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导数专题复习配详细答案
导数专题复习(配详细答案)
体型一:
关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法:
(1)对称轴(重视单调区间)
与定义域的关系
(2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:
函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令f'(x)0得到两个根;
第二步:
画两图或列表;
第三步:
由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:
分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:
变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1:
设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x),f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D
上,g(x)0恒成立,则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足m2的任何一个实数m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”,求ba的最大
g(x)x2mx3
(1)Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”
变更主元法
2xx30
21x1
2xx230
例2:
设函数f(x)1x32ax23a2xb(0a1,bR)
3
(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(n)若对任意的x[a1,a2],不等式|f(x)a恒成立,求a的取值范围
(二次函数区间最值的例子)
22
解:
(I)f(x)x4ax3ax3axa
1.
4
又0a1,•••
5
第三种:
构造函数求最值
题型特征:
f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,
3t62
g(x)x3x2(t1)x3(t0)
2
([)求a,b的值;
(n)当x[1,4]时,求f(x)的值域;
(川)当x[1,4]时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围。
f(x)的值域是[4,16]
思路2:
二次函数区间最值
二、参数问题
题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为f'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间
的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
(I)如果函数g(x)f(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;
12解:
f(x)x2(a1)x(4a1).
4
1312
(I)Vf(x)是偶函数,•••a1.此时f(x)x3x,f(x)-x3,
124
令f(x)0,解得:
x2・、3.
列表如下:
x
(-8,-2翻)
-2品
(-2丿3,2%/3)
2刀
(2/3,+8)
f(x)
+
0
—
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知:
f(x)的极大值为f(23)43,f(x)的极小值为f(2..3)4.3.
(n)v函数f(x)是(,)上的单调函数,
12
•-f(x)—X2(a1)x(4a1)0,在给定区间R上恒成立判别式法
4
212
贝U(a1)4(4a1)a2a0,解得:
0a2.
4
综上,a的取值范围是{a0a2}.
1312
例5、已知函数f(x)x3(2a)x2(1a)x(a0).
32
(I)求f(x)的单调区间;
f(x)
单调增区间:
(,1),(a1,)
(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。
子集思想
(1)f(x)
x2(2a)x1a(x1)(x1
a).
1、当a
0时,f(x)
(x1)2
0恒成立,
当且仅当
x1时取“
=”号,
f(x)在(,
)单调递增。
2、当a
0时,由f(x)
0,得X1
1,X2a
1,且X1X2,
-1
单调增区间:
(1,a1)
a-1
(II)当Qf(x)在[0,1]上单调递增,贝U0,1是上述增区间的子集:
2、0,1a1,,a10
综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
例6、已知函数f(x)】x3(kx2,g(x)-kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:
(1)由题意f(x)x2(k1)x•/f(x)在区间(2,)上为增函数,
二f(x)x2(k1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)
即k1x恒成立,又x2,•••k12,故k1•••k的取值范围为k1
,、沁x3(k1)21
(2)设h(x)f(x)g(x)xkx
323
h(x)x2(k1)xk(xk)(x1)
令h(x)0得xk或x1由
(1)知k1,
2
1当k1时,h(x)(x1)0,h(x)在r上递增,显然不合题意…
2当k1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x
(,k)
k
(k,1)
1
(1,)
h(x)
0
一
0
1
(2)若g(x)bx2xd,在
(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
2
图像恒有含x1的三个不同交点?
若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
高1考1资1源2
网
等价于f(x)
g(x)有含x
1的三个根,即:
f
(1)g
(1)d
1
-(b1)
2
3x
•2xIbx2
22
x
2(b
1)整理得:
即:
x3
i(b
1)x2x
1)
0恒有含x
1的三个不等实根
(计算难点来了
:
)h(x)
3x
1)x2x
1
-(b1)0有含x
2
1的根,
(2)设函数g(x)的图像与函数
f(x)的图像恒存在含x
1的三个不同交点,
则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0,故用添项配凑法因式分解,
x3x2x2!
