中考数学试题汇编专题28解直角三角形含答案.docx
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中考数学试题汇编专题28解直角三角形含答案
解直角三角形
1.选择题
1、(苏州二模)如图,把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知=36°,求长方形卡片的周长.(精确到1mm,参考数据:
)
答案:
解:
长方形卡片周长为200mm.
2、(河三模)在△ABC中,若+(1-tanB)2=0,
则∠C的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
答案:
D
3.(山东枣庄·模拟)如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:
①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四边形ABOC是菱形.
其中正确结论的序号是( )
A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④
【考点】垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形.
【专题】几何图形问题.
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可.
【解答】解:
∵点A是劣弧的中点,OA过圆心,
∴OA⊥BC,故①正确;
∵∠D=30°,
∴∠ABC=∠D=30°,
∴∠AOB=60°,
∵点A是劣弧的中点,
∴BC=2CE,
∵OA=OB,
∴OA=OB=AB=6cm,
∴BE=AB•cos30°=6×=3cm,
∴BC=2BE=6cm,故②正确;
∵∠AOB=60°,
∴sin∠AOB=sin60°=,
故③正确;
∵∠AOB=60°,
∴AB=OB,
∵点A是劣弧的中点,
∴AC=AB,
∴AB=BO=OC=CA,
∴四边形ABOC是菱形,
故④正确.
故选:
B.
【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形,综合性较强,是一道好题.
二、填空题
1、(河三模)如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米,甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是_____米.
答案:
6
2、(河三模)将一副三角尺按如图所示方式放置,使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数是 _____ .
答案:
75°
3.(广东深圳·一模)如图所示,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°角,这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为 10 米.(保留根号)
【考点】解直角三角形的应用.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】如图,因为60°的角是△ABC的一个外角,且∠B为30°已知,所以根据三角形外角和可知∠CAB=30°,即AC=BC=10m,从而利用△ABD求出BD的长,即可求出CD,利用30°角的余弦值,进而求出AB.
【解答】解:
如图,作AD⊥CD于D点.
∵∠B=30°,∠ACD=60°,∠ACD=∠B+∠CAB,
∴∠CAB=30°.
∴BC=AC=10m,
在Rt△ACD中,CD=AC•cos60°=10×0.5=5m,
∴BD=15.
∴在Rt△ABD中,
AB=BD÷cos30°=15÷=10m.
故答案为:
10.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
4.(湖南湘潭·一模)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几
何图形,已知BC=BD=15,∠CBD=40°,则点B到CD的距离为
(参考数据:
20°≈0.342,20°≈0.940,40°≈0.643,40°≈0.766.精确
到0.1,可用科学计算器).
答案:
14.1
5.(黑龙江大庆·一模)如图,等腰△ABC中,AB=AC,tan∠B=,BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转(点A的对应点为A’,点B的对应点为B’),射线A’B’分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM的长为________.
第1题
答案:
5+
2.解答题
1.(重庆铜梁巴川·一模)如图,高36米的楼房AB正对着斜坡CD,点E在斜坡CD的中点处,已知斜坡的坡角(即∠DCG)为30°,AB⊥BC.
(1)若点A、B、C、D、E、G在同一个平面内,从点E处测得楼顶A的仰角α为37°,楼底B的俯角β为24°,问点A、E之间的距离AE长多少米?
(精确到十分位)
(2)现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF,使新斜坡DF的坡比为:
1.某施工队承接这项任务,为尽快完成任务,增加了人手,实际工作效率提高到原计划的1.5倍,结果比原计划提前2天完成任务,施工队原计划平均每天修建多少米?
(参考数据:
cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,tan24°≈0.45,cos24°≈0.91)
【分析】
(1)延长FE交AB于M,设ME=x,根据直角三角形函数得出AM=tanα•x,BM=tanβ•x,然后根据tanα•x+tanβ•x=36,即可求得EM的长,然后通过余弦函数即可求得AE;
(2)根据BM=NG=DN,得到DN的长,然后解直角三角形函数求得EN和FN,进而求得EF和DF的长,然后根据题意列出方程,解方程即可求得.
【解答】解:
(1)延长FE交AB于M,
∵EF∥BC,
∴MN⊥AB,MN⊥DG,
设ME=x,
∴AM=tanα•x,BM=tanβ•x,
∵AB=36,
∴tanα•x+tanβ•x=36,
∴tan37°x+tan24°x=36,
0.75x+0.45x=36,
解得x=30,
∴AE==≈37.5(米);
(2)延长EF交DG于N,
∵GN=BM=tan24°•30=13.5,DE=CE,EF∥BC,
∴DN=GN=13.5(米),
∵∠DCG=30°,
∴∠DEN=30°,
∴EN=DN•cot30°=13.5×,
∵=,
∴∠DFN=60°,
∴∠EDF=30°,FN=DN•cot60°=13.5×,
∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×,
∴EF+DF=27×=18,
设施工队原计划平均每天修建y米,
根据题意得,=+2,
解得x=3(米),
经检验,是方程的根,
答:
施工队原计划平均每天修建3米.
