等差数列典型例题及详细解答.docx
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等差数列典型例题及详细解答
等差数列典型例题及详细解答
(总13页)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1
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1.等差数列的定义
-般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_g_表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{拐的首项为*公差为d,那么它的通项公式是a.,=a:
+a-l)£・
3.等差中项
如果A=~,那么月叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=(n—ai)d(n,mWN*).
⑵若{<>为等差数列,且1=m~\~n(k,m、”WN°),则az+a』=ac+am
(3)若{%}是等差数列,公差为",贝9{吐}也是等差数列,公差为竺
⑷若{山,⑹是等差数列,贝!
」{皿+也}也是等差数列.
⑸若&}是等差数列,公差为〃,则必,站”必口,…(匕4)是公差为迢的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{““}的公差为〃,其前“项和S”=^宁或必=“5+巴亍丄〃.
6.等差数列的前”项和公式与函数的关系
数列{"”}是等差数列S„=An2+Bn(A.B为常数).
7.等差数列的前”项和的最值
在等差数列{“”}中,心0,(1<0,则&存在最大一值:
若e<0,d>0,则S“存在最小值.【思考辨析】
判断下而结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(X)
⑵数列{“”}为等差数列的充要条件是对任意都有2如尸心+如2・(J)
(3)等差数列{心}的单调性是由公差〃决定的.(J)
(4)数列{“”}为等差数列的充要条件是其通项公式为"的一次函数.(X)
⑸数列{"”}满足“,小一"产”,则数列{“”}是等差数列.(X)
⑹已知数列{⑷}的通项公式是心=””+/苴中p,彳为常数),贝IJ数列{““}一立是等差数列.(V)
1.(2015•重庆)在等差数列{如中,若他=4,心=2,则心等于()
A・一1B.0C・1D・6
答案B
解析由等差数列的性质,得“6二如-"2二2X2-4二0,选B.
2.(2014•福建)等差数列{血}的前〃项和为几若t/i=2,53=12,则心等于()
A.8B・10C・12D・14
答案C
3X2
解析由题意知⑵二2,由Sy=3a\+—^Xd=12,
解彳导〃二2,所以“6二⑷+5d二2+5X2二12,故选C・
3.在等差数列{“”}中,已知心+心=16,则该数列前11项和Sh等于()
A.58B・88C・143D・176
答案B
lid]+1k/4+“8
解析S|)二二二8&
4.设数列{“”}是等差数列,若的+如+的=12,则他+卄・・+的等于()
A.14B・21C・28D・35
答案c
解析丁心十"4+心=3心二12#6/4=4,
/.U\+U2+•••+=7“4=2&
5・(2014•北京诺等差数列仏}满足⑷+曲+心>0,心+尙()<0,则当n=时,仏}的前〃项和最大.
答案8
解析因为数列{"“}是等差数歹I」,且十"8+"9=3"8>0,所以“8>0.又"7+"10="8十Og<0,所以的<0.故当H
二8时,其前n项和最大・
例1⑴在数列仏}中,若ai=-2,且对任意的nGN*有2如|=1+2如则数列{如}前10项的和为()
5-4D
5-2
COnB.
2
•A
(2)已知在等差数列{如中,"2=7,心=15.则前10项和Sg等于()
A.100B.210
C・380D・400
答案
(1)C
(2)B
解析⑴由二1十如得⑷+】-如二*,所以数列{“”}是首项为-2,公差为*的等差数列,
10X10-115
所以510=10X(-2)+5X2=2・
(2)因为2=7.a4=15.所以〃二4,6/1=3,
故Sw二10X3十10X9X4二210.
