离散数学B卷及答案.docx
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离散数学B卷及答案
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一、单项选择题(本大题共15小题,每小题1分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括
号内。
错选、多选或未选均无分。
1•令P:
今天下雪了,Q:
路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为()
A.
PfQ
B.
PVQ
C.
PAQ
D.
PAQ
2.
下列命题公式为重言式的是()
A.
Qf(PAQ)
B.
Pf(PAQ)
C.
(PAQ)fP
D.
(PVQ)fQ
3.
下列4个推理定律中,不.正确的是(
)
A.
A=(AAB)
B.
(AVB)AA=
B
C.
(AfB)AA=B
D.
(AfB)AB=
A
4.
谓词公式-x(P(x)VyR(y))fQ(x)中量词-x的辖域是(
)
A.
-x(P(x)yR(y))
B.
P(x)
C.
(P(x)VyR(y))
D.
P(x),Q(x)
5.设个体域A={a,b},公式-xP(x)AxS(x)在A中消去量词后应为()
A.
P(x)AS(x)
B.
P(a)AP(b)A(S(a)VS(b))
C.
P(a)AS(b)
D.
P(a)AP(b)AS(a)VS(b)
6.
下列选项中错误.的是(
)
A.
?
』?
B.
?
€?
C.
?
-{?
}
D.
?
€{?
}
7.设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={,,
A.{{a},{b,c},{d}}B.{{a,b},{c},{d}}
C.{{a},{b},{c},{d}}D.{{a,b},{c,d}}
8.设R为实数集,函数f:
RfR,f(x)=2x,则f是()
C.
双射函数
D.非入射非满射
设R为实数集,R+={x|x€RAx>0},*是数的乘法运算,<R+,*>是一个群,则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是(
B.
C.
10.
{R坤的有理数}
{R+中的自然数}D.
下列运算中关于整数集不能构成半群的是(
{R坤的无理数}
{1,2,3}
)
ab=max{a,b}
B.
ab=b
C.
ab=2ab
D.
ab=|a-b|
11.设z是整数集,+,•分别是普通加法和乘法,则(Z,+,)是(
A.域
B.整环和域
C.整环
D.含零因子环
12.设A={a,b,c},R是A上的二元关系,R={,,,
A.反自反的
B.反对称的
C.可传递的
D.不可传递的
13.设D=
A.强连通图
B.单向连通图
C.弱连通图
D.不连通图
14.在有n个结点的连通图中,其边数(
A.最多有n-1条
B.至少有n-1条
C.最多有n条
D.至少有n条
15.连通图G是一棵树,当且仅当G中
A.有些边不是割边
B.每条边都是割边
C.无割边集
D.每条边都不是割边
二、填空题(本大题共10小题,每小题
2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
16.任意两个不同的小项的合取为式,全体小项的析取式必为
式。
17.公式x(P(x)tQ(x,y)VszR(y,z))S(x)中的自由变元为,约束变元
为。
18.设集合M={x|1 MnN=,MUN=。 19.设X={1,2,3},f: XtX,g: XtX,f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, g={<1,2>,<2,3>,<3,3>},则fg=,gf=。 20.设A={a,b,c},R是A上的二元关系,且给定R={,, r(R)=,对称闭包s(R)=。 21.设Q为有理数集,笛卡尔集S=QXQ,*是S上的二元运算,-, 贝H的逆元是。 22.设*是集合S上的二元运算,若运算*满足且存在, 则称 23. 24.如下无向图割点是 令A={a,b,c},是循环群,a是单位元,则b=,c的阶是 28.给定图G如下所示, (1)写出G的可达矩阵; (2)G中长度为4的路有几条? 29.求下列公式的主析取范式和主合取范式: (P-Q)A(QtR) 30.设A为54的因子构成的集合,R二AXA,-x,y€A,xRyx整除y。 画出偏序集的哈斯图,并求A中的最大元,最小元,极大元,极小元。 五、证明题(本大题共3小题,第31、32小题各6分,第33小题8分,共20分) 31.设R是A上的一个自反关系,证明: R是一个等价关系,当且仅当若€R, €R,贝U€R。 32.设 ab=a*x*b,-a,b€G。 证明: 33.设图G是具有6个结点,12条边的无向简单图,证明图G是汉密尔顿图。 五、应用题(本大题共2小题,第34小题8分,第35小题7分,共15分) 34.构造下面推理的证明。 如果今天是星期六,我们就要到颐和园或圆明园去玩。 如果颐和园游人太多,我们 就不去颐和园玩。 今天是星期六,颐和园游人太多,所以我们去圆明园玩。 35.n个城市用k条公路的网络连结。 一条公路定义为两个城市间的一条不穿过任何中间城 市的道路。 任意两个城市之间至多修一条公路。 证明如果-1)(n-2),则人们总能通 2 过连结的公路,在任何两个城市间旅行。 