六年级奥数周周练 第28周 表面积与体积二 教师版.docx
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六年级奥数周周练第28周表面积与体积二教师版
第28周表面积与体积
(二)
一、知识要点
解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点:
(1)物体沉入水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。
把物体从水中取出,水面下降部分的体积等于物体的体积。
这是物体全部浸没在水中的情况。
如果物体不全部浸在水中,那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
(2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积保持不变。
(3)求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积。
(4)求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试,防止思维定势。
二、精讲精练
【例题1】有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里,两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米?
【思路导航】中、小水池升高部分是一个长方体,它的体积就等同于碎石的体积。
两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米,两堆碎石的体积就是
×0.06+
×0.04=0.7(立方米)。
把它沉到大水池里,水面升高部分的体积也就是0.7立方米,再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。
×0.06+
×0.04=0.7(立方米)
0.7÷
=
(米)
米=1
厘米
答:
大水池的水面升高了1
厘米。
练习1:
1.有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中,两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米,如果将这两堆碎石都沉没在大水池中,那么大水池水面将升高多少厘米?
(32×0.04+22×0.11)÷42=0.05(米)
0.05米=5厘米
答:
大水池水面将升高5厘米。
2.用直径为20厘米的圆钢,锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板,应截取圆钢多长(精确到0.1厘米)?
30×20×5÷[3.14×(20÷2)2]≈9.6(厘米)
答:
应截取圆钢约9.6厘米长。
3.将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。
(1)54÷6=9(平方厘米)9=3×3
它的体积是3×3×3=27(立方厘米)
(2)96÷6=16(平方厘米)16=4×4
它的体积是4×4×4=64(立方厘米)
(3)150÷6=25(平方厘米)25=5×5
它的体积是5×5×5=125(立方厘米)
(4)27+64+125=216(立方厘米)
答:
这个大正方体的体积是210立方厘米。
【例题2】一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中,水深8厘米,要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块,把铁块竖放在水中,水面上升几厘米?
【思路导航】在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中,还是部分沉入水中。
如果铁块是全部沉入水中,排开水的体积是8×8×15=960(立方厘米)。
而现在瓶中水深是8厘米,要淹没15厘米高的铁块,水面就要上升15—8=7(厘米),需要排开水的体积是(3.14×
—
)×7=1750(立方厘米),可知铁块是部分在水中。
当铁块放入瓶中后,瓶中水所接触的底面积就是3.14×
—
=250(平方厘米)。
水的形状变了,但体积还是3.14×
×8=2512(立方厘米)。
水的高度是2512÷250=10.048(厘米),上升10.048—8=2.048(厘米)
3.14×
×8÷(3.14×
—
)—8=2.048(厘米)
答:
水面上升了2.048厘米。
练习2:
1.一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。
现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中,问水面升高了多少厘米(
取3)?
铁块全部放入水中,排水的体积是3×12×5=15立方厘米,要使水面升高5-3=2厘米,铁块要排水(15-3×12)×2=24立方厘米。
所以,铁块不能全部放入水中。
15×3÷(15-3×12)-3=0.75(厘米)
答:
水面升高了0.75厘米。
2.一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高2.5厘米,玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?
杯中水的体积:
72×2.5=180(立方厘米)
放入铁块后的底面积:
72-62=36(平方厘米)
水面的高:
180÷36=5(厘米)
答:
这时水面高5厘米。
3.在底面是边长为60厘米正方形的一个长方体容器里,直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。
这时容器里的水50厘米深。
现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米,露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米?
容器中水的体积:
(602-152)×50=168750(立方厘米)
当铁棍提起后,仍浸在水中的部分长:
(168750-602×24)÷(602-152)=24.4(厘米)
露出水面的浸湿部分长:
50-24.4=25.6(厘米)
答:
露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长25.6厘米。
【例题3】某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池,它的长是宽的2倍,高与宽相等。
当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时,求这堆面粉的体积(如图所示)。
【思路导航】设圆锥体的底面半径是r,则长方体的高和宽也都是r,长是2r。
长方体的容积是2r×r×r=24,即
=12。
这个半圆锥体的体积是
×
×r÷2=
,将
=12代入,就可以求得面粉的体积。
设圆锥体的底面半径是r,则长方体的容积是2r×r×r=24,
=12。
×3.14×
×r÷2
=
×3.14×
=
×3.14×12
=6.28(立方米)
答:
这堆面粉的体积是6.28立方米。
练习3:
1.已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一个正方体的棱长,这个正方体的体积是216立方分米。
求这个圆锥体的体积。
设这个圆锥的底面半径为r,则正方体的体积为r3=216。
圆锥体的体积为:
×π×r2×r=
×3.14×r=226.08(立方分米)
答:
这个圆锥体的体积是226.08立方分米。
2.一个正方体的纸盒中如图所示,恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。
纸盒的容积有多大?
设圆柱体的底面半径为r,则正方体的棱长为2r。
圆柱的体积是:
πr2×2r=6.28,即r3=1,
纸盒的容积:
(2r)3=8r3=8×1=8(立方厘米)
答:
纸盒的容积是8立方厘米。
3.如图,圆锥形容器中装有3升水,水面高度正好是圆锥高度的一半。
这个容器还能装多少水?
