重庆市大足中学高二数学下学期第三次月考试题 文 新人.docx
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重庆市大足中学高二数学下学期第三次月考试题文新人
2012-2013学年重庆市大足中学高二(下)第三次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则∁U(A∩B)=( )
A.
{4}
B.
{3,5}
C.
{1,2,4}
D.
∅
考点:
补集及其运算;交集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
利用两个集合的交集的定义求出A∩B,再利用补集的定义求出CU(A∩B).
解答:
解:
∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3}
∴A∩B={3,5}
∴CU(A∩B)={1,2,4},
故选C
点评:
此题考查集合的基本运算,是一道比较基础的题.
2.(3分)命题“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题是( )
A.
若a<b,则2a>2b﹣1
B.
若2a>2b﹣1,则a>b
C.
若a<b,则2a>2b﹣1
D.
若a≤b,则2a≤2b﹣1
考点:
命题的否定.
专题:
计算题.
分析:
本题考查的知识点是四种命题,根据若原命题为:
若p,则q.否命题为:
若┐p,则┐q.我们易得答案.
解答:
解:
根据否命题的定义:
若原命题为:
若p,则q.否命题为:
若┐p,则┐q.
∵原命题为“若a>b,则2a>2b﹣1”
∴否命题为:
若a≤b,则2a≤2b﹣1
故选D
点评:
若原命题为:
若p,则q.
逆命题为:
若q,则p.
否命题为:
若┐p,则┐q.
逆否命题为:
若┐q,则┐p.
3.(3分)下列结论正确的是( )
A.
幂函数的图象一定过原点
B.
当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.
当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.
函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
考点:
幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据当α=0时,00无意义,可判断①;根据α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上为减函数,可判断②;根据α=2时,幂函数y=xα在(﹣∞,0)上为减函数,可判断③;根据幂函数y=xα的定义,可判断④;进而得到答案.
解答:
解:
①中,当α=0时,00无意义,幂函数y=xα不可能过原点,不正确;
②中,α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上为减函数,但不一定幂函数y=xα在整个定义域上是减函数,错误.
③中,α=2时,幂函数y=xα在(﹣∞,0)上为减函数,错误;
④中,函数y=x2既是二次函数,也是幂函数,正确.
故选D.
点评:
本题考查的知识点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用,幂函数的图象,其中熟练掌握幂函数图象的形状,位置,特殊点,及指数与函数性质的关系,是解答本题的关键.
4.(3分)若
=( )
A.
B.
﹣
C.
2
D.
﹣2
考点:
运用诱导公式化简求值.
专题:
计算题.
分析:
根据题中的分段函数化简所求式子,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
解答:
解:
根据题意得:
f(
+2)=tan(
+2﹣2)=tan
=1,f(﹣2)=log24=2,
则f(
+2)•f(﹣2)=2.
故选C
点评:
此题考查了运用诱导公式化简求值,以及分段函数,弄清题中分段函数的意义是解本题的关键.
5.(3分)若函数f(x)=ax2+(a2﹣1)x﹣3a为偶函数,其定义域为[4a+2,a2+1],则f(x)的最小值为( )
A.
﹣1
B.
0
C.
2
D.
3
考点:
函数奇偶性的性质.
分析:
函数的奇偶性问题要有定义域优先意识,因为函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,所以必须先考虑定义域是否关于原点对称.在定义域关于原点对称情况下,再考查f(﹣x)与f(x)的关系.
解答:
解:
∵函数f(x)是偶函数,
∴4a+2+a2+1=0,得a=﹣1,或﹣3.
当a=﹣3时,函数f(x)=﹣3x2+8x+9不是偶函数,
故a=﹣1
此时,函数f(x)=﹣x2+3
故f(x)的最小值为﹣1
故选A.
点评:
函数奇偶性定义中f(﹣x)=f(x)(或f(﹣x)=﹣f(x)),包含两层意义:
一是x与﹣x都使函数有意义,则定义域关于原点对称;二是f(﹣x)=f(x)图象关于y轴对称,f(﹣x)=﹣f(x)图象关于原点对称.
6.(3分)函数f(x)=
是( )
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
非奇非偶函数
D.
