最新古代面积法起点矩形.docx
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最新古代面积法起点矩形
古代面积法起点矩形
5.图1中,每个小正方形的边长为1,
的三边
的大小关系式:
A.
B.
C.
D.
图1
4.相似形与测量术
《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”:
“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方.”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线,第五、六句是用矩画圆、画方的方法.第二、三、四句是相似直角三角形的应用:
把矩的一边垂直向上去测量高度,把矩的一边垂直向下测量深度,把矩平放去测量地面上两点间距离.下面以第二句为例说明测量方法:
设AB为矩的一边,BC是矩的另一边由顶点到视线的一段,AD为图4.8所示之可测距离,DE
其中显然用到了相似原理,可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了.
《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作.髀是量日影的标杆(亦称表),因书中记载了不少周代的天文知识,故名《周髀》.唐初凤选定数学课本时,取名《周髀算经》.
1.勾股定理
在中国,《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书.该书云:
“求邪(斜)至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,
4.一
条重要的面积定理
在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中,杨辉讨论了勾股容方问题,并在后书中给出如下定理:
“直田之长名股,其阔名勾,于两隅角斜界一线,其名弦.弦之内外分二勾股,其一勾中容横,其一股中容直,二积之数皆同.”
图5中,横指
BE,直指
DE,推测其证明思路如下:
因为
△ABC=△CDA(指面积相等,下同),
又因为
△AIE=△EHA,
△EFC=△CGE,
所以
△ABC-△AIE-△EFC
=△CDA-△EHA-△CGE,
即
BE=
DE.
此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补.实际上,△AIE可以移置△EHA处,△EFC也可以移置△CGE处,所以等积.这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来.但首次表达成定理形式的是杨辉.该定理在平面几何中有广泛的应用.实际上,《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出.
國二數學教材中的開平方法,並不是洋人的唯一專利,在中國傳統數學中,己有類似的記載。
求解2次以上的方程都叫做開方,與現今只將求二項方程xn=A(A>0)的根稱為開方是不同的。
《周髀算經》陳子答榮方問中求太陽到觀測者的距離的方法便用到開平方術,然而未給出具體方法。
《九章算術》少廣章在世界數學史上首次給出了開平方、開立方的程式。
其方法與現今基本一致,只是帶有從除法脫胎出來的痕跡,故稱為「開方除之」。
劉徽用幾何方法證明了開平方、開立方法的正確性。
劉徽、《孫子算經》、賈憲等都對開方術作了不同程度的改進,賈憲的方法與現今完全一致。
辑思维,分析义理。
这些都有利于数学从理论上加以提高。
吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注2卷(已失传),魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷(已失传)都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。
他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。
在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理(图6)和解勾股形的5个公式;在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式,赵爽的工作是带有开创性的,在中国古代数学发展中占有重要地位。
图6
刘徽约与赵爽同时,他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行“析理”,才能使数学著作简明严密。
他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且在论述的过程中有很大的发展。
例如,刘徽从率(后称为比)的定义出发论述了分数运算和今有术的道理,并推广今有术得到合比定理,他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理,指出方程式个数少于未知数个数时,方程组的解只能是一个比值;在一个方程式中,正与负可以同时变号;减法消元和加法消元可以统一为一种方法。
刘徽指出,在开方求得整数后,还可以继续开方,“求其微数”。
这不仅解决了求无理根的问题,而且提出了十进小数的方法。
他创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。
他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:
1,解决了一般立体体积的关键问题。
在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽实际上应用了下列公理:
等高的两立体,若其任意同高处的水平截面积成比例,则这两立体体积亦成同样的比例;并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(图7,两个等半径的圆柱正交的共同部分)的体积之比为π:
4,为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
1.7无理数的发现
中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。
《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形:
“若开方不尽者,为不可开”,《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。
“面”,就是无理数。
与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比,中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数,这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制,这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。
为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法,他称之为“求微数法”,并指出在开方过程中,“其一退以十为步,其再退以百为步,退之弥下,其分弥细,则……虽有所弃之数,不足言之也”。
十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。
法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明,认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。
中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上,建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。
《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:
“若求邪至日者,以日下为句,日高为股,句股各自乘,并而开方除之,得邪至日”(《周髀算经》上卷二)
而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一[2]——
昔者周公问于商高曰:
“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?