(b
2
1)x
十字相乘法分解:
x3
等价于
l(b1)x2x
2
x2」(b1)x
2
12
-(b1)24
4
21
1)2尹1)
x2(x
x2(x
1(b
2(b
1(b
如
x2(x
1)
1)
1)
1)
1)
(x
1
1);(b
2
1
-(b1)x
2
1)x2
1)x2
x](b
2
2x(b
(b1)x1
1)
1)
211
1)x尹1)x2(b1)
0恒有含x1的三个不等实根
0有两个不等于-1的不等实根。
0
b(,1)(1,3)(3,
0
题2:
切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数
32
f(x)axbxcx在点x°处取得极小值—4,
使其导数f'(x)0
为(1,3),求:
(1)
f(x)的解析式;
(2)若过点P(1,m)可作曲线
yf(x)的三条切线,
的x的取值范围
求实数m的取
值范围.
(1)由题意得:
f'(x)3ax2
2bxc3a(x1)(x3),(a
0)
•••在
(,1)上f'(x)0;
在(1,3)上f'(x)0;在(3,
)上f'(x)0
因此
f(x)在X。
1处取得极小值4
bc4①,f'
(1)3a2b
c0②,f'(3)
27a6bc0③
a1
由①②③联立得:
b6,•f(x)
c9
3^2^
x6x9x
(2)设切点Q(t,f(t)),yf(t)f'(t)(xt)
232
y(3t12t9)(xt)(t6t9t)
(
3t2
12t
9)x
t(3t2
12t
9)
t(t2
6t9)
(
3t2
12t
9)x
t(2t2
6t)
过(
1,m)
m(
3t2
12t
9)(
1)2t:
36t
2
g(t)
2t3
2t2
12t
9m
0
令g'(
t)61
t26
t12
6(t2
t
2)
0,
求得:
t
1,t
2,方程g(!
:
)0
i有二
〕个根。
需:
g(1
)0
23
12
9m0
m
g
(2)
0
1
612
24
9
m0
m
11
16;因此所求实数m的范围为:
(11,16)
16
故:
11m
题3:
已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法:
根分布或判别式法
例8、
已知函数/■(幻=jx3-y(ni+3)x2+(m+6)xt%Gli(m为常数人
(I)当肌=4时•求函数/(幻的单调区间;
(D)若函数y=/(x)在区间(1,+»)上有两个极值点,求实数m的取值范围*
解:
函数的定义域为
17
R(I)当m=4时,f(x)=~x3-歹2+10x,
f(x)=x2-7x+10,令f(x)0,解得x5,或x2.
令f(x)0,解得2x5
可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和(5,+^),单调递减区间为2,5
(n)f(x)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f(x)在(1,+^)有两个极值点
+m+6=0的根在(1,+^)
f(x)=x2-(m+3)x
根分布问题:
(m3)24(m6)0;
则f⑴1(m3)m60;,解得m>3
m3‘
1.
2
aII
例9、已知函数f(x)x3x2,(aR,a0)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)令g(x)=x4+f(x)
324
(x€R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.
'2
解:
(1)f(x)axxx(ax1)
当a
0时,令f(x)
1
0解得x或x0,令
f'(x)0解得
1
x0,
a
(丄,0).
a
所以f(x)的递增区间为(
1
)(0,),递减区间为
a
a
当a
0时,同理可得
1
f(x)的递增区间为(0,丄),
递减区间为(
0)
1
(一,)
14a3xx
a
a
(2)g(x)
12
x有且仅有3个极值点
43
2
g(x)
32
xaxx
2
x(xax1)=0有3个根,则
2
x0或xax
1
0,a2
方程x2ax10有两个非零实根,所以a240,
a2或a2
而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点
其它例题:
32
1、(最值问题与主元变更法的例子)•已知定义在R上的函数f(x)ax2axb(a0)在区间2,1
上的最大值是5,最小值是—11.
(I)求函数f(x)的解析式;
(n)若t[1,1]时,f(x)tx0恒成立,求实数x的取值范围
解:
(I)Qf(x)ax2ax2b,f(x)3ax24axax(3x4)
4
令f(x)=0,得X!
