步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析.docx
- 文档编号:1282221
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:157.36KB
步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析.docx
《步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析
第3讲 导数及其应用
1.(2016·四川改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________.
答案 2
解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,
令f′(x)=0,则x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,
∴f(x)的极小值点为a=2.
2.(2016·课标全国乙改编)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____________.
答案
解析 ∵函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=1-cos2x+acosx
=1-(2cos2x-1)+acosx
=-cos2x+acosx+≥0,
即acosx≥cos2x-在(-∞,+∞)恒成立.
当cosx=0时,恒有0≥-,得a∈R;
当0 (1)=-; 当-1≤cosx<0时,得a≤cosx-,令t=cosx,f(t)=t-在[-1,0)上为增函数,得a≤f(-1)=.综上,可得a的取值范围是. 3.(2016·山东改编)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.给出四个函数①y=sinx;②y=lnx;③y=ex;④y=x3,其中具有T性质的是________. 答案 ① 解析 对函数y=sinx求导,得y′=cosx,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=-1,∴k1·k2=-1,∴l1⊥l2;对函数y=lnx求导,得y′=恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=ex求导,得y′=ex恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=x3,得y′=2x2恒大于等于0,斜率之积不可能为-1. 4.(2016·天津)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 答案 3 解析 因为f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3. 1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点,不等式的结合常作为高考压轴题出现. 热点一 导数的几何意义 1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同. 例1 (1)(2016·课标全国甲)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________. (2)已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________. 答案 (1)1-ln2 (2) 解析 (1)y=lnx+2的切线为y=·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1),y=ln(x+1)的切线为y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2), ∴ 解得x1=,x2=-,∴b=lnx1+1=1-ln2. (2)∵f(x)=x3-2x2+x+6, ∴f′(x)=3x2-4x+1, ∴f′(-1)=8,切线方程为y-2=8(x+1), 即8x-y+10=0,令x=0,得y=10, 令y=0,得x=-, ∴所求面积S=××10=. 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. 跟踪演练1 (2015·湖南省名校联考)设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________. 答案 1 解析 由题意得, y′= =, 则曲线y=在点处的切线的斜率为 k1==1. 因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-,又该切线与直线x+ay+1=0垂直,所以k1k2=-1,解得a=1. 热点二 利用导数研究函数的单调性 1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. 2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性. 例2 设函数f(x)=xekx(k≠0). (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. 解 (1)由题意可得f′(x)=(1+kx)ekx, f′(0)=1,f(0)=0, 故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0), 若k>0,则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若k<0,则当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. (3)由 (2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增; 若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导函数f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 跟踪演练2 (1)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是__________________. (2)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是__________. 答案 (1)∪(0,+∞) (2) 解析 (1)因为f′(x)=3x2-2mx, 所以f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2. 由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)∪(0,+∞). (2)f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=4x-. 由f′(x)=0,得x=. 据题意,得 解得1≤k<. 热点三 利用导数求函数的极值、最值 1.若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. 2.设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 例3 已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数. (1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值; (2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围. 解 (1)f′(x)=a+-(x>0), 由题意可知,f′=1,解得a=1. 故f(x)=x--3lnx, ∴f′(x)=, 根据题意由f′(x)=0,得x=2. 于是可得下表: x 2 (2,3) 3 f′(x) - 0 + f(x) 1-3ln2 ∴f(x)min=f (2)=1-3ln2. (2)f′(x)=a+-=(x>0), 由题意可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2, 则
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二 第3讲导数及其应用含答案解析 步步高 高考 学理 江苏 二轮 复习 练习 专题 导数 及其 应用 答案 解析