圆的综合带解析中考数学复习专题Word格式文档下载.docx
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(1)求证:
直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为4,求AE的长.
【解析】
(1)先得出∠ABC=30°
进而求出∠OAB=30°
∠BAD=120°
结论得证;
(2)先求出∠AOC=60°
用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果.
【答案】
(1)证明:
连接OA.
∵∠AEC=30°
∴∠ABC=30°
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABC=30°
根据三角形的内角和定理得,∠BAD=120°
∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°
∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°
∴OA⊥AD.
∵点A在⊙O上,
∴直线AD是⊙O的切线;
(2)解:
∵∠AEC=30°
∴∠AOC=60°
∵BC⊥AE于点M,∴AE=2AM,∠OMA=90°
在Rt△AOM中,
AM=OA•sin∠AOM=4×
sin60°
=23,
∴AE=2AM=43.
等腰三角形模型
例2 (2018•永州中考)如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,BC︵=CE︵,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
CF=BF;
(2)若cos∠ABE=45,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,⊙O的半径为6.求证:
直线CM是⊙O的切线.【解析】
(1)延长CD交⊙O于点G,如图,利用垂径定理得到BC︵=BG︵,则可证明CE︵=BG︵,然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB,从而得到CF=BF;
(2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OC⊥BE,再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=245,OH=185,接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°
然后根据切线的判定定理得到结论.
【答案】证明:
(1)延长CD交⊙O于点G.
∵CD⊥AB,∴BC︵=BG︵.
∵BC︵=CE︵,∴CE︵=BG︵,
∴∠CBE=∠GCB,∴CF=BF;
(2)连接OC交BE于点H,如图.
∵BC︵=CE︵,∴OC⊥BE.
在Rt△OBH中,cos∠OBH=BHOB=45,∴BH=45×
6=245,∴OH=62-2452=185.
∵OHOC=1856=35,OBOM=66+4=35,∴OHOC=OBOM.
又∵∠HOB=∠COM,∴△OHB∽△OCM,
∴∠OCM=∠OHB=90°
∴OC⊥CM,
∴直线CM是⊙O的切线.
1.(2018•宿迁中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.
PC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=60°
AB=10,求线段CF的长.
连接OC.
∵OD⊥AC,OD经过圆心O,
∴AD=CD,∴PA=PC.
在△OAP和△OCP中,
OA=OC,PA=PC,OP=OP,
∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.
∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°
∴∠OCP=90°
即OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
∵AB是直径,∴∠ACB=90°
∵∠ABC=60°
∴∠CAB=30°
∴∠COF=60°
∵PC是⊙O的切线,AB=10,
∴OC⊥PF,OC=OB=12AB=5,
∴CF=OC•tan∠COF=53.
2.(2018•白银中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O;
(要求:
不写作法,保留作图痕迹)
(2)判断
(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果.
解:
(1)如图;
(2)相切.过点O作OD⊥AC于点D.
∵CO平分∠ACB,
∴OB=OD,即圆心O到直线AC的距离d=r,
∴⊙O与直线AC相切.3.(2018•玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC=∠B.
AC是⊙O的切线;
(2)点E是AB上一点,若∠BCE=∠B,tan∠B=12,⊙O的半径是4,求EC的长.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴∠B+∠BAD=90°
∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90°
∴∠BAC=90°
∴AB⊥AC.又∵AB是直径,
∴AC是⊙O的切线;
∵∠BCE=∠B,∴EC=EB.
设EC=EB=x.
在Rt△ABC中,tan∠B=ACAB=12,AB=8,
∴AC=4.
在Rt△AEC中,EC2=AE2+AC2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,
∴EC=5.
直角三角形模型
例3 (2018•聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.
(1)连接OE,由OB=OE知∠OBE=∠OEB,又由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE,据此得∠OEB=∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证;
(2)证△BDE∽△BEC得BDBE=BEBC,据此可求得BC的长度,再证△AOE∽△ABC得AOAB=OEBC,据此可得AD的长.
