高考数学大题专题练习立体几何一doc.docx
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高考数学大题专题练习立体几何一doc
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何
(一)
1.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,
PD=AB=2,点E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.
(1)求证:
PAEF;
(2)求二面角D-FG-E的余弦值.
2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱
ADE-BCF和一个正四棱锥
P-ABCD组合而
成,AD
AF,AE=AD=2.
(1)
证明:
平面PAD平面ABFE;
(2)
求正四棱锥P-ABCD的高h,使得二面角C-AF-P的余弦值是2
2.
3
1
3.四棱锥
P
ABCD中,侧面PDC是边长为
2的正三角形,且与底面垂直,底面
ABCD是
面积为2
3
的菱形,
ADC为锐角,M为PB的中点.
P
(Ⅰ)求证:
PD∥面ACM.
M
(Ⅱ)求证:
PACD.
(Ⅲ)求三棱锥P
ABCD的体积.
C
B
D
A
4.如图,四棱锥SABCD满足SA面ABCD,DABABC90.SAABBCa,
AD2a.
(Ⅰ)求证:
面SAB面SAD.
(Ⅱ)求证:
CD面SAC.
S
AD
B
C
2
5.在四棱锥P
ABCD中,底面ABCD为矩形,测棱PD
底面ABCD,PD
DC,点E是
BC的中点,作
EF
PB交PB于F.
P
(Ⅰ)求证:
平面PCD平面PBC.
F
E
(Ⅱ)求证:
PB
平面EFD.
D
C
A
B
6.在直棱柱ABC
A1B1C1中,已知AB
AC,设AB1中点为D,A1C中点为E.
(Ⅰ)求证:
DE∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)求证:
平面
ABB1A1平面ACC1A1.
A
BC
DE
A1
B1C1
3
7.在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB//CD,ABAD,PAPB,
AB:
AD:
CD2:
2:
1.
(1)证明BDPC;
(2)求二面角APCD的余弦值;
(3)设点Q为线段PD上一点,且直线AQ平面PAC所
成角的正弦值为2,求PQ的值.
3PD
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO.
(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;
(2)若λ=2,求证:
平面CDE⊥平面CD1O.
4
9.如图,在四棱锥P
ABCD中,底面
ABCD是平行四边形,∠BCD
135
,侧面PAB⊥
底面ABCD,∠BAP
90,AB
AC
PA2,E,F分别为BC,AD的中点,点M在
线段PD上.
(Ⅰ)求证:
EF⊥平面PAC.
P
(Ⅱ)若M为PD的中点,求证:
ME∥平面PAB.
M
(Ⅲ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线
ME与
A
D
F
平面ABCD所在的角相等,求
PM的值.
B
E
C
PD
10.如图,在三棱柱ABCA1B1C1,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,ACABAA1,E,F分别是棱BC,A1A的中点,G为棱CC1上的一点,且
C1F∥平面AEG.
C1
A1
(1)求
CG
的值.
CC1
G
B1F
2
)求证:
EG⊥AC1
(
.
(
3
)求二面角A1AG
E的余弦值.
C
A
E
B
5
11.如图,在四棱锥
PABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,
AD⊥AB,且PB
AB
AD3,BC1.
(Ⅰ)若点F为PD上一点且PF
1
PD,证明:
CF∥平面PAB.
3
(Ⅱ)求二面角B
PD
A的大小.
(Ⅲ)在线段PD上是否存在一点
M,使得
CM⊥PA?
若存在,求出
PM的长;若不存在,说明
P
F
理由.
A
D
B
C
12.如图,在四棱锥
EABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,CD∥AB,BC⊥CD,
EA⊥ED,AB
4,BCCDEAED2.
Ⅰ证明:
BD⊥AE.
Ⅱ求平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值.
E
D
C
A
B
6
13.己知四棱锥P
ABCD中,PA
平面ABCD,底面
ABCD是菱形,且PAAB2.
ABC60,BC、
P
PD的中点分别为
E,F.
F
(Ⅰ)求证BC
PE.
A
(Ⅱ)求二面角
FACD的余弦值.
D
(Ⅲ)在线段AB上是否存在一点
G,使得AF平行于
BEC
平面PCG?
若存在,指出G在AB上的位置并给予证明,若不存在,请说明理由.
14.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE
平面ABCD,
E
AF∥DE,DE
3AF,BE与平面ABCD所成角为60.
(Ⅰ)求证:
AC
平面BDE.
(Ⅱ)求二面角FBED的余弦值.
FD
C
(Ⅲ)设点M线段BD上一个动点,试确定点
M的位置,
使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
A
B
7
15.如图,PA
面ABC,ABBC,
C
ABPA2BC
2,M为PB的中点.
D
(Ⅰ)求证:
AM
平面PBC.
A
B
(Ⅱ)求二面角A
PC
B的余弦值.
