分式方程及分式复习.docx
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分式方程及分式复习.docx
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分式方程及分式复习
16.3.1分式方程
(一)
教学内容
本节课主要学习可化为一元一次方程的分式方程以及应用课本P149~P151.
教学目标
1.知识与技能
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型思想.
2.过程与方法
经历探索分式方程概念的过程,探索“实际问题”建立模型的方法.
3.情感、态度与价值观
培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想,体会数学的应用价值.
重难点、关键
1.重点:
理解“实际问题”──分式方程模型的过程.
2.难点:
建立分式方程的“建模”方法.
3.关键:
分析实际问题中的量与量之间的关系,正确把握“建模”思想.
教学准备
教师准备:
投影仪,将有关材料(含补充材料)制作成投影片.
学生准备:
复习一元一次方程解法,预习本节课内容.
学法解析
1.认知起点:
本节课是在学习了整式方程“建模”以及解法的前提下进行学习的,学生对应题已经经历了几次的认识.
2.知识线索:
3.学习方式:
采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模,然后利用本章引言中的问题引入,理解分式方程化归成整式方程这一本质思想.
教学过程
一、回顾交流,情境导入
【问题提出】
1.前面我们已经学过了哪些方程?
是怎样的方程?
如何求解呢?
教师活动:
提问,引导学生回忆旧知识.(提问个别学生)
学生活动:
思考后回答:
(1)前面已经学过了一元一次方程.
(2)一元一次方程是整式方程.
(3)一元一次方程解法步骤是:
①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一.
2.(显示投影片1)一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
思路点拨:
这是一道实际建模型的题目,但是又是我们过去熟悉的模型的演变,在设出江水的流速为v千米/时,可列出顺流航速(20+v)千米/时,逆流航速(20-v)千米/时,抓住“时间相等”建横模型
.
【活动方略】
教师活动:
操作投影片,分析问题情境,帮助学生回顾原有的方程模型,迁移到现有问题中去.
学生活动:
共同参与到老师的分析中去,发现所得到的模型是一种新的方程.
教师引出定义:
上面的方程分母含有字母,也就是说左右两边都出现了分式,我们把这样的方程称为分式方程.
教师提问:
分式方程与整式方程的区别在哪里?
学生活动:
通过观察,容易得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母.未知数在分母的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是整式方程.
教师活动:
叙述提问,前面我们已经学过了一元一次方程的解法,但是分式方程中分母含有未知数,你又该如何解这个方程呢?
学生活动:
与同伴交流后,有部分学生会想到将分式方程化归到我们熟悉的整式方程的思路.
师生共识:
应用数学化归思想,可以通过“去分母”将分式方程转化成整式方程.
师生实践:
①
去分母:
方程两边都乘以最简公分母(20+v)(20-v)
得:
100(20-v)=60(20+v)②
解得:
v=5
教师提问:
观察方程①、②中的v的取值范围相同吗?
学生活动:
①由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何实数,数的范围在去分母的过程中扩大了.
【适时点评】
教师抓住学生的认知盲区,说明解分式方程可能产生“增根”(解释),因此必需注意检验,检验方程是将求出的根(如v=5),代入方程,左边等于右边,使等式仍然成立的根是方程根否则是增根.介绍简便方法是将根代入分式中使每一个分母不为零则是方程根.只要有一个为零,这个根就是增根.
二、随堂练习,巩固深化
【课堂演练】(教师板书)
解下列分式方程.
【活动方略】
教师活动:
板书课堂演练,组织学生演练,引导学生观察根的情况,验证、归纳验根的方法.
学生活动:
课堂演练:
1.解:
方程两边都乘以(x+1)(x-1)
得:
2(x-1)+3(x+1)=6
解得:
x=1
检验:
当x=1时(x+1)(x-1)=0所以x=1是增根,原方程无解.
2.解:
方程两边都乘以(x+2)(x-2)得
(x+3)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x2-4)
整理得:
4x+4=0
解得:
x=-1
检验:
当x=-1时x2-4≠0,所以,原方程的根是x=-1.
【师生共识】
归纳小结:
(1)解分式方程的关键是如何转化成整式方程来解,转化的方法是在方程两边都乘以最简公分母,从而去掉分母.
(2)由于转化过程中同乘了含有未知数的一个整式,因而可能使未知数的取值范围扩大,容易造成增根,所以解分式方程一定要验根.
(3)验根的方法是把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
三、阅读理解,以练促思
【指导阅读】
教师指导学生阅读课本P32~P34.思考下列问题.
1.课本P152“练习”解方程的
(1)
(2)(3)(4).
