小数乘法的算理.docx
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小数乘法的算理.docx
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小数乘法的算理
例1.研究小数乘法的算理
同学们学习过小数加、减法,印象最深刻的是小数点对齐,即相同数位对齐。
这在小数加、减法计算中是正确的。
初步一个因数是小数的小数乘法时,计算时有的同学也这样做。
如:
从表面看很象小数加、减法,小数点对齐。
但你仔细想一想,就不对了。
小数乘法的算理是:
8.6扩大10倍是86,86×4=344
一个因数不变,另一因数扩大10倍,积也扩大10倍,要得到8.6×4的积,还必须把344缩小10倍,就从积的右边起数出一位,点上小数点。
0.046扩大1000倍是46,46×35=1610
一个因数扩大1000倍,另一个因数不变,积也扩大1000倍,要得到0.046×35的积,还必须把1610缩小1000倍,就从积的右边起数出三位,点上小数点,消去小数末尾的0。
纵观以上题目,我们明白了算理,可以得出这样的结论:
①当一个因数是整数时,另一个因数有一位小数时,积(消去末尾的零以前)就有一位小数。
②当一个因数是整数时,另一个因数有两位小数时,积(消去末尾的零以前)就有两位小数。
③当一个因数是整数时,另一个因数有三位小数时,积(消去末尾的零以前)就有三位小数。
……
归纳总结为:
当一个因数是整数时,另一个因数有几位小数,积(消去末尾的零以前)就有几位小数。
例2.专项训练
小数乘法计算中,确定积的小数点位置是关键,所以我们重点练习这一项。
(1)给下面各题的积点上小数点。
消去小数末尾的“0”。
(2)根据16×125=2000,很快写出下面各题的积。
1.6×125=2000.16×125=20
16×1.25=2016×0.125=2
1.6×12.5=200.016×125=2
【模拟试题】(答题时间:
25分钟)
1.口算下面各题。
8×0.7=125×0.8=
2.5×4=1.5×2=
2.5×6=1.4×3=
0.5×40=0.1×47=
19×0.01=4.69×0=
3.5×100=7×0.9=
2.计算下面各题。
0.37×42=125×0.12=
206×3.2=0.15×24=
1.65×28=0.325×18=
0.025×24=0.017×13=
1.072×15=92×0.025=
3.列式计算。
(1)8乘0.34的积是多少?
(2)0.38的5倍是多少?
4.想一想积里应该有()位小数。
35.6×1.2=0.045×2.9=
3.56×1.2=0.45×0.29=
0.356×1.2=0.045×0.29=
3.56×0.12=4.5×0.029=
【试题答案】
1.口算下面各题。
8×0.7=5.6125×0.8=100
2.5×4=101.5×2=3
2.5×6=151.4×3=4.2
0.5×40=200.1×47=4.7
19×0.01=0.194.69×0=0
3.5×100=3507×0.9=6.3
2.计算下面各题。
0.37×42=15.54125×0.12=15
206×3.2=659.20.15×24=3.6
1.65×28=46.20.325×18=5.85
0.025×24=0.60.017×13=0.221
1.072×15=16.0892×0.025=23
3.列式计算。
(1)8乘0.34的积是多少?
8×0.34=2.72
(2)0.38的5倍是多少?
0.38×5=1.9
4.想一想积里应该有()位小数。
35.6×1.2=2位0.045×2.9=4位
3.56×1.2=3位0.45×0.29=4位
0.356×1.2=4位0.045×0.29=5位
3.56×0.12=4位4.5×0.029=4位
舍五入”法截取积的近似数
求积的近似数,先算出积,然后看需要保留数位的下一位,再按照“四舍五入”的方法求出结果,用约等于号连接。
2、小数的连乘、乘加、乘减
连乘按照从左往右的顺序计算;乘加、乘减混合运算,有括号的先算括号里的,再算括号外面的;没有括号的,先算乘法,后算加减法。
3、应用乘法运算定律进行小数的简便运算
乘法运算定律:
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a
乘法的结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法的分配律:
两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变。
a×(b+c)=a×b+a×c
典型例题
【方法应用题】
例1:
下面保留两位小数错误的是()
A.5.374≈5.37B.2.995≈3.00
C.8.105≈8.10 D.5.672≈5.67
思路分析:
1)题意分析:
这道题让我们用四舍五入法截取积的近似数,请同学们注意题目让我们选择的是错误的,千万不要一看到正确的选项就填写上去,认真审题对于把题答正确十分重要.