设容器的底面半径为r,则水面半径为
。
水的体积是:
×π(
)2×
=3,即πr2h=72,
容器的体积:
πr2h=
×72=24(升)
还能装水:
24-3=21(升)
答:
这个容器还能装21升水。
【例题4】如果把12件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?
怎样打包物体的表面积最小呢?
【思路导航】设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c,并且a>b>c(如图28-4)。
比较“3×4”和“2×6”两种包法。
图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc①,
图28-6中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc②,
两个式子中都去掉相同的部分4ab+8ac+24bc后,①式与②式的大小要看2ab与4ac的大小。
(1)当b=2c时,2ab=4ac,两种包法相同。
(2)当b<2c时,“3×4”的包法表面积最小。
(3)当b>2c时,“2×6”的包法表面积最小。
练习4:
1.如果把长8厘米,宽7厘米,高3厘米12件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?
怎样打包,物体的表面积最小?
8,7和3互质,所以只有1×12,2×6,3×4各3种摆法,合计9种不同的包装方法。
当包装成最接近正方体形状时表面积最小:
(8×2)×(7×2)×(3×3)=16×14×9。
2.一个精美小礼品盒的形状是长9厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体。
请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱,你觉得怎样设计比较合理?
为什么?
设计大纸箱的长9厘米,宽6×2=12厘米,高4×5=20厘米,这样大纸箱的表面积最小,包装成本最小。
3.一包香烟的形状是长方体,它的长是9厘米,宽是5厘米,高是2厘米。
把10包香烟包装在一起形成一个大长方体,称为一条。
可以怎样包装?
算一算需要多少包装纸(包装纸的重叠部分忽略不计)。
你认为哪一种包装比较合理?
用10个长宽高分别为9厘米、5厘米、2厘米的小长方体,拼组大长方体的不同的拼组方法:
(1)长为90厘米时,宽是5厘米,高是2厘米;
(2)长为45厘米时,宽是10厘米,高是2厘米;
(3)长为45厘米时,宽是5厘米,高是4厘米;
(4)长为50厘米时,宽是9厘米,高是2厘米;
(5)长是25厘米时,宽是18厘米,高是2厘米;
(6)长是25厘米时,宽是9厘米,高是4厘米;
(7)长是20厘米时,9厘米,高是5厘米;
(8)长是10厘米时,宽是18厘米,高是5厘米;
(9)长是10厘米时,宽是9厘米,高是10厘米;
所以一共有9种不同的包装方法。
一条规律:
同样体积,长宽高越接近,接近正方体形状,表面积越小。
所以(9)长是10厘米时,宽是9厘米,高是10厘米的表面积最小:
9×10×4+10×10×2=560(平方厘米)
答:
需要560平方厘米的包装纸。
【例题5】一只集装箱,它的内尺寸是18×18×18。
现在有批货箱,它的外尺寸是1×4×9。
问这只集装箱能装多少只货箱?
【思路导航】因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数,所以,只能先在18×16×18的空间放货箱,可放18×16×18÷(1×4×9)=144(只)。
这时还有18×2×18的空间,但只能在18×2×16的空间放货箱,可放18×2×16÷(1×4×9)=16(只)。
最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱,所以最多能装144+16=160(只)。
18×16×18÷(1×4×9)+18×2×16÷(1×4×9)
=144+16
=160(只)
答:
这只集装箱能装160只货箱。
练习5:
1.有一个长方体的盒子,从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。
在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,最多可放几块?
解法一:
长方体的盒子高是7厘米,正好是木块宽与高的和,长方体的宽12厘米,正好是木块宽与高的公倍数,采用的拼放法可以填满盒子。
最多可放:
40×12×7÷(5×4×3)=56(块)。
解法二:
分上下两层来放:
上层高3厘米,可放(40÷5)×(12÷4)=24(块)
下层高4厘米,可放(40÷5)×(12÷3)=32(块)
24+32=56(块)
答:
最多可放56块。
2.从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面,尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?
第一次切下的正方体棱长应是12厘米,留下的部分,其中较大的一块是长为21-12=9厘米,宽为15厘米,高为12厘米的长方体。
第二次切下的正方体棱长应是9厘米,留下的部分,较大的一块是长为9厘米,宽为15-9=6厘米,高为12厘米的长方体。
第三次切下的正方体棱长应是6厘米。
所以,剩下的体积是:
21×15×12-(123+93+63)=1107(立方厘米)
答:
剩下的体积是1107立方厘米。
3.现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好),你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?
制作这个铁盒的方法比较多,但容积不一样。
第一种是把铁皮的四角截去边长5厘米的正方形。
它的体积是(40-5×2)×(20-5×2)×5=1500(立方厘米)。
第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长5厘米的正方形,焊接到铁皮的另一侧的中间位置,这样做成的无盖铁皮盒长是40-4=35(厘米),体积是(40-5)×(20-5×2)×5=1750(立方厘米)。
第三种是在铁皮的一侧截下三条宽为5厘米、长为20厘米的长方形铁皮分别焊接到上、右、下边上的中间部位,这样做成的无盖铁皮盒的长是40-5×4=20(厘米),宽是20厘米。
体积是(40-5×4)×20×5=2000(立方厘米)。
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