.,bn收敛,则(anS)收敛; n1n1n1 3)级数an收敛,则任意加括号后仍然收敛; n1 4)必要条件: 级数Un收敛limUn0.(注意: 不是充分条件! ) n1n 3、审敛法 正项级数: Un,Un0 n1 1)定义: limSnS存在; n 2)Un收敛Sn有界; n1 3)比较审敛法: Un,Vn为正项级数,且UnVn(n1,2,3,) 4) Un 5) 6) 若Vn收敛,则Un收敛;若Un发散,则£发散. n1 比较法的推论: Un, n1 kVn,而Vn收敛,则 n1n Vn发散,则Un发散. n1 比较法的极限形式: Vn为正项级数,若存在正整数m,当nm时, n1 Un收敛;若存在正整数m,当n 1 Un, n1 Vn为正项级数,若 n1 limU nV m时, l(0 Un kVn, Vn收敛,则Un收敛;若”m 1n1 Un Vn 0^或lim n Un Vn Vn发散, Un发 比值法: Un为正项级数,设 n1 lim山 nUn 1,则当 I1时,级数 n Un收敛; 1 则当I1时,级数Un发散;当I n1 1时,级数 Un可能收敛也可能发散. n1 7) 根值法: Un为正项级数,设 n1 I,则当I1时,级数Un收敛;则 1时,级数Un发散;当I1时,级数 n1 Un可能收敛也可能发散. 8) 极限审敛法: n1Un为正项级数,若limnUn 0或limnu n ,则级数 Un 1 发散;若存在P 1,使得lim n npUnI(0 ),则级数 Un收敛. n1 交错级数: 莱布尼茨审敛法: 交错级数: (1)nUn n1 Un0满足: Un1 Un(n1,2,3, 且nimUn0,则级数1 (1)nUn收敛。 任意项级数: un绝对收敛,则Un收敛。 n1n1 收敛, q|1 n 常见典型级数: 几何级数: aq 发散, iq1 n0 1 收敛, p1 p-级数: cp 发散, n1【1 p1 (二)函数项级数 1、定义: 函数项级数Un(X),收敛域,收敛半径,和函数; n1 n 2、幕级数: anX n0 收敛半径的求法: lim n an1 an ,则收敛半径R0, 3、泰勒级数 f(X)牛xX0) n0n! f(n1)() nimRn(x)nimN(xx0)n10 展开步骤: (直接展开法) 1)求出f(n)(x),n1,2,3,; 2)求出円化),n0,1,2,; (n) 3)写出 (Xo) n! (x X。 ) 间接展开法: (利用已知函数的展开式) 1) 1nx,on! 2) sinx 1)n 112n x(2n1)! 3) cosx 1)n 112n x (2n)! 4) 5) 1 1x 1 1x x(1,1); nn 1)x,x 1, 1) 6) ln(1 x) 1,1] 7) 1 1x2 2n 1)x, (1,1) 8) m (1x) m(m 1) (mn1)n! x(1,1) 4、 傅里叶级数 1) 定义: 正交系: 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个 函数的乘积在区间[ ]上积分为零。 傅里叶级数: f(x)a0(ancosnxbnsinnx) 2n1 1 anf(x)cosnxdx(n0,1,2,) 系数: 1 bhf(x)sinnxdx(n1,2,3,) 2)收敛定理: (展开定理) 设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件: 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛,且有 ao 2 ancosnx n1 f(x), bnsinnx f(X)f(X) 3) 傅里叶展开: an f(x)cosnxdx(n 0, X为连续点 x为间断点 1,2,) ①求出系数: bn f(x)sinnxdx(n 1,2,3,) ②写出傅里叶级数 f(x) 亚(ancosnx 2n1 bnsinnx); ③根据收敛定理判定收敛性。
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