2.【探研时空】
有两块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收取小麦9000kg和15000kg,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量.(设第一块试验田每公顷的产量为xkg,列式为
)
四、课堂总结,发展潜能
1.解分式方程的基本思路,是把分式方程转化为整式方程来解,即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母,从而约去分母,化为整式方程,然后再解整式方程.
2.解分式方程的一般步骤:
(1)在方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;
(2)解这个整式方程;(3)验根.
3.用一个整式(各分式的最简公分母)去乘分式方程的两边时,有可能产生增根,因此要验根,验根的方法有两种:
(1)代入原分式方程检验,即把约去分母变为整式方程后求得的根,代入原方程中去直接检验;
(2)代入所乘的整式(即最简公分母)检验它的值是否为零,即把求得的整式方程的根,代入变形时所乘整式,如果不使所乘的整式为零,就是原方程的根,否则就是增根.
五、布置作业,专题突破
1.课本P154“习题15.3”第1题中
(1)(3)(5)(7)题;第2
(1)题.
2.选用课时作业设计.
六、课后反思
第一课时作业设计
【驻足“双基”】
1.要使得分式
的值为0,x的值应取_____.
2.当x_____时,分式
的值为1.
3.要使得关于x的方程
的解为正数,a的取值范围是().
A.a>
B.a<
C.a=
D.以上答案都不对
4.如果分式
的值为零,则x=().
A.±2B.-2C.+2D.以上结论都不对
5.如果关于x的方程
有增根,求a的值.
【聚集“中考”】
6.解方程:
=6
7.为适应国民经济持续快速协调地发展,自2004年4月18日起,全国铁路实施第五次提速,提速后,火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时,若天津到上海的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x千米/时,提速后火车的平均速度为y千米/时,则x、y应满足的关系式是().
答案:
1.
2.x=13.B4.B5.-26.x=
7.C
16.3.1分式方程
(二)
教学内容
本节课主要学习分式方程的应用,对如何“建模”进行深入的探讨.
教学目标
1.知识与技能
理解分式方程的“建模”思想,掌握实际应用的方法.
2.过程与方法
经历探索建立分式方程的模型,领会它的解题方法,发展学生分析问题,解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生以积极的态度探究“建模”思想,增强他们的应用意识,体会数学建模的实际价值.
重难点、关键
1.重点:
将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论.
2.难点:
寻找实际问题中的等量关系,正确地“建模”.
3.关键:
把握不同的模型思想,合理使用等量关系.
教学准备
教师准备:
投影仪,将有关内容(含补充内容)制作成投影片.
学生准备:
1.复习分式方程解法;2.预习本节课内容.
学法解析
1.认知起点:
在学习了分式方程解法、一元一次方程应用(建模)的基础上学习本节课内容的.
2.知识线索:
3.学习方式:
采用情境导入,激趣促思、合作交流的方式求得问题的解决.
教学过程
一、创设情境,领会新知
【显示投影片1】
例1两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,哪个队的施工速度快?
思路点拨:
这是一道“工程工效”的模型,分析方面是先将两队的单位工效列出,可以设乙工程队单独完成施工需x个月,每个月
,由于已知甲队每个月完成工程的工效是
,那么半个月完成工程的工效为
,乙队半个月完成工程的
,再以总工程量1为不变量,列出等量关系:
+
+
=1,解之x=1.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪,引导学生把整个工程看作单位1,应用工程模型设未知数(间接设法),列出分式方程.(板书)
学生活动:
参与教师讲例分析,充分应用已学过的“建模”类型列出分式方程.
例2从2004年5月起某列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶S千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?
思路点拨:
首先应明确这里的字母v,S表示已知量,采用直接设的方法,设提速前列车的平均速度为x千米/时,然后充分应用提速前后的行驶路程不变“建模”列出方程.
.
【活动方略】
教师活动:
指导学生阅读例2,领会其“建模”思想,然后请部分学生来分析例2(上讲台),其他学生补充.
学生活动:
阅读理解例2,归纳出“建模”思路,踊跃发表自己的看法,并小结出列分式方程解应用题的方法和步骤.
方法:
与列一元一次方程解应用题一样,着眼于找出应用题中数量间的相等关系进行“建模”.
步骤:
(1)弄清题意;
(2)设元;(3)找相等关系,建立模型;(4)解方程并验根;(5)写出答案.
【设计意图】
教师先以例1为素材,引导学生“建模”,然后放手让学生阅读理解例2,培养学生自主合作的思想.
二、合作学习,感知轻重
【显示投影片2】
演练题1某车间有甲、乙两个小组,甲组的工作效率比乙组工作效率高25%,因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加1800个零件所用的时间少半小时,问甲、乙两组每小时加工多少个零件?
思路点拨:
设乙组每小时加工x个零件,则甲组每小时加工(1+25%)x个零件.根据甲、乙两组所用时间的相等关系建立分式方程的模型:
,解出x=400.