2)解题思路:
用四舍五入法取积的近似数我们要知道:
①看需要保留数位的下一位
②所看数位上的数字和5比较,等于5或大于5,向前一位进一
小于5,舍去不要。
③截取积的近似数要使用约等于号。
解答过程:
A、5.374保留两位小数,看千分位上的4,4<5,舍去不要,所以是5.37,用约等于号连接,此题正确。
B、2.995保留两位小数,看千分位上的5,5=5,向百分位进一,百分位上的9加上进位的1等于10,向十分位进一,十分位上的9加上进位的1满十,向个位进一,个位的2加上进位的1等于3,因为是保留两位小数,所以十分位、百分位的0要保留,用约等于号连接,此题正确。
C、8.105保留两位小数,看千分位上的5,5=5,向百分位进一,百分位上的0加上进位的1等于1,8.105保留两位小数后应该是8.11.而答案是8.10,因为它是从百分位四舍五入,所以是错误的。
请同学们一定要牢记,四舍五入要比要求的多看一位。
此题错误。
D、5.672保留两位小数,看千分位上的2,2<5,舍去不要,所以是5.67,用约等于号连接,此题正确。
应选择C
解题后的思考:
此题是对用“四舍五入”法求一个数的近似数的考查。
包含了舍去、向前一位进一、连续进位等几种情况,考查类型比较全面。
同学们最容易出现的错误就是把数位看错、连续进位忘记写0。
所以请同学们牢牢把握好“四舍五入”的要求:
看需要保留数位的下一位,若是大于等于5则前进1,若是小于5则全舍掉,连续进位留着0,符号要用约等于。
例2:
你来试一试
在下面的□里最小能填几?
1.99□≈2.00
思路分析:
1)题意分析:
这是一道用“四舍五入”法求一个数的近似数的题目。
已知近似数2.00是1.99□四舍五入得到的。
要求□里最小能填几,而不是随意填一个数就可以,需要同学们注意。
2)解题思路:
①观察两个数字,判断是四舍得到的,还是五入得到的;
②划定数字的范围
③按要求选择数字
解答过程:
观察这两个数我们可以知道,2.00是1.99□五入得到的,所以□里可以填5,6,7,8,9,在这五个数中最小的是5,所以□里填5.
解题后的思考:
此类题目要认真审题,确定是求最大的,还是求最小的。
判断出是四舍还是五入对于此类题十分关键。
如果是五入,就要从5-9这五个数字中去选;如果是四舍,就从0-4这五个数字中去选。
在此提醒同学们千万不要把0给忘了。
例3:
你会做吗
3.75×31+62.5×3.1
思路分析:
1)题意分析:
此题是考查小数的简便运算。
题目适用的是乘法分配律a×b+a×c=a×(b+c)
2)解题思路:
初看题目,好像不能够简算,但仔细观察就会发现,在相加的两个乘法算式中31和3.1相似,联系乘法中积不变的规律:
一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。
因此可以利用这条规律使
31变成3.1,(或使3.1变成31),且又能使结果保持不变。
解答过程:
方法一:
方法二:
3.75×31+62.5×3.13.75×31+62.5×3.1
=(3.75×10)×(31÷10)+62.5×3.1=3.75×31+(62.5÷10)×(3.1×10)
=37.5×3.1+62.5×3.1=3.75×31+6.25×31
=(37.5+62.5)×3.1=(3.75+6.25)×31
=100×3.1=10×31
=310=310
解题后的思考:
一道题能不能简算,同学们要注意观察每一个数字,找到数字之间的内在联系。
乘法的各条定律要灵活运用。
例4:
3.8×5.4+2.7×2.4
思路分析:
1)题意分析:
此题考查的是小数的简便运算。
需要同学们仔细观察每个数有什么特征。
2)解题思路:
四个数没有相同数字,关联不明显。
但是注意观察5.4和2.7,我们会发现5.4=2×2.7,这样此题就可以进行简算了
解答过程:
3.8×5.4+2.7×2.4
=3.8×2×2.7+2.7×2.4
=7.6×2.7+2.7×2.4
=(7.6+2.4)×2.7
=10×2.7
=27
解题后的思考:
为了使题目能够简算,我们可以先用计算、拆分或重组等方法进行转化,然后根据数,选择合适的方法进行简算。
【综合运用题】
例5:
妈妈各买了3.6斤的
和
鲤鱼每斤4.76元草鱼每斤3.88元.
