安徽省中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编解答题三答案详解教师版.docx
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安徽省中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编解答题三答案详解教师版
2021年安徽省中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(解答题三)
数学试题
1.(江苏省徐州市2020年中考数学试题)如图,在平面直角坐标系中,函数的图像交轴于点、,交轴于点,它的对称轴交轴于点.过点作轴交抛物线于点,连接并延长交轴于点,交抛物线于点.直线交于点,交抛物线于点,连接、.
备用图
(1)点的坐标为:
______;
(2)当△HEF是直角三角形时,求的值;
(3)与有怎样的位置关系?
请说明理由.
【答案】
(1)(1,0);
(2)或;(3)平行,理由见解析
【分析】
(1)根据二次函数的对称轴为,代入即可求出E点坐标;
(2)将ED、AF的解析式用的代数式表示,然后由DE解析式令y=0求出F点坐标,由AF解析式令y=求出H点坐标,再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论,由勾股定理求解即可;
(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标,直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标,最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解.
【详解】
解:
(1)由题意可知,抛物线的对称轴为,
∴E点的坐标为(1,0),
故答案为(1,0).
(2)由题意知,C点坐标为(0,3a),C和D点关于对称轴对称,∴D坐标为(2,3a),
设直线DE的解析式为y=kx+m,代入E(1,0)和D(2,3a),
即,解得,
∴直线DE的解析式为y=3ax-3a,
令y=0,∴F(0,-3a),
令中,即:
,
解得,∴A(-1,0),
设直线AF的解析式为y=bx+t,代入A(-1,0),F(0,-3a),
即,解得,
∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a,
令y=-3ax-3a中y=3a,解得H点坐标(-2,3a),
∴H(-2,3a),E(1,0),F(0,-3a)
故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²,
EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²,
FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4,
∵△EFH为直角三角形,∴分类讨论谁是直角顶角,
情况一:
∠E为直角顶角时,则EF²+EH²=FH²,
即:
1+9a²+9+9a²=36a²+4,解得:
a=,又a>0,故a=;
情况二:
∠F为直角顶角时,则EF²+FH²=EH²,
即:
1+9a²+36a²+4=9+9a²,解得:
a=,又a>0,故a=;
情况三:
∠H为直角顶角时,则FH²+EH²=EF²,
即:
36a²+4+9+9a²=1+9a²,此时无解;
∴综上所述,a的值为或;
故答案为:
或;
(3)联立直线DF与抛物线的解析式:
,整理得:
,
解得,,∴G点坐标为(-3,-12a),
同理,联立直线AF与抛物线的解析式:
,整理得:
,
解得,,∴K点坐标为(6,-21a),
∴直线GK的,
直线HE的,
即直线GK的k值与直线HE的k值相同,
∴GK与HE平行.
故答案为:
与有怎样的位置关系是平行.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像及性质,二次函数与一次函数的交点坐标的求法,一次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点,熟练掌握二次函数的性质,学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键.
2.(江苏省徐州市2019年中考数学试题)如图①,将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线,十字路口记作点.甲从中山路上点出发,骑车向北匀速直行;与此同时,乙从点出发,沿北京路步行向东匀速直行.设出发时,甲、乙两人与点的距离分别为、.已知、与之间的函数关系如图②所示.
(1)求甲、乙两人的速度;
(2)当取何值时,甲、乙两人之间的距离最短?
【答案】
(1)甲的速度为,乙的速度为.
(2)当时,甲、乙两人之间的距离最短.
【分析】
(1)设甲、乙两人的速度,并依题意写出函数关系式,再根据图②中函数图象交点列方程组求解;
(2)设甲、乙之间距离为,由勾股定理可得,根据二次函数最值即可得出结论.
【详解】
(1)设甲、乙两人的速度分别为,,甲从B到A用时为p分钟,则:
,
,
由图②知:
或时,,
则有,解得:
,
p=1200÷240=5,
答:
甲的速度为,乙的速度为;
(2)设甲、乙之间距离为,
则,
∴当时,的最小值为144000,即的最小值为,
答:
当时,甲、乙两人之间的距离最短.
【点睛】
本题考查了函数图象的读图识图能力,正确理解图象交点的含义,从图象中发现和获取有用信息,提高分析问题、解决问题的能力.
3.(江苏省徐州巿2018年中考数学试卷)如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°
操作:
将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
探究一:
在旋转过程中,
(1)如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明;
(2)如图3,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并说明理由;
(3)根据你对
(1)、
(2)的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为 ,其中m的取值范围是 .(直接写出结论,不必证明)
探究二:
若且AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:
(1)S是否存在最大值或最小值?