思维升华
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项E和公差d.然后由通项公式或前“项和公式转化为方程(组)求解•
(2)等差数列的通项公式及前"项和公式,共涉及五个呈山,m.d.n.S„,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想•
跟踪训练1
(1)(2015・课标全国II)设S“是等差数列{“”}的前“项和,若“|+“3+"5=3,则S5等于()
A.5B.7C.9D.11
⑵已知等差数列{"”}的前n项和为S",且满足~y=1,则数列⑺”}的公差是()
A.|B.1C.2D.3
答案
(1)A
(2)C
解析⑴丁{如为等差数列「."I十“5二加3,
a\十“3十"5=3"3二3,彳导"3二1f
5ai+as
/.S5二—5—-5“3二5•故选A.
苧二1,
•5⑴十⑷
•〃一2
nai+Un
如+。
3+d2”
侍-5--~2~=1■即"3-"2二2,
•••数列{如}的公差为2.
题型二等差数列的判定与证明
311
例2已知数列仙}中,如=卞如=2〃鼻2,“GN)数列{九}满足仇=—rvGGN)
(1)求证:
数列{b”}是等差数列:
(2)求数列⑺”}中的最大项和最小项,并说明理由.
⑴证明因为an=2-—^—(n^2,GN*),
・1
bn=-■-(“GN"),
5■1
所以bn^1-hn二-
Un+1-1du-1
!
!
也!
_一]
2-—-\~1Cln-1Cln~1
又2七二以
a\-1必
所以数列{仇}是以-1为首项」为公差的等差数列•
7
⑵解由⑴知九二—厂
12
贝(J血二1十二1十小_才
%2n-7
2
设.心)二1十—-r
2x-7
则7U)在区间(-8,彳)和(孑,十8)上为减函数.
所以当"二3时,如取得最小值-1,当“二4时,如取得最大值3.
引申探究
例2中,若条件变为"1二g,min+1=(?
?
+1)"“+”("+1),探求数歹1」"伽啲通项公式.
1fin
解由已知可得一二寸十-
H+1n
Un+1//.I3
即—-7=1,又"弋,
ZI+1n3
.•.{7}是以¥二|为首项,1为公差的等差数列,
•an3,[[2
••万二尹(―1)・1—亍
•.2
••an=rr-尹
思维升华等差数列的四个判走方法
(1)走义法:
证明对任意正整数"都有©等于同一个常数•
⑵等差中项法:
证明对任意正整数H者階2thi+1=du十如+2后,可递推得出lilt+2-dll+1二</n+1-如二tin-lln-1二"”-1-^-2=…二U2-t/1,根据走义得出数列{"“}为等差数列•
(3)通项公式法:
得出后,得an=p对任意正整数“恒成立,根据走义判定数列{如}为等差数
列.
⑷前“项和公式法:
得出S”二加2十血后f根据Sn,⑷的关系,得出心,再使用走义法证明数列{"”}为等差数
列•
跟踪训练2⑴若{“”}是公差为1的等差数列,则血厂]+2“2“}是()
A・公差为3的等差数列
C.公差为6的等差数列
B・公差为4的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)在数列伽冲,若5=1,02=
g丄=£+丄则该数列的通项为()
/Un^l5"卅2
A.心
B.如一卄1
厂2
C.心-卄2
答案
(1)C
(2)A
小3
d.仃
解析
(1)Vt/2n-I+2d2n-("2w•3+2d2n•2)
=(U2n-1-C12I1・3)十2(a加-U2/t・2)
=2+2X2=6r
.・.{^-i+2“刃是公差为6的等差数列.
21|
⑵由已知式丄二厂+丄可得如】5如2
丄-77=—-丄,知{[}是首项为[二1,公差为+J二2-1二1的等差数列,所以+二",即“”二£如I5心+2如I5"1"2"15n
型三等差数列的性质及应用
命题点1等差数列的性质
例3
(1)(2015•广东)在等差数列{如}中,若“3+"4+“5+“6+“7=25,则“2+"8=•
⑵已知等差数列{“”}的前"项和为S”且510=10,520=30,则S3«=.
答案
(1)10⑵60
解析⑴因为{如是等差数列/所以“3+“7="4+"6=么2十=2"5/“3+“4+"5+“6+的=5u$二25■即心二5,U2+"8=2^/5=10.