M
P
(Ⅲ)在线段PC上是否存在点D,使得
BDAC,若存在,求出
PD的值,若不存在,说明理由.
PC
16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB//CD,E是PB的中点,
PD2,PA5,ABAD3,
AH
2.
HD
(1)证明:
PH⊥平面ABCD;
(2)若F是CD上的点,且FC2FD3,求二面角BEFC的正弦值.
8
17.如图,DC⊥平面ABC,EB//DC,
ACBCEB2DC2,ACB120,Q
为AB的中点.
(Ⅰ)证明:
CQ⊥平面ABE;
(Ⅱ)求多面体ACED的体积;
(Ⅲ)求二面角A-DE-B的正切值.
18.如图1,在△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°,D为BC边上一点,以边AC为对角线做平行四边形ADCE,沿AC将△ACE折起,使得平面ACE⊥平面ABC,如图2.
(1)在图2中,设M为AC的中点,求证:
BM丄AE;
(2)在图2中,当DE最小时,求二面角A-DE-C的平面角.
9
19.如图所示,在已知三棱柱ABF-DCE中,
ADE90,ABC60,
ABAD2AF,平面ABCD⊥平面ADEF,点M
在线段BE上,点G是线段AD的中点.
(1)试确定点M的位置,使得AF∥平面GMC;
(2)求直线BG与平面GCE所成角的正弦值.
20.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC=AB,PA⊥平面ABCD,E,F分别
是AB,PD的中点.
(Ⅰ)求证:
AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若AB2AP2,求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.
10
21.如图,五面体PABCD中,CD⊥平面PAD,ABCD为
直角梯形,
BCD,PDBCCD1AD,APPD.
22
(1)若E为AP的中点,求证:
BE∥平面PCD;
(2)求二面角P-AB-C的余弦值.
22.如图
(1)所示,已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的,其中
SABSDC90.且点A为线段SD的中点,AD2DC1,AB2.现将△SAB
沿AB进行翻折,使得二面角S-AB-C的大小为90°,得到图形如图
(2)所示,连接SC,点E,F分别在线段SB,SC上.
(Ⅰ)证明:
BDAF;
(Ⅱ)若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的2,求点E到平面ABCD的距离.
5
11
23.
四
棱
锥
S-ABCD
中,
AD∥BC
,
BC
CD,
SDA
SDC
600
,
AD
DC
1
1
BC
SD,E为SD的中点.
22
(1)求证:
平面AEC⊥平面ABCD;
(2)求BC与平面CDE所成角的余弦值.
24.已知三棱锥P-ABC,底面ABC是以B为直角顶点
的等腰直角三角形,PA⊥AC,BA=BC=PA=2,二面
角P-AC-B的大小为120°.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(2)求二面角P-BC-A的正切值.
12
25.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面
ABCD,ABCBCD900,PAPDDCCB1AB,E是PB的中点,
2
(Ⅰ)求证:
EC∥平面APD;
(Ⅱ)求BP与平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)求二面角P-AB-D的余弦值.
26.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方
形,PA=2,PB=PD=22,E,F,G,H分别为棱
PA,PB,AD,CD的中点.
(1)求CD与平面CFG所成角的正弦值;
(2)探究棱PD上是否存在点M,使得平面CFG⊥平面MEH,若存在,求出PM的值;
PD
若不存在,请说明理由.
13
试卷答案
1
以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz,则
D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).
uuur
uuur
(1)
∵PA=(0,2,-2),EF=(1,0,0),
uuuruuur
0,∴PA^EF.
则PA?
EF
uuur
uuur
(2)
易知DF=(0,0,1),FG=(-2,1-1),
ur
设平面DFG的法向量m=(x1,y1,z1),
uruuur
ì
ì
=0
m?
DF
0
?
z1
则
?
,即
,
íuruuur
í
?
0
?
-2x1+y1-z1=0
?
?
m?
FG
令x1=1,则m=(1,2,0)是平面DFG的一个法向量,
r
同理可得n=(0,1,1)是平面EFG的一个法向量,
ur
r
2
10
urrm×n
∴cos
r=
=
,
m
×
5′2
5
n
由图可知二面角D-FG-E为钝角,
∴二面角D-FG-E的余弦值为
10
-.
5
2.
(1)证明:
直三棱柱ADE-BCF中,AB^平面ADE,所以:
AB^AD,又AD^AF,
所以:
AD^平面ABFE,ADì平面PAD,
所以:
平面PAD^平面ABFE.
(2)由
(1)AD^平面ABFE,以A为原点,AB,AE,AD方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系
14
A-xyz,设正四棱锥P-ABCD的高h,AE=AD=2,
则A(0,0,0),F(2,2,0),C(2,0,2),P(1,-h,1).
uuur
uuur
uuur
AF=(2,2,0),AC=(2,0,2),AP=(1,-h,1).
ur
设平面ACF的一个法向量m=(x1,y1,z1),
ur
uuur
ì
=0
ur
?
m?
