数学建摸课本练习题.docx
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数学建摸课本练习题.docx
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数学建摸课本练习题
数学建摸课本练习题
1、(13分)设已知某正方形板材边长20cm,现将之加工出半径为1cm的圆盘,请对下面给出的两种排列方法,写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
(1)排列1:
圆盘中心按正方形排列(如下图)的尽可能多的圆盘数。
(4分)
隐藏答案
解:
圆盘总数:
排列2:
圆盘中心按六角形排列(如下图)的尽可能多的圆盘数。
(4分)
隐藏答案
解:
行数:
圆盘总数:
(2)设计出不同于
(1)
(2)的方案,且加工出的圆盘更多。
(5分)
隐藏答案
解:
前三行正方形,后八行六角形,圆盘总数为106。
2、(10分)在举重比赛中,运动员在高度和体重方面差别很大,请就下面两种假设,建立一个举重能力和体重之间关系的模型:
(1)假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
(5分)
(2)假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关,请给出一个改进模型。
(5分)
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解:
设体重w(千克)与举重成绩y(千克)
(1)由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例,所以yμIμS
设h为个人身高,又横截面积正比于身高的平方,则Sμh2
再体重正比于身高的三次方,则wμh3
故举重能力和体重之间关系的模型为:
(2)体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为
更好的模型:
3、(10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗?
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的每支3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:
1,试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)请写出商品价恪c与商品重量w的关系,其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。
(5分)
(2)给出单位重量价格c与w的关系,并解释。
(5分)
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解:
(1)生产成本主要与重量w成正比,包装成本主要与表面积s成正比,其他成本也包含w和s成正比的部分,上述三种都含有与w和s均无关的成分。
又因为形状一定时有
,故商品的价格可表示为
,
为大于0的常数。
(2)单位重量价格
。
显然c是w的减函数,说明大包装比小包装的商品便宜,函数曲线是下凸的,说明单价的减少值随着包装的变大时逐渐降低的。
4、(10分)药的剂量和用药间隔时间应该如何调节,才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度?
设H为药物的最高安全量级,L为最低有效量级,x-0为每次所开药物的剂量,T为用药间隔时间。
现给定H=2.5mg/ml,L=0.5mg/ml。
并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比(设比例系数k=0.01),
(1)写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型;(5分)
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解:
设Cn(t)表示第n次用药期内时刻t的药物浓度,其变化的动力学模型为:
其中:
x0=H-L=2mg/ml,
(2)请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。
(5分)
隐藏答案
解:
5、(13分)设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物,又长着茂盛的植物。
爬行动物以哺乳动物为食,哺乳动物又依赖植物生存,假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律,植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。
(1)请建立三者关系的模型;(5分)
隐藏答案
解:
将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x1(t)、x2(t)和x3(t),则三者关系模型为:
(2)求平衡点;(3分)
(3)分析各平衡点的稳定性。
(5分)
隐藏答案
A(0,0,0)
或B(x1,x2,x3),其中
6、(12分)某研究单位现有3个科研课题,限于人力物力,只能承担其中一个课题,其中,建立了如下的层次分析模型:
目标层
准则层
方案层
并分别建立了如下的准则层B1,B2,B3对目标层A的成对比较矩阵:
(1)请判断矩阵A是否为一致阵(已知RI=0.58);(6分)
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解:
首先计算A的最大特征值,令|A-lE|=0,得lmax=3.0945,对应的归一化特征向量u=(0.0943,0.6259,0.2798)T
计算CI=(3.0945-3)/(3-1)=0.0473
计算CR=CI/RI=0.0816<0.1
所以A是一致阵。
(2)若还已经求得方案层C1,C2,C2对准则层B1,B2,B3的权向量分别为(0.595,0.277,0.128),(0.082,0.236,0.682),(0.429,0.429,0.142),据此计算该选择何种方案。
(6分)
隐藏答案
解:
由于w=
因此,选择课题C3。
7、(10分)设报童销售一份报纸的零售价为a=15分,购进价b=8分,退回价c=6分。
设每天需求量为r时的概率为f(r)(r=0,1,2…)。
请回答如下两个问题:
(1)当每天购进n份时,请写出日平均收入G(n)的模型;(5分)
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解:
(2)当n满足什么条件时,日平均收入G(n)最大。
(5分)
隐藏答案
解:
满足如下条件:
8、(10分)设磷元素在土壤中记状态1,在草、牛、羊等生物体中记状态2,此外记3。
随机变量
表示磷元素在第n年的状态,记
,状态概率向量
。
三种状态和状态转移概率表示如下:
(1)写出状态转移矩阵P。
(3分)
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解:
(2)什么叫吸收状态?
