届人教A版文科数学 立体几何02 单元测试Word文档下载推荐.docx
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平面EAB⊥平面ABCD
(2)求二面角A-EC-D的余弦值
.在长方体
中,
,
中点.(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱
上是否存在一点
,使得
∥平面
?
若存在,求
的长;
若不存在,说明理由.
.(本小题满分13分)在如图所示的多面体中,EF
平面AEB,AE
EB,AD//EF,EF//BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点。
(1)求证:
AB//平面DEG;
(2)求证:
BD
EG;
(3)求二面角C—DF—E的正弦值。
.如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面
且
设
、
分别为
的中点.
(Ⅰ)求证:
//平面
(Ⅱ)求证:
面
(Ⅲ)求二面角
的正切值.
.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
(1)求证:
PB⊥DM;
(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在点E,PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出λ值.
.在四棱锥
是直角梯形,
∥
∠
平面
⊥平面
(2)求平面
和平面
所成二面角(小于
)的大小;
(3)在棱
上是否存在点
使得
?
若存在,求
的值;
若不存在,请说明理由.
.如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,侧棱
是
的中点,作
交
于点
(1)证明:
(2)证明:
(3)求二面角
的大小.
.(本小题满分13分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,
,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.
AB⊥平面PBC;
(2)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小;
(3)在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD?
的值;
若不存在,请说明理由.
参考答案
解(Ⅰ)依题意,
所以
是正三角形,
又
因为
所以
所以平面
平面
(Ⅱ)取
的中点
连接
连接
则
是异面直线
所成的角
(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:
以
为原点,过
且垂直于
的直线为
轴,
所在直线为
轴、
建立右手系空间直角坐标系
设
(
),
则
(Ⅰ)设平面
的一个法向量为
取
从而
同理可得平面
直接计算知
(Ⅱ)由
即
解得
所以异面直线
所成角的余弦值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
设平面
的法向量
得
设二面角
的平面角为
为锐角
所以二面角
的余弦值为
解:
(1)
--------------4
(2)
------------8(3)
------------------13
取AB的中点O,连接EO,CO
△AEB为等腰直角三角形
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形,
又
∵EO⊥平面ABCD,又EO
平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD
(2)以AB的中点O为坐标原点,OB所在直线为y轴,OE所在直线为轴,如图建系则
=(0,2,0)
设平面DCE的法向量为
即
解得:
同理求得平面EAC的一个法向量为
所以二面角A-EC-D的余弦值为
(Ⅰ)证明:
连接
∵
是长方体,∴
,又
∴
……1分
在长方形
∴
…………2分
,…………3分
而
………4分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系
,则
………5分
的法向量为
令
………7分
…………8分
所成角的正弦值为
………………9分
(Ⅲ)假设在棱
上存在一点
的坐标为
因为
所以
,即
,
,解得
,………………12分
所以在棱
此时
的长
.……13分
法一:
为平行四边形
连结
中点,
中点∴在
中
//
且
(Ⅱ)证明:
因为面
平面
为正方形,
是等腰直角三角形,
即
面
(Ⅲ)【解】:
的中点为
连结
由(Ⅱ)知
是二面角
的平面角
中,
故所求二面角的正切值为
法二:
如图,取
连结
.
∴
∵侧面
的中点,∴
是正方形,故
∴
为原点,直线
轴建立空间直线坐标系,
则有
的中点,∴
易知平面
而
∴平面
由(Ⅱ)知平面
.∵
∴由
可得
令
故
即二面角
的正切值为
(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系
A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,1,0),D(0,2,0)
M(1,
1),N(1,0,1),
E(0,m,2-m),P(0,0,2)
(2,0,-2),
(1,-
1)
=0
(2)
=(-2,1,0)平面ADMN法向量
=(x,y,)
=(1,0,1)
=(1,0,-1)
设CD与平面ADMN所成角α,则
(3)设平面ACN法向量
=(x,y,)
=(1,-2,-1)
平面AEN的法向量
=(1,
-1)
m=
PE:
ED=(3
-4):
2不存在,为135°
钝角
(Ⅰ)证明:
因为
因为平面
(Ⅱ)解:
取
如图,以
为原点,
所在的直线为
轴,在平面
内过
垂直于
的直
线为
轴建立空间直角坐标系
.不妨设
.由
直角梯形
令
取平面
的一个法向量n
所以平面
所成的二面角(小于
)的大小为
(Ⅲ)解:
在棱
上存在点
.理由如下:
则
所以四边形
是平行四边形.
解:
(1)证明:
交于
为正方形,
中点.
中点,
//平面
又
是平面
内的两条相交直线,
,又
,所以
,所以AB⊥BC
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB
平面ABCD,
所以AB⊥平面PBC.
如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以PO⊥BC.因为PB=PC,所以PO⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xy.
不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得,
设平面PAD的法向量为
.所以
取平面BCP的一个法向量
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为
(3)
在棱PB上存在点M使得CM//平面PAD,此时
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