既是奇函数又是偶函数
考点:
余弦函数的奇偶性.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据分母不为零和正弦函数值求出函数的定义域,判断出不关于原点对称,则f(x)是非奇非偶函数.
解答:
解:
由sinx﹣1≠0得,sinx≠1,则
(k∈Z),
即函数的定义域为{x|
(k∈Z)},则定义域不关于原点对称,
故函数f(x)是非奇非偶函数.
故选C.
点评:
本题考查了函数奇偶性的判断方法,易错点在不求函数的定义域直接判断f(﹣x)和f(x)关系.
7.(3分)(2006•湖南)“a=1”是“函数f(x)=|x﹣a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
分析:
函数f(x)=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线,在[a,+∞)上为增函数,由题意[1,+∞)⊆[a,+∞),可求a的范围.
解答:
解:
若“a=1”,则函数f(x)=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1,+∞)上为增函数;
而若f(x)=|x﹣a|在区间[1,+∞)上为增函数,则a≤1,
所以“a=1”是“函数f(x)=|x﹣a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,
故选A.
点评:
本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题,对函数f(x)=|x﹣a|的图象要熟练掌握.
8.(3分)已知x、y的取值如下表所示:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析,y与x线性相关,且
=0.95x+
,则
的值等于( )
A.
2.6
B.
6.3
C.
2
D.
4.5
考点:
线性回归方程.
专题:
计算题.
分析:
首先求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出a的值
解答:
解:
∵
=4.5,
∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)
∵y与x线性相关,且
=0.95x+
,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,
故选A.
点评:
本题考查线性回归方程的求解和应用,应注意线性回归方程恒过样本中心点,是一个基础题
9.(3分)袋内装有6个球,每个球上都记有从1到6的一个号码,设号码为n的球重n2﹣6n+12克,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).若任意取出1球,则其重量大于号码数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
等可能事件的概率.
专题:
概率与统计.
分析:
任意取出1球,共有6种等可能的方法,要求其重量大于号码数的概率,根据号码为n的球的重量为n2﹣6n+12克,构造关于n的不等式,解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数,代入古典概型公式即可求解.
解答:
解:
由题意,任意取出1球,共有6种等可能的方法.
由不等式n2﹣6n+12>n,得n>4或n<3,所以n=1或2,n=5或6,
于是所求概率P=
=
故选D.
点评:
本题考查古典概型概率公式,考查学生的计算能力,属于基础题.
10.(3分)(2010•柳州三模)若函数f(x)的导函数f′(x)=x2﹣4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是( )
A.
(0,2)
B.
(1,3)
C.
(﹣4,﹣2)
D.
(﹣3,﹣1)
考点:
利用导数研究函数的单调性.
专题:
综合题.
分析:
由f′(x)的解析式得到f′(x+1)的解析式,令f′(x+1)小于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即为函数f(x+1)的单调递减区间.
解答:
解:
由f′(x)=x2﹣4x+3,
得到f′(x+1)=(x+1)2﹣4(x+1)+3=x2﹣2x,
令f′(x+1)=x2﹣2x<0,即x(x﹣2)<0,
解得:
0<x<2,
所以函数f(x+1)的单调递减区间是(0,2).
故选A
点评:
此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性,掌握函数值的意义,是一道中档题.
二.填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分)
11.(5分)(2011•武昌区模拟)函数
的定义域为 [﹣4,0)∪(0,1] .
考点:
函数的定义域及其求法.
专题:
计算题.
分析:
根据负数不能开偶次方根和分母不能为零求解.
解答:
解:
由题意得
∴﹣4≤x≤1且x≠0.
∴定义域是:
[﹣4,0)∪(0,1]
故答案为:
[﹣4,0)∪(0,1]
点评:
本题主要考查给出解析式的函数的定义域及其求法,这里主要涉及到分式函数,则分母不能为零;还有根式函数,则负数不能开偶次方根.
12.(5分)(2012•重庆)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b= 4 .
考点:
复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.
专题:
计算题.
分析:
由条件可得a+bi=1+3i,根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值,即可求得a+b的值.
