河北省武邑中学届高三下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.docx
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河北省武邑中学届高三下学期期中考试数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-x2+x+6>0,xÎN},B={-1,0,1,2},则AIB=(A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{-1,0,1,2}))
2.已知实数m,n满足(m+ni)
(4-2i)=3i+5,则m+n=(A.
95
B.
115
C.
94
D.
114
3.给出下列命题:
①已知a,bÎR,“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件;②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”是“|a+b|>1”的必要不充分条件;
22③已知a,bÎR,“a+b³1”是“|a|+|b|³1”的充分不必要条件;
x④命题p:
“$x0ÎR,使e0³x0+1且lnx0£x0-1”的否定为Øp:
“"xÎR,都有
ex
4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当xÎ[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是(A.6个B.4个)C.3个D.2个
5.设函数f(x)=cos(3x+j),其中常数j满足-p p 3 B.- 5p6 C.- p 6 D.- 2p315,那么判断框中应8 6.执行如图的程序框图,如果输入的a,b,k分别为1,2,3,输出的M=填入的条件为()A.n B.n³k C.n D.n³k+1 7.总体由编号为01,02,„,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体编号为 A.08 B.07 C.02 D.01 222 8.已知kÎR,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x+y=k-2k+3的公共点,则ab的最大值为( A.15) B.9 C.1 D.- 53 ìx-y+2³0ï9.若不等式组íx-5y+10£0所表示的平面区域存在点(x0,y0),使x0+ay0+2£0成立,ïx+y-8£0î 则实数a的取值范围是(A.a£-1)C.a>1D.a³1 B.a<-1 10.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1,2,„,30号),现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作,其中三个编号较小的人在一组,三个编号较大的在另一组,那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是(A.25)B.32C.60D.100 11.已知在RtDABC中,两直角边AB=1,AC=2,D是DABC内一点,且ÐDAB=600,设AD=lAB+mAC(l,mÎR),则 l=(m) A. 233 B. 33 C.3 D.23 12.已知函数f(x)的定义域为D,若对于"a,bÎD,f(a),f(b),f(c)分别为某个三角形的边长,则称f(x)为“三角形函数”.给出下列四个函数: 1 ①f(x)=lnx(e2£x£e3);②f(x)=4-cosx;③f(x)=x2(1 ex.ex+1 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上) ìx³0ï13.若x,y满足约束条件íx+2y³3,则z=x-y的最小值是ï2x+y£3î 14.若(ax-1)的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是 5... 15.已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图为一正方形,则该几何体的表面积为16.若函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1,y1,x2,y2使得 22|x1x2+y1y2|-x12+y12×x2+y2的最大值为0,则称函数f(x)是“柯西函数”. 给出下列函数: ①f(x)=lnx(0 1(x>0);③f(x)=2x2+8; x 2x2-8.. 其中是“柯西函数”的为 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=log2an,记数列{4(an-1),nÎN*.3 111}的前n项和为Tn,证明: £Tn<.32(bn-1) (bn+1) 18.高二某班共有20名男生,在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组,第一组和第二组男生的身高(单位: cm)的茎叶图如下: (1)根据茎叶图,分别写出两组学生身高的中位数; (2)从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训,求这2名男生至少有1人来自第二组的概率; (3)在两组身高位于[170,180)(单位: cm)的男生中各随机选出2人,设这4人中身高位于 [175,180)(单位: cm)的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 19.菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AB=2,AC=6,AE=CF= 5,EF交BD于点H,将DDEF沿EF折到DD'EF位置,OD'=10.4 (1)证明: D'H^平面ABCD; (2)求二面角B-D'A-C的正弦值.20.设抛物线y=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,抛物线的焦点F2,以F1,F2为焦点,2离心率e= 1226的椭圆与抛物线的一个交点为E(,自F1引直线交抛物线于P,Q两个不); 233 同的点,设F1P=lF1Q. (1)求抛物线的方程椭圆的方程; (2)若lÎ[,1),求|PQ|的取值范围. 12 221.已知函数f(x)=ax- 11-2aln(ax)+.x2 (1)设g(x)=f(x)+ 1,求函数g(x)的单调区间; x (2)若a>0,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为函数f(x)图象上不同的两点,且满足 f(x1)+f(x2)=1,设线段AB中点的横坐标为x0,证明: ax0>1. 请考生在 22、23二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4: 坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为í ìx=m+tcosa(t为参数,0£a x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4cosq,射线 q=j(- O). (1)求证: |OB|+|OC|=2|OA|; (2)当j= p 4 p 4),q=j+ p 4,q=j- p 4 分别与曲线C交于A,B,C三点(不包括极点 p 12 时,若B,C两点在直线l上,求m与a的值. 23.