”
商高曰:
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。
既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。
两矩共长二十有五,是谓积矩。
故禹之所以治天下者,此数之所生也。
”
周公对古代伏羲(包牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升,地不可得尺寸而度),就请教商高数学知识从何而来。
于是商高以勾股定理的证明为例,解释数学知识的由来。
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
”:
解释发展脉络——数之法出于圆(圆周率三)方(四方),圆出于方(圆形面积=外接正方形*圆周率/4),方出于矩(正方形源自两边相等的矩),矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。
“故折矩①,以为句广三,股修四,径隅五。
”:
开始做图——选择一个勾三(圆周率三)、股四(四方)的矩,矩的两条边终点的连线应为5(径隅五)。
“②既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。
”:
这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形(勾方、股方),根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺,实际上用作直角三角),将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。
“两矩共长③二十有五,是谓积矩。
”:
此为验算——勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。
因三角形为长方形面积的一半,可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积,所以勾方+股方=弦方。
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2009-12-1400:
02
注意:
①矩,又称曲尺,L型的木匠工具,由长短两根木条组成的直角。
古代“矩”指L型曲尺,“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
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2009-12-1400:
02
②“既方之,外半其一矩”此句有争议。
清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”,而之前版本多为“既方之外半其一矩”。
经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究,“既方之,外半其一矩”更符合逻辑。
③长指的是面积。
古代对不同维度的量纲比较,并没有发明新的术语,而统称“长”。
赵爽注称:
“两矩者,句股各自乘之实。
共长者,并实之数。
由于年代久远,周公弦图失传,传世版本只印了赵爽弦图(造纸术在汉代才发明)。
所以某些学者误以为商高没有证明(只是说了一段莫名其妙的话),后来赵爽才给出证明。
其实不然,摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。
案:
弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实。
”
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”,“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明,于是他给出了新的证明。
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赵爽弦图。
注意中间的中黄实
参考资料:
1.曲安京:
商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.刊於《数学传播》20卷,台湾,1996年9月第3期,20-27页。
2.周髀算经,文物出版社,1980年3月,据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
3.陈良佐:
周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.刊於《汉学研究》,1989年第7卷第1期,255-281页。
4.李国伟:
论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章.刊於《第二届科学史研讨会汇刊》,台湾,1991年7月,227-234页。
5.李继闵:
商高定理辨证.刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。
简单应用和比例理论
所谓出入相补原理,用现代语言来说,就是指这样的明显事实:
一个平面图形从一处移置他处,面积不变。
又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
应用这一原理,容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式,由此以定任意多角形的面积。
作为另一简单实例,可以观察左图,如果看作把△ACD移置△ACB处,又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ'、Ⅱ',那么依出入相补原理有:
Ⅲ=Ⅲ',□PC=□RC,……(指面积相等)
由此得
PO×OS=RO×OQ,PO×QC=RB×BC,……
而PO=AR,OS=QC,PQ=AB,RB=OQ,……
因而AR∶OQ=RO∶QC,AB∶OQ=BC∶QC,……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。
并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出,但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题,参看《刘注》。
测望术和重差理论
在《周髀》中,就有用两表测日影以求日高的方法,计算的公式是:
见上图,其中A是日,BI是地平面,ED、GF是先后两表,DH和FI是日影。