指出哪个状态吸收状态。
(3分)
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解:
吸收态指一旦到达就不会离开的状态i,pii=1。
(3)若
,计算
。
(4分)
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解:
=
9、(12分)在意外事件发生的时候,建筑物内的人员是否能有效疏散撤离是人们普遍关心的问题。
尤其是911事件发生后。
对于—个特定建筑物,人们关心疏散路线和全部疏散完毕所用时间等。
这个问题可以通过反复的实际演习来解决。
但多次反复的演习实际上是不可能的,理想的办法是通过理论上的分析来得到。
考虑学校的一座教学楼,其中一楼有一排四间教室(下图),学生们可以沿教室外的走道一直走到尽头的出口,试用数学模型来分析人员疏散所用时间。
现有如下假设:
①为简单起见,可设疏散时大家秩序井然地排成单行均匀稳定地向外走,则疏散时队列中人与人之间的距离为常数,记为d米;
②设逃离是匀速行进的,速度为v米/秒;
并设置如下的符号体系:
d——疏散时人与人的距离
v——疏散时人员的行进速度
ni——第i个课室的人数
Li——第i个课室门口到第i–1个课室门口的距离
t0——疏散时第一个到达教室门口所用的时间
下面,设d=0.2米,v=0.5米/秒,n1=30,n2=40,n3=50,n4=35,L1=5米,L2=6米,L3=6米,L4=5米,t0=10秒
请回答如下问题:
(1)考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。
写出这个教室撤空的时间及全部撤离的时间;(4分)
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解:
第一个课室全部撤空时间:
第一个课室全部撤离时间:
(2)考虑第二个课室撤离时出现重叠的情况,即当第二个教室的第一个撤离者到达第一个教室的门口A时,第一个教室内的人还没有疏散完毕,这时如果两支队伍同时行进势必造成混乱,因此需要等待第一个教室撤空以后第二个教室的队伍再继续前进。
请问本问题中会出现这种情形吗?
并说明理由。
(4分)
隐藏答案
解:
由于第二个课室第一个人到达第一个课室门口的时间是:
因此,不需要等待。
(3)请计算四个课室全部撤离所用时间。
(4分)
隐藏答案
解:
A.第二个课室第一个人到达第一个课室门口时间是
,不需等待,因此,第二个课室全部撤空时间为:
。
B.第三个课室第一个人到达第二个课室门口时间是
,故第二个课室需要等待,等待时间是25.6-22=3.6(秒)。
加上等待时间,第三个课室全部撤空时间为:
。
C.第四个课室第一个人到达第三个课室门口时间是
,因此,需要等待的时间是33.2-20=13.2(秒)。
因此,加上等待时间,四个课室全部撤离时间是:
三、谈谈你对学习《数学模型》课程的体会和认识
隐藏答案
通过这学期数学模型的学习,我感触良多,它所教会我的不单单是一些数学方面的理论知识,更多的是综合能力的培养,锻炼和提高。
是数学与生活紧密地结合在一起。
我学会了解决简单的数学建模问题。
也锻炼了自己的逻辑推理能力和分析能力。
我相信这对于我以后是有很大帮助的。
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