妈妈一共花了多少元钱?
思路分析:
1)题意分析:
此题是考查小数乘法的应用题,要结合生活实际保留小数。
2)解题思路:
此题求总价,就要知道单价和数量是多少。
根据总价=单价×数量进行计算。
解答过程:
解法一:
①一斤草鱼和一斤鲤鱼一共多少元钱?
4.76+3.88=8.64(元)
②妈妈一共花了多少元钱?
8.64×3.6=31.104≈31.10(元)
答:
妈妈一共花了31.10元钱。
解法二:
①3.6斤鲤鱼多少元钱?
4.76×3.6=17.136(元)
②3.6斤草鱼多少元钱?
3.88×3.6=13.968(元)
③妈妈一共花了多少元钱?
17.136+13.968=31.104≈31.10(元)
答:
妈妈一共花了31.10元钱。
解题后的思考:
在解题过程中要认真审题,理清数量关系。
此题虽然没有要求保留小数,但是结合生活实际,在交易时我们用到的最小的货币单位是分,也就是以元为单位的话,数据最多只能到小数点后面的第二位,所以我们保留了两位小数。
【思维突破题】
挑战自我
例6:
比较下面两个积的大小。
A=1.29×3.21
B=1.28×3.22
思路分析:
1)题意分析:
这两道算式要求比较积的大小,需要我们分别算出它们的积是多少,但这样显然太麻烦了。
仔细观察,我们发现这两道算式中两个因数的和是一样的,那么我们就可以应用我们学过的规律来解决,使问题简单化。
2)解题思路:
应用的规律:
在和一定的情况下,两个数如果越接近,这两个数的乘积就越大。
我们就根据这条规律来比较数的大小。
解答过程:
因为1.29+3.21=1.28+3.22
3.21-1.29=1.92
3.22-1.28=1.94
1.92<1.94
所以A>B
解题后的思考:
对于这种看似比较繁琐的题目,同学们要开动脑筋,结合我们学过的知识,由难变易,由繁变简。
例7:
100+99-98-97+96+95-94-93+…+4+3-2-1
思路分析:
1)题意分析:
题目要求简算,可是数目多,需要同学们动脑筋想一想数字、运算符号各有什么特点?
2)解题思路:
题目中的数是100、99、98、97…1,运算符号依次是+,-,-,+我们可以把四个数看成一组,即100+99-98-97,96+95-94-93,……4+3-2-1,总共100个数,正好25组,而且每组的得数都是4,一共25个4。
解答过程:
100+99-98-97+96+95-94-93+…+4+3-2-1
=(100+99-98-97)+(96+95-94-93)+…+(4+3-2-1)
=4×25
=100
解题后的思考:
一道计算题能否巧算,要仔细审题,看清数字特点,如果是加减法算式,要尽量凑成整十整百的数再运算;如果是乘除法计算,就要多考虑运算定律,看能否根据运算定律进行简便运算;如果是很多数的运算,就要想怎样分组能够简便计算。
提分技巧
主要是将应试策略、思想方法、易错难点或者方法小结以文字形式进行归纳总结。
小数乘法中求积的近似数以及四则运算和简算,都是在整数乘法的基础上进行了迁移,所以本讲知识在理解时并不难,只是在运用的过程中,同学们要根据题目把握住基本要求,灵活运用所学,保证计算准确。
预习导学
一、预习新知
请你认真看一看小数乘法这一单元,想一想这一单元都包括哪些内容?
二、预习点拨
探究与反思
请你将这一单元所学知识用表格、枝形图等形式表示出来。
同步练习
(答题时间:
45分钟)
一、选择正确答案,将序号填在括号里。
1、下面保留两位小数错误的是()
A.1.734≈1.73B.5.076≈5.08
C.39.995≈40D.4.089≈4.09
2、与1.01×4.3得数相等的算式是()
A.1×4.3+0.01B.1.01×4+0.3C.1×4.3+0.01×4.3
3、积与1.872相等的算式是()
A.5.2×0.36B.52×0.36
C.0.52×0.36D.520×0.036
二、下面的计算对吗?