若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.
(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化,求出相应S的值或取值范围.
【答案】探究一:
(1)EP=EQ;证明见解析;
(2)1:
2,证明见解析;(3)EP:
EQ=1:
m,∴0<m≤2+;探究二:
(1)当x=10时,面积最小,是50cm2;当x=10时,面积最大,是75cm2.
(2)50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S=50或62.5<S≤75时,这样的三角形有一个.
【解析】
【分析】探究一:
(1)连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,∠PBE=∠C,根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ,即可得到全等三角形,从而证明结论;
(2)作EM⊥AB,EN⊥BC于M、N,根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ,发现EP:
EQ=EM:
EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM:
EN=AE:
CE;
(3)根据
(2)中求解的过程,可以直接写出结果;要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析;
探究二:
(1)设EQ=x,结合上述结论,用x表示出三角形的面积,根据x的最值求得面积的最值;
(2)首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论.
【详解】探究一:
(1)连接BE,
根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得
BE=CE,∠PBE=∠C,
又∠BEP=∠CEQ,
则△BEP≌△CEQ,得EP=EQ;
(2)作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,
∴∠EMP=∠ENC,
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,
∴∠MEP=∠NEF,
∴△MEP∽△NEQ,
∴EP:
EQ=EM:
EN=AE:
CE=1:
2;
(3)过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,
∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,
∴∠EPB+∠EQB=180°(四边形的内角和是360°),
又∵∠EPB+∠MPE=180°(平角是180°),
∴∠MPE=∠EQN(等量代换),
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,
∴,
在Rt△AME∽Rt△ENC,
∴,
∴,
EP与EQ满足的数量关系式为EP:
EQ=1:
m,
∴0<m≤2+;(当m>2+时,EF与BC不会相交).
探究二:
若AC=30cm,
(1)设EQ=x,则S=x2,
所以当x=10时,面积最小,是50cm2;
当x=10时,面积最大,是75cm2;
(2)当x=EB=5时,S=62.5cm2,
故当50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;
当S=50或62.5<S≤75时,这样的三角形有一个.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线,熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解是关键.
1.已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:
对称.
(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;
(2)①求二次函数解析式;②利用尺规作图,在该抛物线上作出点,使得,并简要说明理由.
(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,则和的最小值是.(直接写出答案)
【答案】
(1)A(-3,0),B(1,0),点在直线上;
(2)①,②作图,理由见解析;(3)的最小值为8.
【解析】
【分析】
(1)求出方程ax2+2ax-3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;
(2)①根据点H、B关于过A点的直线l:
,对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;②在轴上取一点P,以P为圆心,OP为半径作圆,求出,再根据∠BPG=∠GPA,∠PGB=∠PAG,求得∠AGO=∠BGO;
(3)解方程组,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
【详解】
(1)依题意,得解得,
∵点在点右侧∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,,
∴点在直线上
(2)①∵点、关于过点的直线:
对称
∴
过顶点作交于点,
则,
∴顶点代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
②如图,在轴上取一点P,以P为圆心,OP为半径作圆,⊙P与抛物线的交点,即是所求作的点G(图中的G与G´)
理由:
当点G在轴上方时,由作图可知
,,,则
又∵∠BPG=∠GPA∴△BPG∽△GPA∴∠PGB=∠PAG
∵PG=PO=∴∠PGO=∠POG
又∠PGO=∠PGB+∠BGO,∠POG=∠PAG+∠AGO
∴∠AGO=∠BGO
同理可证:
当点G(G´)在轴下方时,结论也成立;
(3)直线AH的解析式为y=,
直线BK的解析式为,
由,
解得,
即,
则BK=4,
∵点H、B关于直线AK对称,,
∴HN+MN的最小值是MB,
过K作KD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,连接BQ,
则QM=MK,QE=EK=,AE⊥QK,
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90°,
由勾股定理得QB,
∴HN+NM+MK的最小值为8,
答:
HN+NM+MK和的最小值是8.
【点睛】
本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数与X轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.
2.已知:
在△ABC中,.
(1)若.
①如图1,点在△ABC内,求的度数;
②如图2,点在△ABC外,求的度数;
(2)如图3,若,点在△ABC内,且,求的长.
【答案】
(1)①150°;②30°;
(2)2
【分析】
(1)①根据等边三角形的判
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