选修4-5: 不等式选讲已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|. (1)当m=1,解不等式f(x)³3; (2)若m< 11,且当xÎ[m,2m]时,不等式f(x)£|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.42数 学(理科)参考答案 一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号答案 1B 2A 3C 4B 5A 6C 7D 8B 9A 10C 11A 12C 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.-314.215.42+23+216.①④ 三、解答题: 本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (1)当n=1时,有a1=S1=当n³2时,有Sn-1= 4(a1-1),解得a1=4,3 4(an-1-1),则3 an=Sn-Sn-1= 整理得 44(an-1)-(an-1-1)33 an=4an-1 ∴数列{an}是以q=4为公比,以a1=4为首项的等比数列∴an=4´4n-1=4n(nÎN*). (2)由 (1)有bn=log2an=log24n=2n,则 1(bn+1) (bn-1) ∴Tn= = 1(2n+1) (2n-1) = 1 22n-1 (1 -)(2n+1 1 111++L+1´33´5(2n-1) (2n+1) 111111=[(1-)+(-)+L+(-)23352n-12n+1=11(1-)22n+1 易知数列{Tn}为递增数列,∴T1£Tn< 111,即£Tn<.322 172+176=174,2 18. (1)第一组学生身高的中位数为 第二组学生身高的中位数为 174+175=174.5; 2 (2)记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A,P(A)=1- C326=,2C77 6; 7 1121C3C2C2+C32C22P(X=1)==22C5C35 ∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为 (3)X的所有可能取值是0,1,2,3 2C32C21P(X=0)=22=C5C310,,P(X=2)= 2122111C2C2C2C2+C2C3C2131,=P(X=3)==2222C5C330C5C315 X的分布列为 XP 0123 110 25 1330 115 213122E(X)=1´+2´+3´=.5301515 19.解: (1)∵AE=CF= 5,4∴ AECF=,∴EF//AC,ADCD ∵四边形ABCD为菱形,∴AC^BD,∴EF^BD,∴EF^DH,∴EF^D'H∵AC=6,∴AO=3;又AB=5,AO^OB,∴OB=4,∴OH= AE×OD=1,∴DH=D'H=3,AO ∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2,∴OH^D'H,又∵OHIEF=H,∴D'H^平面ABCD.(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系: B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),AB=(4,3,0),AD'=(-1,3,3),AC=(0,6,0),设平面ABD'的一个法向量为n1=(x,y,z),ìx=3ìïïn1×AB=0ì4x+3y=0由í得í,取íy=-4,ïïz=5în1×AD'=0î-x+3y+3z=0î ∴n1=(3,-4,5),同理可得平面AD'C的法向量为n2=(3,0,1),∴|cosq|= |n1×n2||n1||n2| = 295|9+5|75=,∴sinq=.252552´10 20.解: (1)设椭圆的标准方程为 x2a 2 + y2b 2 =1(a>b>0),24ì42ï9a2+9b2=1ìïa=4ï由题意得í,解得í222ïîb=3ïc=a-b=1ïa2îa ∴椭圆的方程为 x2y2+=143 ∴点F2的坐标为(1,0),∴m=1,∴抛物线的方程是y2=4x (2)由题意得直线PQ的斜率存在,设其方程为y=k(x+1) (k¹0),由í ìy=k(x+1)îy=4x 2 消去x整理得ky2-4y+4k=0(*) ∵直线PQ与抛物线交于两点,∴D16-16k2>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=4①,y1+y2=∵F1P=lF1Q,F1(-1,0)∴(x1+1,y1)=l(x2+1,y2)∴y1=ly2,③由①②③消去y1,y2得k2=∴ 4②,k 4l.(l+1)2 |PQ| = (1+ 1k2) (y1-y2)2= (1+ 1k2) [(y1+y2)2-4y1y2= (1+ 1k2) 16-16k2k2 16-16k44l16-16k42,即|PQ|=,将k2=代入上式得,=44k(l+1)2k |PQ|2= (l+4)4 l 2 -16= (l2+2l+1)2 l 12 2 -16=(l+ 1 l +2)2-16,∵f(l)=l+ 1 l 在lÎ[,1)上单调递减,∴f (1) 12 1 l £ 5,2∴0<(l+ 1 l +2)2-16£ 17,4 ∴0<|PQ|£ 1717,即|PQ|的取值范围为(0,].22 12aa(ax-2)2=,g'(x)=a-2xx 221.解: (1)g(x)=ax-2aln(ax)+ ①a>0时,g(x)定义域为(0,+¥)当xÎ(0,)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,)上单调递减;当xÎ(,+¥)时,g'(x)>0,故g(x)在(,+¥)上单调递增;②a<0时,g(x)定义域为(-¥,0)当xÎ(-¥,)时,g'(x)>0,故g(x)在(-¥,)上单调递增;当xÎ(,0)时,g'(x)<0,故g(x)在(,0)上单调递减. (2)ax0>1Û 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a x1+x212>Ûx1>-x22aa -2a1=(-a)2³0,故f(x)在定义域(0,+¥)上单调递增,xx 1a1,2 f'(x)=a2+ 1x2 只需证: f(x1)+f(x2)=1,f()=不妨设0 1 2211F(x)=f(-x)+f(x)-1=a2(-x)--2ln(2-ax)+a2x--2alnax2aax-xa 则 F'(x)= 1,a 1a22a2a24(ax-1)3--+=-£0x2(2-ax)2x2-axx2(2-ax)2 "x³ 从而F(x)在[,+¥)上单调递减,故F(x2) 22.解: (1)证明: 依题意,|OA|=4cosj,1a 1a |OB|=4cos(j+ p 4),|OC|=4cos(j- p 4),则|OB|+|OC|=4cos(j+ (2)当j= p 4)+4cos(j- p 4)=42cosj=2|OA| p 12 时,B,C两点的极坐标分别为(2,p),(23,-),36 p 化为直角坐标B(1,3),C(3,-3),经过点B,C的直线方程为y=-3(x-2),又直线l经过点(m,0),倾斜角为a,故m=2,a= 2p.3 ìï-3x(x<-1)ï1ï 23.解: (1)当m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|,则f(x)=í2-x(-1£x£)2ï1ï3x(x>)ï2î 由f(x)³3解得x£-1或x³1,即原不等式的解集为(-¥,-1]U[1,+¥). (2) 1111f(x)£|x+1|,即|x+m|+|2x-1|£|x+1|,又xÎ[m,2m]且m<2422 1,且x>04 所以0 1m1x+£|x+1|-|2x-1|即m£x+2-|2x-1|222 1ì3x+1(0 所以xÎ[m,2m]时,t(x)min=t(m)=3m+1,所以m£3m+1,解得m³- 1,2 所以实数m的取值范围是(0,).
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