2.(山西大同·一模)
(1)如图,在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD(保留作图痕迹,不写作法).
(2)图中的实线表示从A到B需经过C点的公路,且AC=10km,∠CAB=25°,
∠CBA=37°.现因城市改造需要在A、B两
地之间改建一条笔直的公路。
问:
公路改造后比
原来缩短了多少千米?
(参考数据:
sin25°≈0.41,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75,
结果精确到0.01)
答案:
(1)图略
(2)在Rt△ACD中
CD=ACsin25°=4.2
AD=ACcin25°=9.1
在Rt△BCD中
BD=CD÷tan37°=5.6
AB=AD+DB=4.7
BC=CD÷sin37°=7.0
∴AC+BC-AB=2.3
3.(四川峨眉·二模)如图,两座建筑物与,其地面距离为米,为的中点,从点测得的仰角为,从处测得的俯角为,现准备在点与点之间拉一条绳子挂上小彩旗(不计绳子弯曲),求绳子的长度.(结果保留一位小数,,)
答案:
解:
连结,
∵=,为的中点,
∴.
在中,,
,
∴.
在中,,
∴.
在中,,
∴,
∴(米).
答:
绳子的长度大约为米。
4.(重庆巴蜀·一模)为缓解交通拥堵,某区拟计划修建一地下通道,该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行),通道水平宽度BC为8米,∠BCD=135°,通道斜面CD的长为6米,通道斜面AB的坡度i=1:
.
(1)求通道斜面AB的长;
(2)为增加市民行走的舒适度,拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓,修改后的通道斜面DE的坡角为30°,求此时BE的长.(答案均精确到0.1米,参考数据:
≈1.41,≈2.24,≈2.45)
【分析】
(1)过点A作AN⊥CB于点N,过点D作DM⊥BC于点M,解Rt△CMD,得出DM=CM=CD=3,则AN=DM=3,再解Rt△ANB,由通道斜面AB的坡度i=1:
,得出BN=AN=6,然后根据勾股定理求出AB;
(2)先解Rt△MED,求出EM=DM=3,那么EC=EM﹣CM=3﹣3,再根据BE=BC﹣EC即可求解.
【解答】解:
(1)过点A作AN⊥CB于点N,过点D作DM⊥BC于点M,
∵∠BCD=135°,
∴∠DCM=45°.
∵在Rt△CMD中,∠CMD=90°,CD=6,
∴DM=CM=CD=3,
∴AN=DM=3,
∵通道斜面AB的坡度i=1:
,
∴tan∠ABN==,
∴BN=AN=6,
∴AB==3≈7.4.
即通道斜面AB的长约为7.4米;
(2)∵在Rt△MED中,∠EMD=90°,∠DEM=30°,DM=3,
∴EM=DM=3,
∴EC=EM﹣CM=3﹣3,
∴BE=BC﹣EC=8﹣(3﹣3)=8+3﹣3≈4.9.
即此时BE的长约为4.9米.
5.(重庆巴南·一模)如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,小刘在与BC相距24m的F处,由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°,小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m.
(1)求建筑物BC的高度;
(2)求旗杆AB的高度.
(结果精确到0.1m.参考数据:
≈1.41,sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)
【分析】
(1)先过点E作ED⊥BC于D,由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=24m,DC=EF=1.6m,从而求出BC.
(2)由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD,则AB=AD﹣BD.
【解答】解:
(1)过点E作ED⊥BC于D,
根据题意得:
EF⊥FC,ED∥FC,
∴四边形CDEF是矩形,
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°,
∴∠EBD=45°,
∴BD=ED=FC=24m,
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=25.6(m),
答:
建筑物BC的高度为25.6m.
(2)已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°,即∠AED=52°,
∴AD=ED•tan52°
≈24×1.28≈30.8,
∴AB=AD﹣BD=30.8﹣24=6.8.
答:
旗杆AB的高度约为6.8m.
5.(22)(天津北辰区·一摸)(本小题10分)
如图,甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度.甲小组在地面A处测量,乙小组在上坡B处测量,AB=200m.甲小组测得山顶D的仰角为45°,山坡B处的仰角为30°;乙小组测得山顶D的仰角为58°.求山CD的高度(结果保留一位小数).
参考数据:
,,供选用.
解:
过B作BE⊥AC,BF⊥DC,E,F为垂足.
根据题意,有∠DAC=45°,∠BAC=30°,
∠DBF=58°,AB=200.
∵BE⊥AC,BF⊥DC,DC⊥AC,
∴四边形BECF是矩形.
∴,.…2分
设BF=,则CE=BF=.
在Rt△ABE中,,,
∴,
.…5分
在Rt△DBF中,,
∴.…7分
在Rt△DAC中,∠DAC=45°,
∴AC=DC.即
∴.解得,.
∴.
答:
山高约为295.2m..…10分
6.(天津市和平区·一模)在一次军事演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方
1000m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为
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