AF2x1+2y1
则:
í
uuur
,取x1=1,则y1=z1
=-1,所以:
m=1,-1,-1.
r
(
)
?
n?
AC2x1+2z1=0
?
r
uuur
r
ì
(
x2,y2,z2
)
?
n?
AF2x2+2y2=0
,
设平面AFP的一个法向量n=
,则ír
uuur
?
n?
APx2-hy2+z2=0
?
r
取x2=1,则y2=-1,z2=-1-h,所以:
n=(1,-1,-1-h),
urr
ur
r
二面角C-AF-P的余弦值是22
m?
n
=
,所以:
cos
r
3
mn
解得:
h=1.
11+1+h
2
32+(h+1)
=22,
3
3.
P
M
CB
E
O
DA
(Ⅰ)证明:
连结AC交BD于O,则O是BD中点,
∵在△PBD中,O是BD的中点,M是PB的中点,
∴PD∥MO,
又PD平面ACM,MO平面ACM,
15
∴PD∥平面ACM.
(Ⅱ)证明:
作PE⊥CD,则E为CD中点,连结AE,
∵底面ABCD是菱形,边长为2,面积为23,
∴S
1
AD
DC
sinADC2
1
22sinADC223,
2
2
∴sin
ADC
3,
ADC60
,
2
∴△ACD是等边三角形,
∴CD⊥AE,又∵CD⊥PE,
∴CD⊥平面PAE,
∴CD⊥PA.
(Ⅲ)VPABCD
1SABCDPE
1
2332.
3
3
4.
S
AED
BC
(1)证明:
∵SA⊥平面ABCD,AB平面ABCD,
∴AB⊥SA,
又∵BAD90,
∴AB⊥AD,
∵SAIADA,
∴AB⊥平面SAD,
又AB平面SAB,
∴平面SAB⊥平面SAD.
(Ⅱ)证明:
取AD中点为E,
∵DABABC90,AD2a,BCa,E是AD中点,
∴ABCE是矩形,CEABa,DEa,
16
∴CD
2a
,
在△ACD中,AC
2a,CD
2a,AD
2a,
∴AC
2
CD
2
AD
2,
即CD⊥AC,
又∵SA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥SA,
∴CD⊥平面PAC.
5.
P
E
F
DC
AB
(Ⅰ)证明:
∵PD底面ABCD,BC平面ABCD,
∴PDBC,
又∵底面ABCD为矩形,
∴BCCD,
∴BC平面PCD,
∵BC平面PBC,
∴平面PCD平面PBC.
(Ⅱ)证明:
∵PDDC,E是PC中点,
∴DEPC,
又平面PCD平面PBC,平面PCDI平面PBCPC,
∴DE平面PBC,
∴DEPB,
又∵EFPB,EFIDEE,
∴PB平面EFD.
17
6.
A
BC
DE
A1
B1C1
(Ⅰ)证明:
连结A1B,
∵D是AB1的中点,
∴D是A1B的中点,
∵在△A1BC中,D是A1B的中点,E是A1C的中点,
∴DE∥BC,
又DE平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,
∴DE∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)证明:
∵ABC
A1B1C1是直棱柱,
∴AA1
平面ABC,
∴AA1
AB,
又AB
AC,
∴AB平面ACC1A1,∵AB平面ABB1A1,
∴平面ABB1A1平面ACC1A1.
以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
B(2,0,0)
,D(0,
2,0),
P(0,0,2)
,
7.A
C(1,
2,0)
uuur
uuur
(1,2,
2),
(1)BD(2,
2,0),PC
uuuruuur
∵BD?
PC0∴BDPC
uuur
(1,
uuur
ur
(2,
1,0)
(2)AC
2,0),AP(0,0,2)
,平面PAC的法向量为m
uuur
uuur
r
2,
1).
DP(0,
2,2),AP
(1,0,0),平面DPC的法向量为n(0,
urr
ur
r
2
2
m?
n
cosm,n
ur
r
,二面角B
PCD的余弦值为.
m?
n
3
3
18
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
0,1
(3)∵AQ
AP
PQ
AP
tPD,t
uuur
(0,0,2)t(0,2,
2)
(0,
2t,2
2t)
∴AQ
设
为直线AQ与平面PAC所成的角
uuurur
uuur
ur
AQ?
m
2
sin
cos
AQ,m
uuur
ur
3
AQ?
m
3
2t2
2t
2t)2
2
3t2
6t2
8t
4,解得t
2(舍)或2
.
(2
3
3
所以,PQ
2
即为所求.
PD
3
8.解:
(1)不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD1
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A(1,0,0),O12,12,0,C0,1,0,D1(0,0,1),
E1,1,1,
442
于是,.
由cos==.
所
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