小学奥数中的涂色问题Word文件下载.docx
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2、根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、(2003江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色。
②2
⑤
⑥
依题意只能选用4种颜色,要分四类:
(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有;
(2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有;
(3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有;
(4)③与⑤同色、② 与④同色,则有;
(5)②与④同色、③与⑥同色,则有;
所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120
例3、(2003年全国高考题)如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?
2
4
3
1
5
依题意至少要用3种颜色
1)当先用三种颜色时,区域2与4必须同色,
2)区域3与5必须同色,故有种;
3)当用四种颜色时,若区域2与4同色,
4)则区域3与5不同色,有种;
若区域3与5同色,则区域2与4不同色,有种,故用四种颜色时共有2种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
可把问题分为三类:
(1)四格涂不同的颜色,方法种数为;
(2)有且仅两个区域相同的颜色,即只
有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为
;
5)两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为,
因此,所求的涂法种数为
4、根据相间区使用颜色的种类分类
A
B
C
D
E
F
例5如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可解
(1)当相间区域A、C、E着同一种颜色时,
有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法,
此时,B、D、F各有3种着色方法故有
种方法。
(2)当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,有种着色方法,此时B、D、F有种着色方法,故共有种着色方法。
(3)当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法,此时B、D、F各有2种着色方法。
此时共有种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明:
关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如:
如图,把一个圆分成个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法?
解:
设分成n个扇形时染色方法为种
(1)当n=2时、有=12种,即=12
(2)当分成n个扇形,如图,与不同色,与不同色,,
与不同色,共有种染色方法,但由于与邻,所以应排除与同色的情形;
与同色时,可把、看成一个扇形,与前个扇形加在一起为个扇形,此时有种染色法,故有如下递推关系:
二、点的涂色问题
方法有:
(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论,
(2)根据相对顶点是否同色分类讨论,(3)将空间问题平面化,转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少?
解法一:
满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有种染法;
再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有种方法。
(3)若恰用五种颜色染色,有种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二:
设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是
S
解法三:
可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:
如图,
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
解答略。
三、线段涂色问题
对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有:
1)根据共用了多少颜色分类讨论
2)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黄、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色 ,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
(1)使用四颜色共有种
(2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有种,
(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有种
因此,所求的染色方法数为种
涂色按AB-BC-CD-DA的顺序进行,对AB、BC涂色有种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色,这影响到DA颜色的选取方法数,故分类讨论:
当CD与AB同色时,这时CD对颜色的选取方法唯一,则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时,CD有两种可供选择的颜色,DA也有两种可供选择的颜色,从而对CD、DA涂色有种涂色方法。
由乘法原理,总的涂色方法数为种
例8、用六种颜色给正四面体的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法?
(1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不同,
故有种方法。
(2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组与组之间不同色,故有种方法。
(3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有种方法。
(4)若恰用六种颜色涂色,则有种不同的方法。
综上,满足题意的总的染色方法数为种。
四、面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种?
显然,至少需要3三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
根据共用多少种不同的颜色分类讨论
(1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余3个面有3!
种涂色方案,根据乘法原理
(2)共用五种颜色,选定五种颜色有种方法,必有两面同色(必为相对面),确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换)
(3)共用四种颜色,仿上分析可得
(4)共用三种颜色,
P
例10、四棱锥,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法?
这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域1、2、3、4相当于四个侧面,区域5相当于底面;
根据共用颜色多少分类:
(1)最少要用3种颜色,即1与3同色、2与4同色,此时有种;
(2)当用4种颜色时,1与3同色、2与4两组中只能有一组同色,此时有;
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
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