最新高一数学集合函数知识点总结相应试题及答案优秀名师资料.docx
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最新高一数学集合函数知识点总结相应试题及答案优秀名师资料
高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
1)元素的确定性如:
世界上最高的山
2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示
同一个集合
3.集合的表示:
{„}如:
{我校的篮球队员},
{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮
球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{a,b,c„„}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属
性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x,R|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形
的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合
2例:
{x|x=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集
,,,合A,记作AB或BA
2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)
2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A?
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
?
如果A,B,B,C,那么A,C
?
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
nn-1,有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集三、集合的运算
运交集并集补集算
类
型
定由所有属于A由所有属于集设S是一个集合,义且属于B的元合A或属于集合A是S的一个子
素所组成的集B的元素所组成集,由S中所有
合,叫做A,B的的集合,叫做不属于A的元素
交集(记作A,B的并集(记组成的集合,叫
:
:
AB(读作‘AB(读作作:
A做S中子集A的
交B’),即‘A并B’),补集(或余集)
,即记作CA:
:
AB=,x|xA,即AB,S
SCA={x|x,S,且x,A}且xB,(={x|xA,或,,SA
xB})(,
韦SAABBA
恩图2图1
图
示
:
:
:
性AA=AA=AA)(CB)A(Cuu
:
:
:
AΦ=ΦAΦ=A=C(AB)u
:
:
:
:
:
AB=BAAB=BA(CA)(CB)uu
:
:
:
ABAAB,=C(AB),,u
:
:
:
质ABBABBA(CA)=U,,u
:
A(CA)=Φ(u
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒
数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0},则M与N的关系,
是.
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是,axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31
人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|
22x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ,A?
C=Φ,求m的值
(1)已知A=,x,-3 (2)已知集合,=,x,x2+x-6=0,,集合,=,y,ay+1=0,,若满足B,A,则实数a所能取的一切值为. A,{x|a,x,5}B,{x|x2}A,B(3)已知集合,? ,且满足,求实数a的取值范围。 二、函数的有关概念 1(函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照 某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对 应,那么就称f: A? B为从集合A到集合B的一个 函数(记作: y=f(x),x? A(其中,x叫做自变 量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值 相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x ? A}叫做函数的值域( 注意: 1(定义域: 能使函数式有意义的实数x的集合称 为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问 题有意义. 相同函数的判断方法: ? 表达式相同(与表示 自变量和函数值的字母无关);? 定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域: 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象知识归纳 (1)定义: 在平面直角坐标系中,以函数y=f(x), ? A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点(x P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x? A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上. (2)画法 A、描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示( 5(映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: AB为从集合A到集合, B的一个映射。 