对的打√,错的打×,并改正过来。
1、3.5×1.6-0.6
=3.5×1
=3.5()
2、0.25×4.4
=0.25×4+0.25
=1+0.25
=1.25()
三、计算下面各题,能简算的要简算。
1、5.8+4.2×182、2.14×99+2.14*3、3.75×18+62.5×1.8
*4、1.39×(18+83)*5、7.4×2.5+2.5×5.2÷2*6、4.9×9.9
四、计算下面各题,得数保留两位小数。
0.46×1.80.86×4.7
五、解决问题
1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷,2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。
2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷?
(得数保留一位小数)
2、
电饱煲售价188.8元,电冰箱的价钱是一只电饭煲价钱的16倍,买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱?
【试题答案】
一、选择正确答案,将序号填在括号里。
1、下面保留两位小数错误的是(C)
A.1.734≈1.73B.5.076≈5.08
C.39.995≈40D.4.089≈4.09
2、与1.01×4.3得数相等的算式是(C)
A.1×4.3+0.01B.1.01×4+0.3C.1×4.3+0.01×4.3
3、积与1.872相等的算式是(A)
A.5.2×0.36B.52×0.36
C.0.52×0.36D.520×0.036
二、下面的计算对吗?
对的打√,错的打×,并改正过来。
3.5×1.6-0.63.5×1.6-0.6
=3.5×1=5.6-0.6
=3.5(×)=5
0.25×4.40.25×4.4
=0.25×4+0.25=0.25×4+0.25×0.4
=1+0.25=1+0.1
=1.25(×)=1.1
三、计算下面各题,能简算的要简算。
1、5.8+4.2×182、2.14×99+2.14
=5.8+75.6=2.14×(99+1)
=81.4=2.14×100
=214
*3、3.75×18+62.5×1.8
解析:
此题初看无法简算,但仔细观察可以看到两个乘法算式中分别有18和1.8,我们根据积不变的规律,可以将18变成1.8,或将1.8变成18。
这样利用乘法分配律就可以进行简算了。
解法一
3.75×18+62.5×1.8
=(3.75×10)×(18÷10)+62.5×1.8
=37.5×1.8+62.5×1.8
=(37.5+62.5)×1.8
=100×1.8
=180
解法二
3.75×18+62.5×1.8
=3.75×18+(62.5÷10)×(1.8×10)
=3.75×18+6.25×18
=(3.75+6.25)×18
=10×18
=180
*4、1.39×(18+83)
解析:
此题初看无法简算,但我们可以发现18+83=101,这时就可以用乘法分配律进行简算了。
1.39×(18+83)
=1.39×101
=1.39×(100+1)
=1.39×100+1.39×1
=139+1.39
=140.39
*5、7.4×2.5+2.5×5.2÷2
解析:
此题如果按运算顺序做则无法简算,但我们可以发现算式中都有2.5。
这时我们先做除法,就可以进行简算了。
7.4×2.5+2.5×5.2÷2
=7.4×2.5+2.5×2.6
=(7.4+2.6)×2.5
=10×2.5
=25
*6、4.9×9.9
解析:
此题可以将4.9看成5,或将9.9看成10进行简算。
两相比较把9.9看成10计算会更简便。
4.9×9.9
=4.9×(10-0.1)
=4.9×10-4.9×0.1
=49-0.49
=48.51
四、计算下面各题,得数保留两位小数。
0.46×1.8≈0.830.86×4.7≈4.04
五、解决问题
1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷,2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。
2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷?
(得数保留一位小数)
3.9×2.9≈11.3(万公顷)
2、
电饭煲售价188.8元,是一只电饭煲价钱的16倍,买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱?