⑵VS|(),■Siu,S30-S?
。
成等差数列/且5io二10,S?
o=30.S20-Sg=20,
A53o-3O=10+2X10=30,:
.Sw二60.
命题点2等差数列前"项和的最值
例4在等差数列仏}中,已知5=20,前"项和为S”,且Sio=Si5,求当“取何值时,S”取得最大值,并求出
它的最大值.
解Vd|=20,S10=^15/
方法一由⑷二20十5-1)X
得“13=0.
即当“W12时.alt>0f当心14时,an<0.
•••当n=\2或13时取得最大值,
且最大值为Si2=Si3=12X20+12^HX
5,125TH-+一^~
••5WN“,•••当”二12或13时,必有最大值,且最大值为512=513=130.
方法三由SlO二S]5彳导“I】+6/12+]3+6/14+r/15=0.
/.5ai3=0f即
•••当A?
=12或13时,必有最大值z且最大值为S12=513=130.
引申探究
例4中,若条件S二20”改为⑴=-20,其他条件不变,求当”取何值时,S“取得最小值,并求出最小值.
解由510=515.得"11+“12十如3十如4十“15二0,
•••尙3=0•又a\=-20,•;如2<0f创4>0/
・•.当«=12或13时,S”取得最小值,
13山+“13
最/」\值S]2二Si3二5-130・
思维升华⑴等差数列的性质:
Uni"Cln.
1项的性质:
在等差数歹!
J{"“}中,tin,-an-(m-n)d二〃伽知),其几何意义是点⑺,"”),(m,如)所在直线
m-n
的斜率等于等差数列的公差.
2和的性质:
在等差数列{如冲,S”为其前"项和,则
a.Sin-n(a\十2«)二.••二n(an+an+1);
b.S2n.i=(2n-1)a„.
(2)求等差数列前n项和S”最值的两种方法:
1函数法:
利用等差数列前“项和的函数表达式S“二初2十加,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
2邻项变号法:
cbfi^O,
a.当山>0v0时,满足的项数m使得久取得最大值Sm;
如+1W0如WOf
b.当山<0,〃>0时,满足的项数m使得久取得最小值几・
"加+1$0
跟踪训练3
(1)等差数列{““}的前n项和为S”已知“5+"7=4,“6+"8=—2,则当S”取最大值时,n的值是
()
A・5B.6C.7D.8
⑵设数列(伽}是公差〃VO的等差数列,S”为前“项和,若S6=5"i+10d,则S"取最大值时,"的值为()
A・5B.6
C.5或6D・11
⑶已知等差数列仏}的首项山=20,公差〃=一2,则前”项和&的最大值为・
答案
(1)B
(2)C(3)110
解析
(1)依题意得2心二4,2心二-2,6二2>0,“7二-1<0;又数列{““}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S”取最大值时,"二6,选B.
⑵由题意得S6=6di十15J=5tn+10J.所以“6二0.故当〃二5或6时,S”最大,选C.
⑶因为等差数列伽啲首项山二20,公差d二-2,代入求和公式得,
nn-1nn-1
Sn=na\十-5~〃=20"-~5~X2
二-n2+21n=-("・夢)2+(弓
又因为nGN*,所以;?
=10或“二11时,S”取得最大值,最大值为110.
6.等差数列的前“项和及其最值
典例⑴在等差数列{"”}中,2(山+心+心)+3(如+小)=54,则此数列前10项的和九等于()
A.45B.60
C.75D.90
(2)在等差数列{冷}中,Si0=100,Sioo=10,则St,
(3)等差数列{"”}中,已知如0,的+“7<0,则{血}的前"项和S”的最大值为()
A・S4B・S5C・S6D・Sy
思维点拨
(1)求等差数列前n项和,可以通过求解基本呈⑷,d,代入前n项和公式计算,也可以利用等差数
列的'性质:
U\+Un="2+an-1=-•;
(2)求等差数列前“项和的最值,可以将S“化为关于“的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项.