连接OE.
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠CBE.
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC.
又∵∠C=90°
∴∠AEO=90°
即OE⊥AC.
∵ED⊥BE,∴∠BED=∠C=90°
又∵∠DBE=∠EBC,∴△BDE∽△BEC,
∴BDBE=BEBC,即54=4BC,∴BC=165.
∵∠AEO=∠C=90°
∠A=∠A,
∴△AOE∽△ABC,∴AOAB=OEBC,即AD+2.5AD+5=2.5165,
∴AD=457.
4.(2018•柳州中考)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
△DAC∽△DBA;
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证:
CE=12AD;
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD=6,AB=3,求CG的长.
∵AB是⊙O直径,
∴∠ACD=∠ACB=90°
∵AD是⊙O的切线,
∴∠BAD=90°
∴∠ACD=∠BAD=90°
∵∠D=∠D,
∴△DAC∽△DBA;
(2)证明:
∵EA,EC是⊙O的切线,
∴AE=CE(切线长定理).∴∠DAC=∠ECA.
∵∠ACD=90°
∴∠ACE+∠DCE=90°
∠DAC+∠D=90°
∴∠D=∠DCE.∴DE=CE.
∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE.
∴CE=12AD;
(3)解:
在Rt△ABD中,AD=6,AB=3,
∴tan∠ABD=ADAB=2.
过点G作GH⊥BD于点H,
则tan∠ABD=GHBH=2,∴GH=2BH.
∵点F是直径AB下方半圆的中点,∴∠BCF=45°
.∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°
∴CH=GH=2BH,∴BC=BH+CH=3BH.
在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC=2,∴AC=2BC.
根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
∴4BC2+BC2=9,∴BC=355.
∴BH=55,∴GH=2BH=255.
在Rt△CHG中,∠BCF=45°
∴CG=2GH=2105.
中考专题过关
1.(2018•昆明中考)如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.
AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.
连接OC,如图.
∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠CAD=∠OCA,∴OC∥AD.
∵ED切⊙O于点C,∴OC⊥ED,
∴AD⊥ED;
设OC交BF于点H,如图.
∵AB为直径,∴∠AFB=90°
易得四边形CDFH为矩形,
∴FH=CD=4,∠CHF=90°
∴OH⊥BF,∴BH=FH=4,∴BF=8.
在Rt△ABF中,
AB=AF2+BF2=22+82=217,
∴⊙O的半径为17.
2.(2018•北部湾中考)如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为点F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.
PG与⊙O相切;
(2)若EFAC=58,求BEOC的值;
(3)在
(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.
连接OB,则OB=OD,
∴∠BDC=∠DBO.
∵∠BDC=∠BAC=∠CBG,
∴∠CBG=∠DBO.
∵CD是⊙O的直径,∴∠DBO+∠OBC=90°
∴∠CBG+∠OBC=90°
∴∠OBG=90°
∴PG与⊙O相切;
过点O作OM⊥AC于点M,连接OA,
则∠AOM=∠COM=12∠AOC.
又∵∠BFE=∠OMA=90°
∠EBF=12∠AOC=∠AOM,
∴△BEF∽△OAM,∴EFAM=BEOA.
∵AM=12AC,OA=OC,∴EF12AC=BEOC.
又∵EFAC=58,∴BEOC=2×
EFAC=2×
58=54;
∵PD=OD,∠PBO=90°
∴BD=OD=8.
在Rt△DBC中,BC=DC2-BD2=83,
cos∠BDO=BDCD=816=12,∴∠BDO=60°
∴∠OCB=30°
∴EFEC=12,FCEF=3.
设EF=x,则EC=2x,FC=3x,
∴BF=83-3x.
在Rt△BEF中,BE2=EF2+BF2,BE=54OC=10.
∴100=x2+(83-3x)2,解得x=6±
13.
∵6+13>8(舍去),∴x=6-13,
∴EC=12-213.
∴OE=8-(12-213)=213
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