记作“f(对应关系): A(原象) B(象)”, 对于映射f: A? B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可 以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有 原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式 的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集( 补充: 复合函数 如果y=f(u)(u? M),u=g(x)(x? A),则y=f[g(x)]=F(x)(x? A)称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当12x D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,12当x 这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法: 1任取x,x? D,且x 2作差f(x),f(x);12? 3变形(通常是因式分解和配方);? 4定号(即判断差f(x),f(x)的正负);12? 5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单? 调性)( (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数[]的单调性与构成它的函数fg(x) u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数((3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于? 原点对称; 2确定f(,x)与f(x)的关系;? 3作出相应结论: 若f(,x)=f(x)或f(,? x),f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数( 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由f(-x)? f(x)=0或f(x),f(-x)=? 1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大? (小)值 2利用图象求函数的最大(小)值? 3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ? 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: 2x,12xx,,215? ? y,,1()y,x,1x,,33 22.设函数的定义域为,则函数的定义域为__fx()[]01,fx()3.若函数的定义域为,则函数的定义域是fx (1),fx(21),[],23, xx,,,2 (1),,4.函数,若,则=x2fx()3,fxxx()(12),,,,,,2 (2)xx,, 5.求下列函数的值域: 22? ? x,[1,2]()xR,yxx,,,23yxx,,,23 2(3)(4)yxx,,,12yxx,,,,45 2fx()fx(21),6.已知函数,求函数,的解析式fxxx (1)4,,, fx()fx()7.已知函数满足,则=。 2()()34fxfxx,,,, 38.设是R上的奇函数,且当时,,则当fx()x,,,[0,)fxxx() (1),, fx()时=x,,,(,0) fx()在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: 22? ? ? yxx,,,,23yxx,,,23 2yxx,,,61 310.判断函数的单调性并证明你的结论(y,,x,1 21,x111.设函数判断它的奇偶性并且求证: (f(x),f(),,f(x)21,xx (数学1必修)第一章(上)集合[基础训练A组] 一、选择题 1(下列各项中,不可以组成集合的是()A(所有的正数B(等于2的数C(接近于的数D(不等于的偶数00 2(下列四个集合中,是空集的是() 22{x|x,3,3}A(B({(x,y)|y,,x,x,y,R} 22C(D({x|x,0}{x|x,x,1,0,x,R}3(下列表示图形中的阴影部分的是() ()()ACBCA(AB ()()ABACB( ()()ABBCC( ()ABCD(C4(下面有四个命题: (1)集合N1中最小的数是; (2)若NN不属于,则属于;,aa a,N,b,N,a,b2(3)若则的最小值为; 2x,1,2x(4)的解可表示为;,,1,1 其中正确命题的个数为() 123A(0个B(个C(个D(个 Mabc,,,ABC5(若集合中的元素是? 的三边长,,, ABC则? 一定不是() A(锐角三角形B(直角三角形 C(钝角三角形D(等腰三角形 UCA,,0,1,2,32且A6(若全集,则集合的真子集共有(),,,,U 358A(个B(个C(7个D(个二、填空题 1(用符号“”或“”填空,, (1)______,______,______NNN0516 1 (2)(是个无理数),QQeCQ,e______,_______,______R2 2323,,,(3)________xxabaQbQ|6,,,,,,,, AxxxN,,,|6,CAB,2.若集合,,,则的CBxx,{|}是非质数,, 。 非空子集的个数为 AB,Axx,,,|37Bxx,,,|2103(若集合,,则_____________(,,,, AB,Axx,,,,{32}Bxkxk,,,,,{2121}4(设集合,,且, 则实数的取值范围是。 k 2AB,5(已知,则_________。 AyyxxByyx,,,,,,,,21,21,,,, 三、解答题 8,,A,x,N|,N1(已知集合,试用列举法表示集合A。 ,6,x,, BA,Axx,,,,{25}Bxmxm,,,,,{121}2(已知,,,求的取值范围。 m 22AaaBaaa,,,,,,,,1,3,3,21,1AB,,33(已知集合,若,,,,,,, 求实数的值。 a 2Mmmxx,,,,|10方程有实数根UR,4(设全集,,,, 2NnxxnCMN,,,,|0,.方程有实数根求,,,,U (数学1必修)第一章(上)集合[综合训练B组] 一、选择题 1(下列命题正确的有() (1)很小的实数可以构成集合; 22 (2)集合与集合,,是同一个集合;,,,,x,y|y,x,1y|y,x,1 3611,,,,0.5,5(3)这些数组成的集合有个元素;242 (4)集合是指第二和第四象限内的点集。 ,,,x,y|xy,0,x,y,R A(个B(个C(个D(个1230 A,{,1,1}B,{x|mx,1}2(若集合,,且,则的值为()A,B,Am A(B(C(或D(或或1,11,11,10 223(若集合,则有()MxyxyNxyxyxRyR,,,,,,,,(,)0,(,)0,,,,,, MNM,MNN,MNM,MN,,A(B(C(D( ,,1xy,(方程组的解集是()4,22xy,,9, 5,4A(B(C(D(。 ,,,,,,,,,,5,,4,5,45,,4,, (下列式子中,正确的是()5 ,,R,RA(B(,,Z,x|x,0,x,Z C(空集是任何集合的真子集D(,,,,, 6(下列表述中错误的是() A(若A,B,则A: B,A A: B,B,则A,BB(若 (A: B)(A: B)AC( D(,,,,,,CA: B,CA: CBUUU 二、填空题 1(用适当的符号填空 (1),,,,,,,,3______x|x,2,1,2____x,y|y,x,1 (2),,,2,5_______x|x,2,3 1,,3xxxRxxx|,_______|0,,,,(3),,,,x,, 2(设,,,,U,R,A,x|a,x,b,CA,x|x,4或x,3U a,___________,b,__________则。 55433443(某班有学生人,其中体育爱好者人,音乐爱好者人,还有人既不爱好体育也 不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。 2AxBx,,1,4,,1,ABB,4(若且,则。 x,,,,, 25(已知集合至多有一个元素,则的取值范围;A,{x|ax,3x,2,0}a若至少有一个元素,则的取值范围。 a 三、解答题 2yxaxbAxyxaMabM,,,,,,,,|,,,求(设1,,,,,,,, 2222(设,其中,xR,AxxxBxxaxa,,,,,,,,,{40},{2 (1)10} ABB,如果,求实数的取值范围。 a 2222Axxaxa,,,,,|190Bxxx,,,,|560Cxxx,,,,|2803(集合,,,,,,,, AB,,,AC,,,满足,求实数的值。 a 22Axxx,,,,|320Bxxmxm,,,,,| (1)04(设,集合,;UR,,,,, 若,求的值。 (CA): B,,mU (数学1必修)第一章(上)集合[提高训练C组] 一、选择题 1(若集合,下列关系式中成立的为()Xxx,,,{|1} A(B(0,X0,X,, C(D(,,X0,X,, 2(504031名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格人和人, 2项测验成绩均不及格的有4人,2项测验成绩都及格的人数是() 3525A(B( C(2815D( 23(已知集合则实数的取值范围是()AxxmxAR,,,,,|10,若,,m,, m,4m,4A(B( 0,m,40,m,4C(D( 4(下列说法中,正确的是() A(任何一个集合必有两个子集; AB,,,AB,,B(若则中至少有一个为 C(任何集合必有一个真子集; ABS,,ABS,,,SD(若为全集,且则 U5(若为全集,下面三个命题中真命题的个数是() (1)若,,,,A: B,,,则CA: CB,UUU (2)若,,,,A: B,U,则CA: CB,,UU (3)若A: B,,,则A,B,, A(个B(个C(个D(个1230 k1k16(设集合,,则()N,{x|x,,,k,Z}M,{x|x,,,k,Z}4224 A(M,NB(MN MN,,C(NMD( 22AB,(设集合,则集合()7AxxxBxxx,,,,,,{|0},{|0} 0,,1,0,1A(B(C(D(0,,,,二、填空题 221(已知,M,,,y|y,x,4x,3,x,RN,,,y|y,,x,2x,8,x,R M: N,__________则。 102(用列举法表示集合: =。 Mm,{|,},,ZmZm,1 IxxxZ,,,,|1,3(若,则=。 CN,,I ABC,,,1,2,1,2,3,2,3,4()ABC,4(设集合则。 ,,,,, ,,y2UxyxyR,,(,),Nxyyx,,,(,)45(设全集,集合,,Mxy,,(,)1,,,,,,x,2,, 那么等于________________。 ()()CMCNUU 三、解答题 1(若,,,,,,A,a,b,B,x|x,A,M,A,求CM.B 2CzzxxA,,,|,Axxa,,,,|2ByyxxA,,,,|23,2(已知集合,,,,,,,,, CB,且,求的取值范围。 a 32Sxxx,,,1,3,32Ax,,1,213(全集,,如果,,则这样的CA,0,,,,,S 实数是否存在,若存在,求出;若不存在,请说明理由。 xx A,1,2,3,...,10,A4(设集合求集合的所有非空子集元素和的和。 , (数学1必修)第一章(中)函数及其表示 [基础训练A组] 一、选择题 1(判断下列各组中的两个函数是同一函数的为() (x,3)(x,5),;? y,y,x,512x,3 y,(x,1)(x,1)? ,;y,x,1x,121 2? ,;f(x),xg(x),x 3433? ,;fxxx(),,Fxxx()1,, 2? ,。 f(x),2x,5f(x),(2x,5)21 A(? 、? B(? 、? C(? D(? 、? yfx,()2(函数的图象与直线x,1的公共点数目是()A(1B(C(或1D(1或200 42*AkBaaa,,,1,2,3,,4,7,,33(已知集合,且aNxAyB,,,,,,,,, yx,,31ak,使B中元素和A中的元素对应,则的值分别为()x 2,33,43,52,5A(B(C(D( xx,,,2 (1), 2fx()3,4(已知,若,则的值是()fxxx()(12),,,,x, 2 (2)xx,, 33111A(B(或C(,或D(,3322 yfx,, (2)yfx,,(12)5(为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移, 这个平移是() 11A(沿轴向右平移个单位B(沿轴向右平移个单位xx2 11C(沿轴向左平移个单位D(沿轴向左平移个单位xx2 x,2,(x,10),f(5)6(设f(x),则的值为(),f[f(x,6)],(x,10), 10111213A(B(C(D( 二、填空题 1,x,1(x,0),,,21(设函数f(x),若f(a),a.则实数的取值范围是。 a,1,(x,0).,x, x,22(函数的定义域。 y,2x,4 2AB(2,0),(4,0),3(若二次函数的图象与x轴交于,且函数的最大值为,9yaxbxc,,, 则这个二次函数的表达式是。 0 (1)x,4(函数的定义域是_____________________。 y, xx, 25(函数的最小值是_________________。 f(x),x,x,1 三、解答题 3x,11(求函数的定义域。 fx(),x,1 2y,x,x,12(求函数的值域。 2223(是关于的一元二次方程的两个实根,又,xx,xmxm,,,,,2 (1)10yxx,,x1212 yfm,()求的解析式及此函数的定义域。 2[1,3]4(已知函数在有最大值5和最小值2,求、的值。 bfxaxaxba()23(0),,,,,a (数
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