解答:
解:
∵(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,
∴a+bi=1+3i,
∴a=1,b=3,
∴a+b=1+3=4,
故答案为4.
点评:
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,两个复数相等的充要条件,属于基础题.
13.(5分)已知函数y=ax﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则
+
的最小值为 4 .
考点:
基本不等式在最值问题中的应用.
专题:
计算题.
分析:
根据指数函数的性质,可以求出A点,把A点代入一次函数y=mx+n,得出m+n=1,然后利用不等式的性质进行求解.
解答:
解:
∵函数y=ax﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,
可得A(1,1),
∵点A在一次函数y=mx+n的图象上,
∴m+n=1,∵m,n>0,
∴m+n=1≥2
,
∴mn≤
,
∴(
+
)=
=
≥4(当且仅当n=
,m=
时等号成立),
故答案为4.
点评:
此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用,还考查的均值不等式的性质,把不等式和函数联系起来进行出题,是一种常见的题型
14.(5分)设P为曲线C:
y=x2﹣x+1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[﹣1,3],则点P纵坐标的取值范围是 [
,3] .
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
计算题.
分析:
欲求点P纵坐标的取值范围,即求y=x2﹣x+1的值域问题,其中x为切点的横坐标,设切点P(x0,y0),先利用导数求出在点P处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,由斜率的范围求出x0范围.从而问题解决.
解答:
解:
设P(x0,y0),y′=2x﹣1,
∴﹣1≤2x0﹣1≤3⇒0≤x0≤2,
有
.
故答案为:
[
,3].
点评:
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数值等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
15.(5分)已知函数y=f(x)满足:
①对任意实数x,有f(2+x)=f(2﹣x);②对任意2≤x1<x2,有
>0,则a=f(2log24),b=f(
4),c=f(0)的大小关系是 a=c<b .
考点:
不等式比较大小;抽象函数及其应用.
专题:
数形结合.
分析:
由f(2+x)=f(2﹣x)可知函数的图象关于直线x=2对称,对任意2≤x1<x2,有
>0表示函数在区间[2,+∞)上为增函数,故可利用函数的对称性和单调性简单画出函数的简图,根据简图即可a,b,c的大小.
解答:
解:
∵f(2+x)=f(2﹣x)可知函数的图象关于直线x=2对称,
又∵当2≤x1<x2,有
>0
则函数在区间[2,+∞)上为增函数
∴函数在区间(﹣∞,2]上为减函数
故函数的简图如下:
又∵a=f(2log24)=f(4),
b=f(
4)=f(﹣2)
c=f(0)
∴a=c<b
故选A=c<b
点评:
f(a+x)=f(a﹣x)⇔函数的图象关于直线x=a对称,
>0表示函数为增函数,
<0表示函数为减函数.
熟练掌握函数的性质是解决问题的关键.
三.解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)
16.(13分)设A={x|x2﹣2x﹣8≤0},B{x|(x﹣m)[x﹣(m﹣3)]≤0,(m∈R)}.
(1)若A∩B=[2,4],求实数m的值.
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
考点:
集合的包含关系判断及应用.
专题:
计算题.
分析:
(1)A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m},由A∩B=[2,4],知
,由此能求出m.
(2)由A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m},知CRB={x|x<m﹣3或x>m},再由A⊆CRB,知4<m﹣3,或m<﹣2,由此能求出实数m的取值范围.
解答:
解:
(1)A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m},
∵A∩B=[2,4],
∴
,∴m=5.
(2)A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m},
CRB={x|x<m﹣3或x>m},
∵A⊆CRB,
∴4<m﹣3,或m<﹣2,
所以m∈(﹣∞,﹣2)∪(7,+∞).
点评:
本题考查实数m的值和实数m的取值范围.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
17.(13分)中共十八大已于2012年11月8日在北京隆重召开.小王某天乘火车从重庆到北京去参会,若当天从重庆到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8、0.7、0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
考点:
相互独立事件的概率乘法公式.
专题:
概率与统计.
分析:
(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响,因此本题是相互独立事件同时发生的概率,记出事件这三列火车恰好有两列正点到达,看清楚它包含的三种情况,列出算式;
(2)利用对立事件的概率公式求解,这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达,由此可得结论.