解析⑴由题意得"3十"8二9,
10t/i+aio10“3+血10X9
所以Sio二5二5二~5~二45.
(2)方法一设数列⑺”啲公差为d,首项为⑷,
1099"=-%
110X109
所以5iio=HOt/i+5“二-H0.
ci\\+6/io()X90
方法二因为Sio()・S]o二5二-90,
心0,
所以
//6<0,
所以&的最大值为S5・
温醫提醒⑴利用函数思想求等差数列前“项和S”的最值时,要注意到“GN・;
(2)利用等差数列的性质求S”,突出了整体思想,减少了运算量.
[方法与技巧]
1.在解有关等差数列的基本呈问题时,可通过列关于⑵,〃的方程组进行求解•
2•证明等差数列要用走义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前«项和公式法判定一个数列是否为等差
数列•
3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算呈.
4•在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为⑴",a+d,a+2d;
(2)«-d,a,a+d(3)“-d,a+d,a
+3〃等”可视具体情况而走.
[失误与防范]
1.当公差"H0时,等差数列的通项公式是h的一次函数,当公差〃二0时,“"为常数.
2•公差不为0的等差数列的前«项和公式是“的二次函数,且常数项为0•若某数列的前“项和公式是常数项不
为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列•
A组专项基础训练
(时间:
35分钟)
1.设等差数列{"”}的前“项和为S”,若S3=9,S6=36,则⑷+⑷+①等于()
A.63B.45C.36D.27
答案B
解析由{"”}是等差数列,得S3,S6-S3,So-S6为等差数列•
即2(S6・S3)=S3+(S9・S6),
得到S6=2S6-3S3=45f故选B・
2.(2015-北京)设{如}是等差数列,下列结论中正确的是()
A・若"]+“2>0,则心+"3>0
B・若“]+心<0,则“]+(竝<0
C.若0<5<"2,则
D.若6/1<0»贝|J("2—"1)("2—"3)>0
答案c
解析设等差数列{"〃}的公差为d,若尙十"2>0,U2+心="]++"2十〃二(⑷+"2)+2d,由于d正负不确走#因而ai+ci3符号不确走/故选项A错;若如十“3<0.ai+ai=a\+a3・d二(a\十U3)-dt由于d正负不确走f因而"】+心符号不确走,故选项B错;若0<"心2/可知如>0八/>0,心0,3>0,所以-"]心=("]+d)1-U](a\+2d)二0>0.所以g>yjaw3/故选项C正确;若ai<0,则("2-a\)-(ai-ay)=〃・(-〃)=-0WO#故选项D错・
3.设等差数列{“”}的前”项和为S”,若S叶\=_2,S,”=0,SnHI=3,则加等于()
A.3B.4
C・5D・6
答案c
解析v数列{"”}为等差数列,且前n项和为s“,
.・.数列曾也为等差数列•
S"?
+i2S加
加十1_护
即三十—二0,
m-1加+1
解得m二5『经检验为原方程的解,故选C.
4.数列{“”}的首项为3,{%}为等差数列,且加=如1一為(”GN・),若勿=_2,加)=12,则偽等于()
A.0B.3
C.8D・11
答案B
解析设{b”啲公差为〃,
•:
/?
io-/?
3=7=12-(-2)=14fd=2.
•:
b、二-2#:
・b\二b?
-2d=-2-4=-6.
7X6
/./?
i十加十…十bj=lb\+—~〃
=7X(-6)+21X2=0.
又伤十b2十•••+bl=(U2-cl\)+(“3-U2)十•••+("8-U7)-么8-Ui=U8"3=0#
5.已知数列仙满足如尸“”一号,且如=5,设{“”}的前n项和为S”,则使得S“取得最大值的序号”的值为
()
A.7B.8
C.7或8D.8或9
答案C
5540-5/?
解析由题意可知数列{如}是首项为5,公差为・才的等差数列,所以g=5-^-1)=-^―.该数列前7项
是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S”取得最大值时,“二7或8,故选C.
