2020高考数学二轮复习专题讲练9立体几何(空间位置关系的判断与证明)(最新-超经典).docx
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2020高考数学二轮复习专题讲练8立体几何(空间位置关系的判断与证明)(最新,超经典)
小题增分专项2 空间位置关系的判断与证明
全国卷3年考情分析
考|题|细|目|表
年份
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
2019
未考查
平面与平面平行的判定·T7
异面直线的判定·T8
2018
直线与平面所成的角、正方体的截面·T12
异面直线所成的角·T9
未考查
2017
未考查
异面直线所成的角·T10
圆锥、空间线线角的求解·T16
命|题|规|律
1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题。
2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第
(1)问。
1.线面平行的判定方法
(1)定义法。
一般结合反证法证明,此方法不常用。
(2)利用直线与平面平行的判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足的条件。
(3)利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行。
2.面面平行的性质
(1)面面平行的性质定理的作用:
主要用来证明线线平行。
(2)面面平行的性质的几个重要结论:
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
②夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段对应成比例。
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行。
3.判定直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的定义:
若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面。
(2)利用线面垂直的判定定理:
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直。
(3)用线面垂直的性质:
若两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。
(4)用面面平行的性质定理:
若一直线垂直于两平行平面之一,则必垂直于另一平面。
(5)用面面垂直的性质定理:
两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
(6)用面面垂直的性质:
若两相交平面同时垂直于第三个平面,则两平面的交线垂直于第三个平面。
4.面面垂直证明的两种思路
(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线。
(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题。
考点一空间线面位置关系的判断
【例1】
(1)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是不同的直线,下列命题中不正确的是( )
A.若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
C.若α⊥β,α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
解析 由l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,不能推出l⊥α,缺少条件m与n相交,故A不正确;若l⊥α,l∥β,则过l作平面γ,使γ∩β=c,则l∥c,故c⊥α,c⊂β,故α⊥β,B正确;根据面面垂直的性质定理知C正确;D正确。
故选A。
答案 A
(2)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥n
D.若l∥α,α∥β,则l∥β
解析 若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故A错误;若m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质得m∥n,故B正确;若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故C错误;若l∥α,α∥β,则l⊂β或l∥β,故D错误。
故选B。
答案 B
判断空间点、线、面位置关系,主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理,具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型,把要考查的点、线、面融入模型中,判断会简洁明了。
如果要否定一结论,只需找到一个反例即可。
【变式训练1】
(1)(2019·合肥市一模)平面α外有两条直线a,b,它们在平面α内的投影分别是直线m,n,则下列命题正确的是( )
A.若a⊥b,则m⊥n
B.若m⊥n,则a⊥b
C.若m∥n,则a∥b
D.若m与n相交,则a与b相交或异面
解析 对于选项A,当直线a,b相交,且所在平面与平面α垂直时,直线m,n重合,故A不正确;对于选项B,不妨在正方体ABCD-A1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,AD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,AD,记为m,n,此时m⊥n,但a与b不垂直,故B不正确;对于选项C,不妨在正方体ABCD-A1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,CD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,CD,记为m,n,此时m∥n,但a与b不平行,故C不正确;对于选项D,若m与n相交,则a与b不可能平行,只能是相交或异面,故D正确,选D。
答案 D
(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析 取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD。
设正方形ABCD的边长为2,则EO=,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2。
过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP=,CP=,所以BM2=MP2+BP2=2+2+22=7,得BM=,所以BM≠EN。
连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线。
故选B。
答案 B
考点二平行、垂直关系的应用
【例2】
(1)(2019·湖南长沙长郡中学模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA⊥平面ABC,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为( )
A. B.2 C.2 D.2
解析 因为PD与平面CEF交于点H,所以平面CEF∩平面PCD=CH,因为EF∥平面PCD,所以EF∥CH,过点H作HM∥PA交AD于点M,连接CM,因为EF∩AP=F,CH∩HM=H,所以平面AEF∥平面CHM,因为平面AEF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面ABCD=CM,所以AE∥CM,又BC∥AM,所以四边形ABCM为平行四边形,所以AM=2。
又AD=4,所以M是AD的中点,则H为PD的中点,所以CH===2,故选C。
答案 C
(2)(2019·湖南湘潭二模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,点M在棱CC1上,当MD1+MA取得最小值时,MD1⊥MA,则棱CC1的长为______。
解析 把平面DCC1D1展开到长方形ACC1A1所在平面,如图,当A,M,D1在同一条直线上时,MD1+MA取得最小值,此时==,令MA=2x,MD1=x,CC1=h,则解得h=。
故棱CC1的长为。
答案
应用平行与垂直关系求解数量关系是平行、垂直关系的一种重要应用,解题时充分利用平行与垂直关系构造直角三角形是求线段长的基本方法。
【变式训练2】
(1)(2019·豫北名校联考)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点,若平面BC1D∥平面AB1D1,则=________。
解析 如图所示,连接A1B,与AB1交于点O,连接OD1,因为平面BC1D∥平面AB1D1,平面BC1D∩平面A1BC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,所以=,同理AD1∥DC1,所以=,所以=,又因为=1,所以=1,即=1。
答案 1
(2)(2019·沈阳市质量监测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论中正确的是________。
(写出所有正确结论的序号)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③异面直线AC与A1B成60°角;
④AC1与底面ABCD所成角的正切值是。
解析 对于①,BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,①正确;对于②,因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,连接A1C1,又A1C1⊥B1D1,所以B1D1⊥平面AA1C1,所以B1D1⊥AC1,同理B1C⊥AC1,所以AC1⊥平面CB1D1,②正确;对于③,易知AC∥A1C1,异面直线AC与A1B所成的角为∠BA1C1,连接BC1,又△A1C1B为等边三角形,所以∠BA1C1=60°,异面直线AC与A1B成60°角,③正确;对于④,AC1与底面ABCD所成的角的正切值是==≠,故④不正确。
故正确的结论为①②③。
答案 ①②③
考点三截面问题
【例3】
(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,过点B1且与平面A1BE平行的截面面积为( )
A.5B.2C.2D.6
解析 取BC的中点M,A1D1的中点N,则四边形B1MDN即为所求的截面。
根据正方体的性质,可得MN=2,B1D=2,易知四边形B1MDN为菱形,所以其面积S=×2×2=2,故选C。
答案 C
(2)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,球O与该正方体的各面都相切,则平面ACD1截此球所得的截面面积为( )
A.B.C.D.
解析 由题知△ACD1是边长为2的等边三角形,所以所求截面为△ACD1的内切圆,可得截面圆的半径为,所以截面圆的面积为π。
答案 D
几何体截面面积问题,关键是确定截面图形的位置、形状,所经过的点,截面面积根据有关数量进行计算。
【变式训练3】 过半径为4的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角为30°,则该截面的面积是________。
解析 过半径为4的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角为30°,则截面圆的半径是4×cos30°=2,故该截面的面积为π×
(2)2=12π。
答案 12π
重点增分专练(七) 空间位置关系的判断与证明
A级 基础达标
一、选择题
1.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点。
故选A。
答案 A
2.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α。
若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件。
故选A。
答案 A
3.(2019·全国Ⅱ卷)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析 对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不
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