0,X22,1
3
因为a0,所以可得下表:
因此f(0)必为最大值,•••f(0)5因此b5,Qf
(2)16a5,f
(1)a5,f
(1)f
(2),即f
(2)16a511,•a1,•f(x)x32x25.
(n)vf(x)3x24xf(x)tx0等价于3x24xtx0,
令g(t)xt3x24x,则问题就是g(t)0在t[1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,
解得0x1,所以所求实数x的取值范围是[0,1].
2
(1)已知函数f(x)x3ax2bxc
2、(根分布与线性规划例子)
f(0)b
f(x)|x3
3
*x23x
(n)解法一:
由f
(x)
2x2
2axb
f(x)在x
(0,1)取得极大值且在x
(1,
2)取得极小值,
易得
f(0)
f
(1)
f⑵
A(2,
2a
4a
令M(x,y),则
0),
2y
4y
故点
M所在平面区域S为如图△ABC,
B(2,
1),
C(2,2),D(0,
1),E(0,2)
SABC
同时DEABC的中位线,S
DEC3S四边形ABED
所求一条直线L的方程为:
x0
另一种情况设不垂直于
x轴的直线L也将S分为面积比为
AC,BC
分别交于F、G,
则k0,S四边形DEGF1
y
2y
kx
得点F的横坐标为
:
Xf
2
2k1
y
4y
kx
得点G的横坐标为
:
Xg
6
4k1
kx,它与
1:
3
S四边形
DEGF
SOGE
SOFD
解得:
k
综上,所求直线方程为:
(n)解法二:
由f
(x)
2x2
2ax
(舍去)
24k12
2k
1即16k22k50
故这时直线方程为
.12分
f(x)在x(0,1)取得极大值且在
(1,
2)取得极小值,
f(0)
f
(1)
f⑵
2a
4a
令M(x,y),则
x20
2yx20故点M所在平面区域S为如图△ABC,
4yx60
1
所求直线方程为:
x0或y
(i)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且f1=0
d3
得
3a2bc3a2b0
(n)依题意f2=—3且f
(2)=5
12a4b3a2b3
8a4b6a4b35解得a=1,b=弋
所以f(x)=x3-6x2+9x+3
(川)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>0)
fx=3ax2+2bx-3a-2b由f5=0b=-9a
若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)v8avf
(1)②
1125
(2)若a—,讨论曲线f(x)与g(x)-x(2a1)x-(2x1)的交点个数.
226
解:
(1)f(x)x22ax1
x1x22a,x1x21
x1x2寸(%x2)24x1x2V4a42
a02分
22
f(x)x22ax1x21
令f(x)0得x1,或x1
令f(x)0得1x1
(2)由题f(x)g(x)得-x3ax2x1—x2(2a1)x-
326
13121
即一x(a)x2ax0
326
13121
令(x)x(a)x2ax(2x1)6分
326
2
(x)x(2a1)x2a(x2a)(x1)
令(x)0得x2a或x17分
1
Qa—
2
当2a2即a1时
x
2
(2,1)
1
(x)
一
(x)
c98a
2
、
a
此时,8a0,a0,有一个交点;9分
2
1
当2a2即1a时,
2
x
2
(2,2a)
2a
(2a,1)
1
(x)
+
0
一
(x)
8a9
2
/
-a2(32a)-
36
a
21
Q—a2(32a)0,
36
99
•••当8a0即1a时,有一个交点;
216
r9厂9
当8a0,且a0即a0时,有两个交点;
216
19
当0a时,8a0,有一个交点.13分
22
91
综上可知,当a或0a时,有一个交点;
162
9
当a0时,有两个交点.14分
16
3
x
5、(简单切线问题)已知函数f(x)—图象上斜率为3的两条切线间的距离为
a
(I)若函数g(x)在x1处有极值,求g(x)的解析式;
(n)若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数,且b2mb4g(x)在区间[1,1]上都成立,求实数m的
取值范围.
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