演练题2某校学生进行急行军训练,预计行60千米的路程可在下午5点到达,后来由于把速度加快
,结果于下午4点到达,求原计划行车的速度.
思路点拨:
设原计划的速度为x千米/时,则实际行军速度为(1+
)x千米/时,由此可以表示原计划行军时间以及实际行军时间,再根据实际行军比原计划提前1小时到达目的地.列出分式方程模型为
,解出x=10.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪,巡视、引导学生完成演练题,关注“学困生”.请部分学生上台“板演”.
学生活动:
先独立完成上面的演练题1,2,然后再与同伴交流、上台演示.
【设计意图】
在学习完例1、例2之后,学生的“建模”意识已拓展,再通过两个演练题加以巩固.
三、随堂练习,巩固深化
1.课本P154“练习”第1、2题;P155“习题16.3”第7题.
2.【探研时空】
甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程.已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的
,求甲、乙两队单独完成各需多少天?
(4天,6天)
四、课堂总结,发展潜能
提问:
1.将实际问题转化为数学模型,应把握哪些主要问题?
请你归纳方法.
2.对于从数学模型中得到的解的合理性方面你是怎么看的?
3.本节课的分式方程的应用方面应注意些什么?
举例说明.
五、布置作业,专题突破
1.课本P154“习题15.3”第1.(6)(8),2.
(2),3,4,5,7,8题.
2.选用课时作业设计.
六、课后反思
第二课时作业设计
【驻足“双基”】
1.当x=_______时,分式
与
的值相等.
2.当x=_______时,分式
与
互为相反数.
3.A、B两地相距80千米,甲骑车从A地出发1小时后乙也从A地出发,以相当甲1.5倍的速度追赶,当追到B地时甲比乙先到20分钟,求甲、乙速度.
4.某自来水公司水费计算办法如下:
若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过5m3,则超过部分每立方米收取较高的定额费用.1月份,张家用水量是李家用水量的
,张家当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元,超过5m3的部分每立方米收费多少元?
【聚集“中考”】
5.甲、乙两个工程队挖水渠,已知甲队挖420米所用时间与乙队挖490米所用时间相等,且乙队平均每小时比甲队多挖10米,问甲、乙两队每小时各挖多少米?
答案:
1.-12.-53.40千米/时,60千米/时4.设超过5m3部分每立方米收费x元,则
+5)×
得x=25.60米,70米.
第十六章分式复习与交流
教学内容
本节课主要内容是对本单元进行回顾.
教学目标
1.知识与技能
会进行分式的基本运算(加、减、乘、除、乘方),熟练掌握分式方程的解法,能应用“建模”思想解决实际问题.
2.过程与方法
经历回顾分式概念、计算、应用的过程,提高观察、类比归纳、猜想等能力,.领会其算理.
3.情感、态度与价值观
培养学生的自主、合作、交流的意识,和严谨的学习态度,让学生体会知识的内在价值.
重难点、关键
1.重点:
通过理解分式的基本性质,掌握分式的运算、应用.
2.难点:
分式的通分以及分式方程的“建模”.
3.关键:
把握分式的基本性质,领会算理.
教学准备
教师准备:
投影仪,制作与本节课有关的投影片,图片等.
学生准备:
做一份本单元知识小结.
学法解析
1.认知起点:
在学习了不等式基本性质、约分、通分、混合运算,以及分式方程、应用内容后进行反思.
2.知识线索:
3.学习方式:
采用知识体系梳理,合作交流的学习方式达到巩固提高本单元知识的目的.
教学过程
一、回顾交流,巩固反馈
【组织交流】
教师活动:
打开投影机,先将学生分成四人小组,交流各自准备的单元小结,然后开展小组汇报.
学生活动:
小组合作交流,交流内容是
(1)单元知识结构图;
(2)课本P157“回顾与思考”的5个问题;(3)自己的单元小结.
活动形式:
先小组合作交流,再小组汇报,师生互动.
媒体使用:
学生汇报中,可借用投影仪,辅助讲解.
教师归纳:
本章主要内容是分式的概念;分式的基本性质;分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用,这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用.(投影显示本单元知识体系,见课本P157)
1.分式的基本性质是分式恒等变形的依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键,因此学习中要注意以下三点:
(1)基本性质中的字母表示整数,(
,M≠0)
(2)要特别强调M≠0,且是一个整式,由于字母的取值可以是任意的,所以M就有等于零的可能性,因此,应用基本性质时,重点要考查M的值是否为零.
2.约分,约分的目的是化简,关键是找分子和分母的最高公因式,即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂.
3.通分,通分关键是确定n个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫最简公分母.
