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解比例得a=10, c=14。
2当 5∶a=1∶2≠7∶c时,方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时,方程组有唯一的解,
即当a≠10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。
例2. a取什么值时,方程组
的解是正数?
把a作为已知数,解这个方程组
得
∵
∴
解不等式组得
解集是6
答:
当a的取值为6
时,原方程组的解是正数。
例3. m取何整数值时,方程组
的解x和y都是整数?
把m作为已知数,解方程组得
∵x是整数,∴m-8取8的约数±
1,±
2,±
4,±
8。
∵y是整数,∴m-8取2的约数±
2。
取它们的公共部分,m-8=±
解得 m=9,7,10,6。
经检验m=9,7,10,6时,方程组的解都是整数。
例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。
问桃,李,榄橄各买几粒?
设桃,李,榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
由
(1)得x=100-y-z(3)
把(3)代入
(2),整理得
y=-200+3z-
设
(k为整数) 得z=7k,y=-200+20k,x=300-27k
∵x,y,z都是正整数∴
解得
(k是整数)
∴10<k<
∵k是整数, ∴k=11
即x=3(桃), y=20(李), z=77(榄橄) (答略)
丙练习11
1.不解方程组,判定下列方程组解的情况:
①
②
③
2.a取什么值时方程组
3.a取哪些正整数值,方程组
的解x和y都是正整数?
4.要使方程组
的解都是整数,k应取哪些整数值?
5.(古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少?
初中数学竞赛辅导资料(12)
用交集解题
1.某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;
除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。
2.由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。
3.几个集合的交集可用图形形象地表示,
右图中左边的椭圆表示正数集合,
右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆
的公共部分,是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组
解的集合就是
不等式
(1)的解集x>
3和不等式
(2)的解集x>2的交集,x>
3.
如数轴所示:
0 2 3
4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案。
(如例2)
乙例题
例1.一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值。
除以3余2的自然数集合A={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……}
除以5余3的自然数集B={3,8,13,18,23,28,……}
除以7余2自然数集合C={2,9,16,23,30,……}
集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2.有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数。
二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9};
其中差等于6的有:
1和7;
3和9;
13和7,三组;
平方数的个位数字相同的只有3和7;
1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是:
23,17;
43,37;
53,47;
73,67共四组。
例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人?
数学兴趣小组共有几人?
如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们的交集(A、B两种都订的人数集合)。
∴只订A种刊物的人数是28-6=22人;
只订B刊物的人数是21-6=15人;
小组总人数是22+15+6+1=44人。
设N,N(A),N(B),N(AB),
分别表示总人数,订A种、B种、AB两种、都不订的人数,则得
[公式一]N=
+N(A)+N(B)-N(AB)。
例4.在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人,
问:
有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球?
仿公式一,得[公式二]:
N=
+N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC)
①只会打乒乓球的是24-6-4+1=15(人)
②求N(BC)可用公式二:
∵40=24+18+10-6-4-N(BC)+1
∴N(BC)=3, 即同时会打篮球和排球的是3人
③只会打排球的是10-3-1=6(人)
例5.十进制中,六位数
能被33整除,求x和y的值
∵0≤x,y≤9,∴0≤x+y≤18,-9≤x-y≤9,x+y>
x-y
∵33=3×
11,
∴1+9+x+y+8+7的和是3的倍数,故x+y=2,5,8,11,14,17
(1+x+8)-(9+y+7)是11的倍数, 故x-y=-4,7
∵x+y和x-y是同奇数或同偶数,∴它们的交集是下列四个方程组的解:
(x=12不合题意舍去)答:
x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
丙练习12
1.负数集合与分数集合的交集是______
2.等腰直角三角形集合是___三角形集合与___三角形集合的交集。
3.12的正约数集合A={ },30的正约数集合B={ }
12和30的公约数集合C={ },集合C是集合A和集合B的__
4.解下列不等式组并把解集(不是空集)表示在数轴上:
①
③
④
5.某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。
6.九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?
7.求符合如下三条件的两位数:
①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8.据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;
有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人?
②只会打排球是几人?
9.100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票,赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人,问对A、B都不赞成的有几人?
10. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;
按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。
求参赛的总人数,只参加数学科的人数。
(本题如果改为有2人三科都参加呢?
)
11.
12. 十进制中,六位数
能被21整除,求x,y的值(仿例5)
初中数学竞赛辅导资料(13)
用枚举法解题
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。
列举解答要注意:
1按一定的顺序,有系统地进行;
2分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
3遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。
乙例题 1
例1 如图由西向东走,
从A处到B处有几
种走法?
1
我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如 从A到C有三种走法,在C处标上3, 从A到M(N)有3+1=4种, 从A到P有3+4+4=11种,这样逐步累计到B,可得1+1+11=13(种走法)
例2写出由字母X,Y,Z中的一个或几个组成的非同类项(系数为1)的所有四次单项式。
解法一:
按X4,X3,X2,X,以及不含X的项的顺序列出(如左)
解法二:
按X→Y→Z→X的顺序轮换写出(如右)
X4,X4,Y4,Z4
X3Y, X3Z,X3Y,Y3Z,Z3X
X2Y2,X2Z2,X2YZ,X3Z,Y3X,Z3Y
XY3,XZ3,XY2Z,XYZ2,X2Y2,Y2Z2,Z2X2
Y4,Z4Y3Z,Y2Z2,YZ3。
X2YZ,Y2ZX,Z2XY
解法三:
还可按3个字母,2个字母,1个字母的顺序轮换写出(略)
例3讨论不等式ax<
b的解集。
把a、b、c都以正、负、零三种不同取值,组合成九种情况列表
ax<
0的解集
b
正
负
零
a
当a>
0时,解集是x<
当a<
0时,解集是x>
当a=0,b>
0时,解集是所有学过的数,
当a=0,b≤0时,解集是空集(即无解)
例4 如图把等边三角形各边4等分,分别连结对应点,试计算图中所有的三角形个数
设原等边三角形边长为4个单位,则最小的等边三角形边长是1个单位,
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况,逐一统计:
边长1单位,顶点在上的△有:
1+2+3+4=10
边长1单位,顶点在下的▽有:
1+2+3=6
边长2单位,顶点在上的△有:
边长2单位,顶点在下的▽有:
1
边长3单位,顶点在上的△有:
1+2=3
边长4单位,顶点在上的△有:
1
合计共27个
丙练习13
1.己知x,y都是整数,且xy=6,那么适合等式解共___个,它们是___
2.a+b=37,适合等式的非负整数解共___组,它们是__________
3.xyz=6,写出所有的正整数解有:
_____
4.
如图线段AF上有B,C,D,E四点,试分别写出以A,B,C,D,E为一端且不重复的所有线段,并统计总条数。
ABCDE
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