学年高中数学第一章三角函数8函数yAsinωx+φ的图像与性质一学案北师大版必修4Word文档格式.docx
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梳理 如图所示,函数y=sin(ωx+φ)的图像,可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>
1时)或伸长(当0<
ω<
1时)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到.
知识点三 A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响
思考 对于同一个x,函数y=2sinx,y=sinx和y=
sinx的函数值有何关系?
答案 对于同一个x,y=2sinx的函数值是y=sinx的函数值的2倍,而y=
sinx的函数值是y=sinx的函数值的
.
梳理 如图所示,函数y=Asin(ωx+φ)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A>
1时)或缩短(当0<
A<
1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
知识点四 函数y=sinx的图像与y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像关系
正弦曲线y=sinx到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程:
y=sinx的图像
y=sin(x+φ)的图像
y=sin(ωx+φ)的图像
y=Asin(ωx+φ)的图像.
1.把函数y=sin2x的图像向左平移
个单位长度,得到函数y=sin
的图像.( ×
)
提示 得到y=sin2
=sin
的图像.
2.要得到函数y=sin
的图像,可把函数y=sin(-x)的图像向左平移
个单位长度得到.( ×
提示 y=sin
,故要得到y=sin
的图像,可把函数y=sin(-x)的图像向右平移
3.把函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到y=sin2x的图像.( ×
提示 应得到y=sin
x的图像.
4.函数y=cos
的图像是由函数y=cosx的图像向右平移
个单位长度得到的.( √ )
提示 由平移的规律可知其正确.
类型一 平移变换
例1 函数y=sin
的图像可以看作是由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到的?
考点 三角函数图像变换
题点 平移变换
解 函数y=sin
的图像,可以看作是把曲线y=sinx上所有的点向右平移
个单位长度而得到的.
引申探究
1.若将本例中y=sin
改为y=cos
,其它不变,又该怎样变换?
解 y=cos
,可以看作是把y=sinx上所有的点向左平移
个单位长度得到.
2.若将本例改为:
函数y=sin
的图像可由y=sin2x的图像经过怎样变换得到?
解 y=sin
,可由y=sin2x的图像向右平移
反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数,当x前系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为
跟踪训练1 要得到y=cos
的图像,只要将y=sin2x的图像( )
A.向左平移
个单位长度B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度D.向右平移
答案 A
解析 y=sin2x=cos
=cos
若设f(x)=sin2x=cos
,
则f
,所以向左平移
类型二 伸缩变换
例2 将函数y=sin
的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)而得到的函数解析式为.
题点 伸缩变换
答案 y=sin
反思与感悟 横向伸缩变换,只变ω,φ不发生变化.
跟踪训练2 (2017·
合肥高一检测)把y=sin
x的图像上各点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)得到的解析式是.
考点 三角函数图像的伸缩变换
题点 三角函数图像的伸缩变换
答案 y=sin2x
类型三 图像变换的综合应用
例3 把函数y=f(x)的图像上的各点向右平移
个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的
倍,所得图像的解析式是y=2sin
,求f(x)的解析式.
题点 图像变换的综合应用
解 y=2sin
y=3sin
=3sin
=3cosx.
所以f(x)=3cosx.
反思与感悟
(1)已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图像的解析式,宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况,求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量,然后确定出A或ω即可.
跟踪训练3 将函数y=2sin
的图像向左平移m(m>
0)个单位长度后,所得图像对应的函数为偶函数,则m的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为函数y=2sin
的图像向左平移m个单位长度,所得图像对应的函数为y=2sin
,所以
+m=kπ+
,k∈Z,即m=kπ+
,k∈Z.
又m>
0,所以m的最小值为
,故选B.
1.函数y=cosx图像上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图像的解析式为y=cosωx,则ω的值为( )
A.2B.
C.4D.
2.要得到y=sin
的图像,只要将函数y=sin
的图像( )
答案 C
3.为了得到函数y=sin
的图像,只需把函数y=sinx的图像上所有的点( )
A.向左平行移动
个单位长度B.向右平行移动
C.向上平行移动
个单位长度D.向下平行移动
解析 由y=sinx得到y=sin(x±
a)的图像,只需记住“左加右减”的规则即可.
4.将函数y=sin(-2x)的图像向左平移
个单位长度,所得函数图像的解析式为.
答案 y=-cos2x
解析 y=sin(-2x)
y=sin
即y=sin
=-sin
=-cos2x.
5.将函数f(x)=
cos2x的图像纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再向左平移
个单位长度后得到函数g(x)的图像,则g
=.
考点 三角函数图像的综合应用
题点 三角函数图像的综合应用
答案 -2
解析 将函数f(x)=
cos2x的图像纵坐标伸长到原来的2倍,所得图像对应的解析式为y=2
cos2x,
则g(x)=2
cos2
=2
cos
故g
=-2
1.由y=sinx的图像,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0)的图像,其变化途径有两条:
(1)y=sinx
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
(2)y=sinx
y=sinωx
=sin(ωx+φ)
注意:
两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:
(1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位长度.
(2)是先周期变换后相位变换,平移
个单位长度,这是很容易出错的地方,应特别注意.
2.类似地,y=Acos(ωx+φ)(A>
0)的图像也可由y=cosx的图像变换得到.
一、选择题
1.将函数y=2sin
的图像向右平移
个周期后,所得图像对应的函数为( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
答案 D
解析 函数y=2sin
的周期为π,将函数y=2sin
个周期即
个单位长度,所得函数为y=2sin
=2sin
,故选D.
2.若把函数y=sin
的图像向右平移m(m>
0)个单位长度后,得到y=sinx的图像,则m的最小值为( )
考点 三角函数图像的平移变换和伸缩变换
题点 三角函数图像的平移变换
解析 依题意,y=sin
=sinx,
∴m-
=2kπ(k∈Z),∴m=
+2kπ(k∈Z),
0,∴m的最小值为
3.把函数y=sin
个单位长度,所得图像对应的函数是( )
A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数D.偶函数
解析 y=sin
个单位长度得到y=sin
=-cos2x的图像,y=-cos2x是偶函数.
4.给出几种变换:
①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;
②横坐标缩小到原来的
,纵坐标不变;
③向左平移
个单位长度;
④向右平移
⑤向左平移
⑥向右平移
则由函数y=sinx的图像得到y=sin
的图像,可以实施的方案是( )
A.①→③B.②→③
C.②→④D.②→⑤
解析 y=sinx的图像
y=sin2x的图像
5.为了得到函数y=2sin
,x∈R的图像,只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点( )
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)
B.向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移
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