武汉理工大学《离散数学》考试试题(B卷)答案 站点: 姓名: 专业: 层次 一、单顼选择甄(本犬砸共沾小題.誓小题I分■発15分) l.DTC3A4.C5.B6.07』8,H9A2D H.CLID13.CBIS.B 二J*空題(本大题共iO小邇,毎小麵2分,共20分〕 畑才感掘言17亠y「丄 18{6,12}1*330.12} 19.{ 20.{t { 2t<1(»>农丄,-h>22•结合疣幺元23-c3 ■3 24.d®25.G连通带权地小 三』十算甌(本大題共3小题,第恋覆卞小0^5分.第2^29小题各6分、第孔小题S分■扶30分) 26.辭: 的关系矩阵为: 魁J ■1 0 0 0 I)1! 100II 001 000 PQR IPV^ Q—ft (1PVQ)A(O-*R) IKPA1R) 000 I 1 I 1 1 G01 I I 1 J ■1 0I0 1 0 0 1 i 011 1 1 I I ri 300 0 1 0 0 —i J01 0 1 D 1 i 110 1 0 0 0「 i 111 I 1 1 1 i R•但<bj>僅乩故FL不具备传递性「不是偏序(35» U分) (2)因为电 关赛* 0000]' 10100 28.解 (1)G的邻接矩阵为 00001 10100 .01010- (1分} 01010- ■2020 00002 0202 则A2= 01010 A3= 2020 00002 0202 .20200. 0000 F21215' *1 11Ir 52522 1 1111 故R' 21215 F= 1 11II 52522 1 1111 .25254, 11 1111. (2)G中长度为4的路有眈条° 29,解: 原式^(IPVQ)A(IQVR) O' 0 0 0 4, 00004- 40400 A4=00004 40400 L04040- {4分) (1分) ^(lPVQV(RAlR))A(1QVRV(PA1P)) e=>(lPVQVR)A(lPVQVlR)A(PVIQVR)A(IPVIQVR)^(415t2,6)^ir(214,5l6)(3分) ^>(1PA1QA1R)V(IPAIQAIQAR)V(lPAQAR)V(PAQAR)n》(0」』,7)(3分) 30*解: 刊的因子集合为{1,2,3,6,9,1趴27,54}(1分) 27 A中最大元54,最小元扱大元54,极小元 (4分) 四、证明題(本大题共3小题•第n、32小题各6分,第33小题8分,其20分) 31.证明: 必要性。 R是等价关系,若€R,eR,由R的对称性知: eR.,(3分) 充分性。 首先N是為上的自反关系,其次若eR,由R的自反性知: 再次若 eRtwR,由已知条 件知cR,因而R是传递的'所以R是一个等价关系口(3分) 32.证明: 显然,堤G上的二元运算*要证G咼群*需证明结合律成立,同时存在单位 元和每个元素都有逆元© 藹散数学试題答案及评分参考第2页(共4页) Vatb,ceG,^(aeb) x*(b*x*c)=g<»(btc)可知运算是可结合的n(2分) 其灯円是(g「)的单位元。 事实上,有 aflt"1=a*x*J£_1=atx'l=a=x*]»x*a=a(2分) £U§MeG,宀狎"Y是a在(G八)中的逆元。 寧实上, ak*ad)t)=a*xxfa中k=x (1_17"(讥aSJ5(2分) 由ia±«E明可知是够。 33.证明: 已知一个图是汉密尔顿图的充分条件是: 囹中任总不同两点的度数之和大于 等于%(2分)假设圈中存在测亍结点“,其度数之和不大于尊于6,即dtvj +dg)w5°删去这两个点后.至多硼去图C中的5条边。 (3分)由于関G杲具 有6个结点」2条边的无向简单囲,创去结点叫,巾后'需到的子阴为: 具有4个结 点•至少7条边的无向简单图.但这样的无向简单图不存在,由此证明图C中任意 两个不同结点的度數之和大于等于6,囹心是汉密尔顿图°(3分) 五、应用題(本大题共2小题,第34小题8分僅35小题7分,共15分) (2分) (2分) 弭解: 令P: 今天是星期六Q: 我们到颐和园玩R;我们到闊明园折 头颐和园游人太多 前提: P->QVR(S->1Q.PtS 结论: R 证明: ①J1Q P(前提引人) ②S P(前摄引人) ③1Q T®®[ ④PtQVR P(前提引人) ⑤F P(前提引人) @QVR T®®I ⑦R T®@[ 35.证明: 把威市作为结点,城市间的公路作为结点闾的边,宙此构成图GoG有n个 (1分) 结点花条边© 用反证注证明°假设G中有两结点ii.w,从v不能疑过边到达-不妨•设®为G中能劃达>1的结点集厲为G中不能到达u的结点集。 则有ueV|tvevlo(2分)设G[= 设[%I=m,则|EjWm(E-l)/2f|E3|^(n-m)(n-ni-l)/2■所以It=|&|+ |Ej|Wm(m-1)/2+(n-m)(n -m-t)/2=y*(n1 -n-2mn+2mz) (2分) 又因为mSd,nMm十打所以山-1)(n-m-1)^Ot故tnn-n? -n*】鼻0*即* mn+m2-n+10代人k<--(n3-n-2nm+2m*),得kn1-n-2n+2)= 离懺数学试題答案及评分参考策3页(共4页) *(且-1)5-2),这与题设k>y(n-l)(n-2)矛倩* 矛盾说明图中任两结点可以相互达到,闖人们总能通过连结的公路在任何葡牛城市间雄行.(2分) 离戳数学试题答案及评分参考第4頁(共4頁)为独异点。
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