《海岛》改测日高为测海岛的高,同图AB是海岛,H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方,于是日高公式成为:
刘徽证明和所用的图都已经失传,但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证,原证当大致如下:
由出入相补原理,得
□JG=□GB,
(1)
□KE=□EB,
(2)
相减得□JG-□KE=□GD,
所以(FI-DH)×AC=ED×DF,
即表目距的差×(岛高-表高)=表高×表距。
这就得到上述公式。
按《海岛》共九题都属测望之类,所得公式分母上都有两测的差,“重差”这一名称可能由此而来。
其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明,现在从略。
元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题,朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。
依据朱对海岛一题的解法,我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。
如下图,现在重作证明如下:
由出入相补原理,除
(1)、
(2)外又有
□PG=□GD,(3)
由
(1)、
(2)、(3)得
□JN=□EB=□KE,
所以MI=DH,(4)
FM=FI-MI=FI-DH=表目距的差。
由(3)式就得到海岛公式。
如果依照欧几里得几何体系的习惯证法,那就自然应该添一平行线GM'‖AH,如下图,再利用相似三角形和比例理论作证。
清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明,这当然不是刘徽的原意,也和我国古代几何的传统相违背。
注意作平行线的时候应有FM'=DH,和前面(4)式相比,M和M'的位置完全不同。
明末耶稣会传教士利玛窦(1552—1610)来我国,他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。
他曾口授《测量法义》一书,其中载有和海岛题完全类似的一题。
在他所作的证明中,需要在FI上取一点M使(4)式成立,再用比例理论作证,见本页上图。
按常理来说,利玛窦应该作平行线而取M'使FM'=DH,但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合,颇使人迷惑不解。
现在提出这一问题,希望大家共同探讨。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中,都已经明确给出了勾股定理的一般形式:
勾2+股2=弦2。
虽然原证不传,但是据《勾股说》以及《刘注》,都依出入相补原理证明,并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图,这几方面互相参照,原证应该大致如下:
如下图所示,勾股形是ABC,BCED是勾方,EFGH是股方,把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC,△GIH移到△GAF,就得到ABIG=弦2,由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示,其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理,为此要作不少准备工作,因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理,而在整个《几何原本》中几乎没有用到。
而在我国,勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用,成为两千来年数学发展的一个重要出发点,参阅以下各节和文末附表。
在东西方的古代几何体系中,勾股定理所占的地位是颇不相同的。
勾、股、弦和它们的和差互求
勾、股、弦和它们之间的和差共九个数,只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开平方之外,《九章》勾股章中有不少这方面的问题:
第一,知股弦差、勾,求股、弦(五题);
中国古代最伟大的数学家--刘徽
作者:
赵行之发布时间:
09-11-10阅读:
2072
所属分类:
数学史
刘徽(大约生于公元250年左右),三国后期魏国人,淄川(今山东邹平)人。
他是中国数学史上一位非常伟大的数学家,也是中国古典数学理论的奠基者之一,在世界数学史上,也占有杰出的地位。
其生卒年月、生平事迹,史书上很少记载。
下面从几个方面来认识一下这位伟大的数学家。
一、数学著作
《九章算术注》
刘徽的数学著作留传后世的很少,所留之作均为久经辗转传抄。
他的主要著作有:
1、《九章算术注》10卷,成书于公元263年(《隋书•律历志》记载:
“魏陈留王景元四年(263年),刘徽注《九章》)
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作,作者不祥,它是中国古代算法的基础。
书中记载了从先秦到东汉的数学成果,共提出了246个数学问题,并给出相应的解法,共分为九大类,分别是:
(1)方田:
主要是田亩面积的计算和分数的计算,包括三角形、梯形、圆、弧与环形等形状面积的计算方法,是世界上最早对分数进行系统叙述的著作;
(2)粟米:
主要是粮食交易的计算方法,其中涉及许多比例问题;
(3)衰(读作“翠”)分:
主要内容为比例,算术级数和几何级数的算法;
(4)少广:
主要讲开平方和开立方的方法;
(5)商功:
主要是土石方和用工量等工程数学问题,以体积的计算为主;
(6)均输:
计算税收等相关问题,比如缴税的时间周期,按人口征税等;
(7)盈不足:
双设法的问题,实质上是已知两点求通过两点的直线方程;
(8)方程:
主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法,在世界数学史上是第一次出现;
(9)勾股:
勾股定理的应用。
《九章算术》在许多方面:
如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的面积体积计算等,在当时,都属于世界先进之列。
但原书文字过于简单,往往只有解法而缺乏证明过程,并且在传抄的过程中,不可避免地会出现错误;所以刘徽为《九章算术》作注,在其中阐明了解题方法的步骤和推导过程,还给出了一些算法的证明,并纠正了原书中的一些错误。
而在作注的过程中,他还做出了很多创造性的工作,提出了不少超出原著的新理论。