4.分式的乘除法本质就是
(1)因式分解,
(2)约分.
5.分式的加减法本质就是
(1)通分,
(2)分解因式,(3)约分.
6.解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程,但要注意验根.
【设计意图】
让学生掌握课堂的主动权,以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性.
二、寓思与练,讨论交流
【显示投影片1】
演练题1:
当x取什么数时,下列分式有意义?
(1)
.
思路点拨:
(1)令5x+1=0,相应求出x的值,然后x不取这个值时分式必有意义.(x≠-
);
(2)由于无论x取何值x2+2的值均大于零,因此,x取任何实数,此分式都有意义;(3)因为任何数的平方均为非负数,则m2≥0,所以m≠0即可.
演练题2:
当x取什么数,下列分式的值为零?
(1)
.
思路点拨:
令分子等于零,由此求出x的值,此时应考虑分母是否等于零,若等于零,则分式无意义,应舍去.
(1)x=-
;
(2)x=2.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪,引导学生训练,并请学生上台板演.
学生活动:
独立完成演练题1,2,以练促思.
三、随堂练习,巩固深化
1.x为何值时,
的值为零;(x±5)
2.x为何值时,
没有意义;(x=9)
3.x为何值时,
的值等于1.(a=2)
4.课本P158复习题15第6题.
四、范例学习,提高认知
例1计算.
思路点拨:
按法则进行分式乘除法运算,应注意,如果运算结果不是最简分式,一定要约分,对于分式的乘除混合运算,按乘除的顺序依次进行;当分子、分母是多项式时,一般先分解因式,并在运算过程中约分,使运算简化.
例2计算.
思路点拨:
(1)分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减,因此,在通分过程中找出最简公分母是关键.
(2)对于分式的混合运算,应注意运算顺序.
【活动方略】
教师活动:
通过分析例1、例2的算理,增强学生的运算能力,提高运算的准确性.学生活动:
参与例1、例2的分析,同老师一道领会算理,掌握正确的学习方法.
五、随堂练习,巩固深化
1.计算.
2.先化简,再求值:
,其中x=
六、联系实际,实践应用
【显示投影片2】
例3解分式方程:
1-
[x=2]
思路点拨:
解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母,使方程化为整式方程,但解后必须验根.
例4某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵,工人为了支援祖国现代化建设,每天比原计划增加25%,可提前10天完成任务,问原计划每天生产多少台?
(80台)
思路点拨:
工程问题常用的关系式是时间=
,设原计划每天生产x台,列式
=10.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪,启发引导学生弄清题意,正确解答.
学生活动:
利用例3、例4,复习分式方程解法,以及应用题“建模”方法,并归纳小结.
七、继续演练,反复认识
【显示投影片3】
1.解方程:
=8(无解)
2.一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因出现特殊情况多停一些,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车原来的速度.
[提示:
设火车原速为x千米/小时,列车
,x=75]
3.课本P158“复习题15”第11,12题.
八、布置作业,专题突破
1.课本P158“复习题15”第1,2(3)(4)(6),3
(2)(4)(6),4,5,8,9,10题.
2.选用课时作业设计.
九、课后反思
课时作业设计
【驻足“双基”】
1.x______时,分式
有意义.
2.分式
的最简公分母是________.
3.计算:
(a+b)·
=______.
4.当x=______时,分式
的值相等.
5.当m=______时,方程
会产生增根.
6.若分式
的值为零,则a的值是().
A.±3B.-3C.3D.以上结论都不对
7.能使分式
-2值为零的x的值是().
A.x=4B.x=-4C.x=-4或x=4D.以上结论都不对
8.计算.
(1)
9.化简求值:
.
10.解方程:
=-3
【提升“学力”】
11.a为何值时,关于x的方程
的解等于零?
12.某个体商贩一次同时卖出两件上衣,每件都以135元出售,其中一件盈利25%,另一件亏本25%,讨论在这次买卖中,该商贩能否赚到钱?
13.南京到上海铁路长300千米,为适应两省、市经济发展的要求,客车的行车速度每小时比原来增加了40千米,这样使得由南京至上海的时间缩短了1.5小时,求列车原来的速度及现在的速度.
请参照上面的应用题,编一道类似的应用题(不需要求解)这道应用题应满足:
(1)不改变分式方程的形式;
(2)改变实际背景和数据.
答案:
1.x≠52.m(m+1)(m-1)3.a+b4.-55.-36.C7.A
8.
(1)
(提示:
先把a看作已知数,按照解分式方程的步骤求出x,然后令x=0,得到关于a的方程,求出a值.(8-a)x=1-5a,当a≠8时,x=
.)
12.赚不到13.设列车原来的速度为x千米/时,则
=1.5.
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