6.已知数列{如}中,创=1且丄则5(j=・
答案I
解析由已知得二■十(10-l)x|=1+3=4r
"ioa\5
故如()二*
7.已知递增的等差数列{“”}满足5=1,心=尿一4,则心=•
答案加一1
解析设等差数列的公差为〃,
T“3二B・4,二1十2J二(1+d)2-4.
解得沪二4,即d=±2.
由于该数列为递增数列,故d二2・
t/j;=1+(/?
-1)X2=2;?
-1.
8.设数列{"”}的通项公式为"”=2"—10("WNJ,则1"|1+込1+…+I"i5l=•
答案130
解析由心二加-10(〃GN“)知仏}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由血二加-10^0得心5,.SW5
时,心W0,当〃>5时#如>0,.Ik/il+k/zl十…+k/i5l=-(a\+ai+“3十4)+(as十“6十…十"】5)二20+110=130.
9.若数列{“”}的前”项和为S”,且满足"“+2S”S“尸0(“22),“]=*.
(1)求证:
{彩[成等差数列:
⑵求数列⑺”}的通项公式.
⑴证明当n>2时,由,.+2SnSn-i=0,
又右二+二2,故尙是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由
(1)可得士二2n,.*.Sn=痔.
当“M2时,
当”二1时,"]二*不适合上式•故an=S1
r斤22・、2nn-1
10.等差数列{如}中,设S"为其前料项和,且山>0,S3=Sn,则当”为多少时,S“最大
方法一由S3二S]】得
誇譽心则”訓
从而s”二十(“I-9“二-]j(/i-7)2十y|],
又>0r所以-背V0•故当"二7时,Sn最大・
3+11
方法二由于Sn二肿十bn是关于n的二次函数,由S3=Sn#可知二肿+bn的图象关于n=—5—=7对
称・由方法一可知</=-0f故当〃二7时.S”最大・
2
方法三由方j—可知•d二-Yjai.
要使几最大,则有〈
心+】W0,
解得6・5£穴7.5,故当n=7时,必最大.
方法四由S3二Sn,可得加i+13d二0,
艮卩⑺】+6d)+(ai+Id)=0z
故07+6/8=0r又由6/1>0zS3二S]】可知d<0t所以的>0,8Vo■所以当"二7时,S"最大・
B组专项能力提升
(时间:
20分钟)
11•设必为等差数列{如的前川项和,(n+l)Sn (nGN*).若-<~1,则() (/' A.S“的最大值是&B.S”的最小值是Ss C.S“的最大值是S7D.S”的最小值是S7 答案D S“Sn+\na\+ann+\a1+Un*1…//v 解析由条件監<石,即飞厂<飞寸’所以—■,所以等差数列斶为递增数列-又- 1,所以8>0,7<0,即数列{/}前7项均小于0,第8项大于零r所以的最小值为S儿故选D. 3 12.设等差数列{如}的前〃项和为S”若⑷=一3,如】=夕£=一12,则正整数匸 答案13 k+I5十"人+1又S—】=S ^+1(-3+|) 二2 _2[ 二■亍解得213. 13.设等差数列伽},&}的前"项和分别为S”T”,若对任意自然数”都有着补£则希;+占: 的值 解析•••{"〃},{仇}为等差数列, hs十b? 加十Z? 4 Ug"3⑴十"3"6 二瓦+瓯二^-页 •.S]]5十5】2心2X11-319 •右1_仞十仞]_2九_4X11・3_41 •坐_12 14.已知数列{如是首项为⑺公差为1的等差数列,九=一,若对任意的hGN\都有bR成立,贝IJ实数 Chi “的取值范围为. 答案(一8,-7) 解析依题意得九二1十亠,对任意的nGN*,都有b“冰,即数列{九}的最小项是第8项,于是有又数 (■InIhi«8 U/8<0f列仏}是公差为1的等差数列,因此有 Iw>0f t/+7<0,即]由此解得・8v“v /
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