188.8×16=3020.8(元)
(188.8+3020.8)×5
=3209.6×5
=16048(元)
二.学习要点:
对第一单元进行知识整理:
重点:
学习对单元知识整理的方法。
难点:
灵活解决问题
计算中一些技巧:
重点:
理解计算技巧的道理
难点:
在解决问题的过程中正确地运用。
[知识教学]
一、对第一单元的知识进行整理。
(一)按照知识的学习顺序进行整理。
1、小数乘法的计算方法
(1)按照整数乘法的计算方法进行。
(2)进行积的处理。
(点小数点)
(3)进行结果的处理。
(最简)
例1:
0.126×50=6.3
提示:
当数位不够的时候,要用0占位。
2、求积的近似值
方法:
看规定保留位数的下一位,用四舍五入的方法进行保留
例2:
(1)2.9495(保留一位小数)≈2.9
(2)3.9504(保留三位小数)≈3.950
(3)4.9983(保留两位小数)≈5.00
(4)5.8092(保留整数)≈6
提示:
在这里,末尾的0表示精确到的位置,所以不能省略。
3、连乘、连加、乘减,整数乘法运算定律推广到小数
方法:
同整数的运算顺序相同,同整数乘法运算定律使用方法也是相同的。
教学:
分辨下面题目能否进行简算。
例3:
(1)27×0.72×0.4
(2)1.28+0.72×0.5
(3)2.5×1.7-1.3×2.5
(4)9.8×0.7+7.9×0.3
思考:
这些题哪些能进行简算?
(3)2.5×1.7-1.3×2.5
=(1.7-1.3)×2.5
=0.4×2.5
=1
分析:
符合运算的规律,可以运用乘法的分配律进行简算。
(2)1.28+0.72×0.5
(4)9.8×0.7+7.9×0.3
分析:
虽然数字可以结合成整数,但不符合运算定律,所以,不能进行简算。
例4:
解决实际问题:
一家三口,每天要喝三袋鲜奶,每袋的零售价是0.85元,如果在牛奶销售点定,每袋0.83元,比零买可少花多少元?
解法
(一):
0.85×3×31—0.83×3×31
解法
(二):
(0.85—0.83)×3×31
4、按照新旧知识之间的对比进行知识的整理。
整数乘法
小数乘法
计算方法
同:
方法同整数计算方法。
异:
处理积的小数点
结果同被乘数比较
结果肯定比被乘数大
关键在乘数
乘数>1,积>被乘数
乘数=1,积=被乘数
乘数<1,积<被乘数
二、教学:
一些简算的技巧。
1、教学:
口算中的一些技巧。
例1:
(1)2.5×0.1=0.2534×0.1=3.40.11×0.1=0.011
小结:
乘0.1,只要把被乘数的小数点向左移动一位。
(2)2.5×0.01=0.02534×0.01=0.340.11×0.01=0.0011
小结:
乘0.01,只要把被乘数的小数点向左移动两位。
思考:
如果乘0.001,怎么办?
2、教学:
计算中的一些技巧。
例2:
(1)438.9×5=438.9×10÷2=2194.5
分析:
由于5=10÷2,因此,可以先把438.9乘10,再除以2,所得到的商就是438.9与5的积。
574.62×25=574.62×100÷4=57462÷4=14365.5
分析:
由于25=100÷4,因此,可以先把574.62乘100,再除以4,所得到的商就是574.62与25的积。
3、教学:
简算中的一些技巧。
例3:
9.9×5.3+0.53
=9.9×5.3+5.3×0.1
=(9.9+0.1)×5.3
=10×5.3
=53
提示:
根据数字的特点,在符合运算定律的前提下进行转化。
在完全符合的情况下,再进行简算。
【模拟试题】(答题时间:
30分钟)
1、根据36×17=612,很快写出下面各式的积。
(1)0.36×17=
(2)3.6×1.7=(3)3.6×0.17=
(4)0.36×0.17=(5)360×0.17=(6)0.036×1.7=
2、用竖式计算下面各题。
(1)2.35×1.6=
(2)2.7×240=
3、用竖式计算下面的题目,得数保留两位小数。
(1)1.72×0.19
(2)0.28×3.23
4、用脱式进行计算。
(1)1.8×0.15×0.6
(2)6.4×3.2+8.9
5、用简便方法计算下面的题目。
(1)0.25×2.6×4
(2)7.09×55+45×7.09
(3)3.8×101(4)5.6×99+5.6
6、脱式计算下面题目。
(1)7.4×8×1.05
(2)0.4+2.5×50
7、解决实际问题。
(1)一个漏水的水龙头,一天要白白流
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- 关 键 词:
- 小数 乘法