有了刘徽的注释,《九章算术》才得以成为一部完美的中国古代数学教科书。
(刘徽注《九章算术》时年仅30岁左右。
)
以《九章算术》代表的中国古代传统数学,与欧几里得《几何原本》为代表的西方数学,代表着两种迥然不同的体系。
《九章算术》着重应用和计算,其成果往往以算法形式表达。
《几何原本》着重概念与推理,其成果以定理形式表达。
从而形成东西辉映、大相径庭的两部数学名著。
而刘徽和欧几里得也成为了古代东西方两大数学体系的代表人物。
公元元年前后,盛极一时的古希腊数学走向衰微,《九章算术》的出现,标志着世界数学研究中心从地中海沿岸转到了中国,开创了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。
2、《海岛算经》1卷
《海岛算经》是刘徽所著的一部运用几何和三角知识测量“可望而不可即”目标的高、远、深、广的数学测量学著作,原名为《重差》(所谓“重差术”便是计算极高和极低的方法),附于刘徽《九章算术注》之后作为第十章。
唐代将《重差》从《九章》分离出来,单独成书,按第一题“今有望海岛”,取名为《海岛算经》,是《算经十书》(古代国子监算学学习和考试用书)之一,并且规定《海岛算经》的学习期限为三年,是其他算经学习期限的三倍。
现传版本的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时,戴震从明朝《永乐大典》中重新抄录出来的,但只剩下九个问题,并且只存刘徽文字,原刘徽作的图和原刘徽所作的注释不存。
1、望海岛
2、望松生山上
《海岛算经》
3、南望方邑
4、望深谷
5、登山望楼
6、南望波口
7、望清渊
8、登山望津
9、登山临邑
这九个问题的所有计算都是用筹算进行的。
《重差》和《九章重差图》是陈子(公元前六、七世纪的中国数学家)测日法的推广。
《海岛算经》所提及的“重差术”是透过对事物对象的反覆观测(第一、三、四问要观测两次,第二、五、六、八问要观测三次,第七、九问要观测四次),在不引入三角函数的情况下,刘徽借助于相似勾股形的比例关系将中国古代的“重差”理论进一步发展,从而计算出精确的结果,同时展示了两者的演化历程,这标志着中国古代数学家在测量技术及理论方面达到了新的高度。
《中国数学史大系》一书中评价《海岛算经》:
“使中国测量学达到登峰造极的地步。
3、《九章重差图》l卷
《九章重差图》记录了《九章算术》注及《重差》中的图形,及是一本图册。
刘徽以后,学习和研究《九章算术》的人要把图册和书相配合,直至宋代图册失传。
4、《鲁史欹器图》1卷
《鲁史欹器图》出现在隋朝,为“仪同刘徽注”,此刘徽可能为数学家刘徽,这个问题在中国古代数学史上不同看法。
(3、4的看法,节选自吴文俊主编,《中国数学史大系》第三卷第二编)
二、数学成就
刘徽的数学成就大致为两方面:
1、清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础,这方面集中体现在《九章算术注》中,它实已形成为一个比较完整的理论体系:
①在数系理论方面
用数的同类(是指用同一度量单位『即法,即现在分数中的分母』所得之数,后刘徽又在正负数的概念中用同类来指正数)与异类(即实,即现在分数中的分子,后也指负数)阐述了通分(刘徽概之为“齐同以通之”,即现在分数运算、比较时,把分母相乘以达到分母相等,即得到“同”)、约分(用各分数的分母除“同”而得各分数的率,用“率”乘各分子即得“齐”,“齐”就可以比较了),这样就可进行分数的四则运算,以及繁分数化简等的运算。
(比如,“同”即为,各分数的“率”即为,,,直接用它们乘以、,,即得到相应的“齐”,然后就可进行计算、比较)
在少广章开方术的注释中,他从“开之不尽”的意义出发,论述了无理方根的存在;并且为了开方运算的方便而“以面命之”,即从几何的观点出发,在“量之不尽”时用线段(如,用正方形的对角线表示)来表示无理方根。
并创造了用十进制小数来表示无理数的立方根。
他是世界上最早提出十进制小数概念的人。
另外,他还方程章中正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则。
(刘徽注中的正负数的定义是“今两算得失相反,要令正负以名之”。
另外,中国古代数学家在用算筹解方程时,一般用红色的算筹来代表正数,黑色的算筹来代表负数;也有用三角形算筹代表正数,四边形算筹代表负数的。
)
【算筹的发明和十位进制的创立】
古代的象牙算筹
中国古代有一句谚语,叫做“运筹策帷幄之中,决胜于千里之外”。
其实,筹策的本意是指中国古代的一种计算工具----算筹,又称算子,在中国历史上曾经使用了几千年之久,直到明代以后才被算盘所替代而退出历史舞台。
根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为13-14厘米,直径2至4毫米,多用竹子制成,也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带。
需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
算筹是在结绳记数、契刻记数等记数方法的历史发展中逐渐产生的。
它最早出现在何时,现在已经不可查考了,但至迟到春秋战国,算筹的使用已经非常普遍了。
那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢?
古代的数学家们创造了纵式和横式两种摆法,这两种摆法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数码。
下图便是算筹记数的两种摆法:
古代算筹记数的摆法
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢?
这就是因为十进位制的需要了。
所谓十进位制,又称十进位值制,包含有两方面的含义。
其一是“十进制”,即每满十数进一个单位,十个一进为十,十个十进为百……;其二是“位值制”,即每个数码所表示的数值,不仅取决于这个数码本身,而且取决于它在记数中所处的位置。
如同样是一个数码“2”,放在个位上表示2,放在十位上就表示20,放在百位上就表示200,放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中,就已经有了十进位值制的荫芽,到了算筹记数和运算时,就更是标准的十进位值制了。
按照中国古代的筹算规则,算筹记数的表示方法为:
个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式……这样从右到左,纵横相间,遇零则置空,以此类推,就可以用算筹表示出
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