解答:
解:
用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9
所以P(
)=0.2,P(
)=0.3,P(
)=0.1,
(1)恰好有两列正点到达的概率为P1=P(
BC)+P(A
C)+P(AB
)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1﹣P(
)=1﹣0.2×0.3×0.1=0.994
点评:
本题考查相互独立事件同时发生的概率,考查对立事件的概率公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
18.(13分)设函数
(1)a=6时,求函数的值域
(2)若函数的定义域为R,求a的取值范围.
考点:
对数函数图象与性质的综合应用.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)先利用二次函数的性质求真数的范围,利用对数函数的单调性求出f(x)的值域.
(2)由题意可得,2x2﹣8x+m>0恒成立,则△=64﹣8m<0,解不等式可求m的范围.
解答:
解:
(1)当a=6时,函数
,令t=x2+6x+10
t=x2+6x+10=(x+3)2+1≥1,
∵底数3>1,
∴f(x)的最小值为log31=0,故f(x)的值域为[0,+∞).
(2)由题意可得,x2+ax+10>0恒成立
∴△=a2﹣40<0
∴﹣2
<a<2
.
故a的取值范围:
﹣2
<a<2
.
点评:
本题考查对数函数图象与性质的综合应用、利用对数函数的单调性求函数的最值,考查了对数函数的恒成立问题,主要结合了二次函数的性质,要主要区别:
若该函数的值域为R⇔△≥0.
19.(12分)已知函数f(x)=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.
考点:
函数单调性的性质;函数的值域.
专题:
计算题;分类讨论;运动思想.
分析:
函数f(x)=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在区间[0,2]上有最小值3,对函数进行配方,对对称轴是否在区间内进行讨论,从而可知函数在何处取得最小值,解出相应的a的值.
解答:
解:
函数f(x)的对称轴为
①当
即a≤0时fmin(x)=f(0)=a2﹣2a+2=3解得a=1±
a≤0∴
②当0<
<2即0<a<4时
解得
∵0<a<4故
不合题意
③当
即a≥4时fmin(x)=f
(2)=a2﹣10a+18=3解得
∴
a≥4∴
综上:
或
点评:
考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题,体现了分类讨论和运动变化的思想方法,属难题.
20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).若函数f(x)在x=1处有极值﹣4.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值.
考点:
利用导数研究函数的单调性.
分析:
(1)首先求出函数的导数,然后令f′(x)=0,解出函数的极值点,最后根据导数判断函数的单调性,从而求解.
(2)由
(1)求出函数的单调区间,可以运用导数判断函数的单调性,从而求出函数f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值.
解答:
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有f′
(1)=0,f
(1)=﹣4,
即
得
.(4分)
所以f′(x)=3x2+4x﹣7=(3x+7)(x﹣1),
由f′(x)<0,得﹣
<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间(﹣
,1).(7分)
(2)由
(1)知f(x)=x3+2x2﹣7x,f′(x)=3x2+4x+7=(3x+7)(x﹣1),
令f′(x)=0,解得x1=﹣
,x2=1.
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
由上表知,函数f(x)在(﹣1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.
故可得f(x)min=f
(1)=﹣4,f(x)max=f(﹣1)=8.(13分)
点评:
此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度较大.
21.(12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足
,且当x>1时f(x)<0.
(1)求f
(1)的值
(2)判断f(x)的单调性
(3)若f(3)=﹣1,解不等式f(|x|)<2.
考点:
抽象函数及其应用.
分析:
(1)令x1=x2代入可得f
(1)=0
(2)设x1>x2>0则
,
,代入即可得证.
(3)先根据f(3)=﹣1将2化为f(
),进而由函数的单调性解不等式.
解答:
解:
(1)令x1=x2得f
(1)=0
(2)设x1>x2>0则
,
∴
所以f(x)在(0,+∞)为减函数;
(3)∵f
(1)=0,f(3)=﹣1∴
∴
,
∴
所以原不等式的解集为
,或
.
点评:
本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题.根据函数单调性解不等式是考查的重点.
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