第七讲旋转体的计算文档格式.docx
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圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一,
即
为圆锥底面半径。
圆台的体积是:
其中,
分别是上底和下底的半径.
例1甲、乙两个圆柱形水桶,容积一样大,甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍,乙桶比甲桶高25厘米,求甲、乙两桶的高度。
分析与解答如下图.
由题意,设乙桶半径为r,则甲桶半径为1.5r;
甲桶高度为h,则乙桶高度为h+25,
则π(1.5r)2h=πr2(h+25),
2.25r2h=r2(h+25),
2.25h=h+25,
∴h=20(厘米),h+25=45(厘米).
答:
甲桶高度为20厘米,乙桶高度为45厘米.
例2一块正方形薄铁板的边长是22厘米,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形,用这块扇形铁板围成一个圆锥筒,求它的容积(结果取整数部分).
解:
如下图
扇形弧长=
×
2
22=11
厘米,因此所作的圆锥筒底的周长=2
=11
,解得
=5.5厘米。
因为母线长是22厘米,所以圆锥的高
厘米
674(立方厘米)
所求圆锥筒的容积约为674立方厘米.
例3在仓库一角有一堆谷,呈
圆锥形(如下图),量得底面弧长为2米,圆锥的高为1米,这堆谷重约多少公斤(谷的比重是每立方米重720公斤,结果取整数部分)?
解:
因为底面弧长为2米,所以
=2
求得
=
(米),因此,谷堆的体积为:
(立方米)
谷子的重量为720×
≈306(公斤)
这堆谷子重约306公斤。
例4有一个倒圆锥形的容器,它的底面半径是5厘米,高是10厘米。
容器内放着一些石子,石子的体积为
立方厘米。
在容器内倒满水后,再把石子全部拿出来,求此时容器内水面的高度。
解:
如上图,设石子取出后,容器内水面高度为
厘米,则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积,根据体积公式有:
52×
10=
(
)2×
+
=6
石子取出后,容器内水面的高为6厘米.
例5有一草垛,如下图,上部是圆锥形,下部是圆台形,圆锥的高为0.7米,底面圆周长为6.28米;
圆台的高为1.5米,下底面周长为4.71米。
如果每立方米草约重150公斤,求这垛草的重量(结果取整数部分).
分析与解答
圆锥的底面半径:
=
=1(米)
圆锥的体积:
圆台的下底半径:
(米)
圆台上底半径:
圆台高:
米
则
≈3.63(立方米)
∴草垛体积为:
=0.73+3.63=4.36(立方米),
故草垛的重量为:
150×
4.36=654(公斤).
草垛约重654公斤.
例6如下右图,在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上,最长直线段为20厘米,求这个管子的体积.
分析如上左图,AB是截面圆环的最长直线段,O是截面圆环的圆心.过O作AB的垂线,垂足是C,以O为圆心,以OC为半径作圆,即管截面的内圆周.连结AO,根据勾股定理有:
AO2=AC2+CO2,
∴AO2-OC2=AC2,同理AO2-OC2=BC2,
∴
=π·
AO2-π·
OC2=π·
(AO2-OC2)
)2
先求出管子横截面的圆环面积为:
)2=100
(平方厘米)
则管子的体积为:
=圆环面积×
=100
35
=3500
(立方厘米)
这个管子的体积为3500
立方厘米.
例7一个长方形的长为16厘米,宽为12厘米.以它的一条对角线为轴旋转此长方体,得到一个旋转体.求这个旋转体的体积.(结果中保留
,即不用近似值代替
)
分析与解答如下图,
记这个长方形为ABCD,对角线AC的中点为O.过O作EF垂直于AC,分别交BC、AD于E、F.由对称性知道:
EO=OF.
设P为AO上的任一点,过P作AO的垂线,分别交折线ABE和线段AF于M和N,那么
MP>PN.
因此,四边形ABEF绕AC旋转得到的立体即为四边形ABEO绕AC旋转得到的立体.同样,四边形CDFE绕AC旋转得到的立体即为四边形CDFO绕AC旋转得到的立体.并且,由于对称性,四边形ABEO与CDFO是完全一样的,因此由它们绕AC旋转得到的立体也是完全一样的.这样,这两个立体的体积相等.所以,长方形ABCD绕AC旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO绕AC旋转得到的立体的体积的两倍.
记由长方体ABCD绕AC旋转得到的立体为W,由四边形ABEO绕AC旋转得到的立体为U,由△ABB'
(B'
在AO上,BB'
垂直于AO)、四边形BEOB'
绕AC旋转得到的立体分别记为U1、U2.显然,U1与U2有一条公共的边界(由BB'
旋转而成的圆),且U1与U2合成U.
因此VW=2VU=2(VU1+VU2).
由AB=12厘米,BC=16厘米及勾股弦定理得:
AC=20厘米,所以AO=CO=
AC=10厘米
再由
得:
BB'
=9.6厘米.
在直角三角形ABB'
中再用勾股弦定理,得
AB'
=7.2厘米,所以B'
O=AO-AB'
=2.8厘米.
U1是一个圆锥,底面半径BB'
=9.6厘米,高AB'
=7.2厘米,所以:
U2是一个圆台,它是大、小两个圆锥的差,大圆锥以BB'
为底面半径,CB'
为高,小圆锥以EO为底面半径,CO为高,容易知道
CB'
=CO+OB'
=12.8厘米,
由EO:
OC=AB:
BC可以求出EO=7.5厘米.
因此
所以
=2×
[
]
=853.8
所求的旋转体体积为853.8π立方厘米。
习题七
一、填空题:
1.一个圆柱体的侧面积是m平方厘米,底面半径是2厘米,它的体积是___立方厘米.
2.一个圆锥的母线长为8厘米,底面直径为12厘米,那么这个圆锥的侧面积等于____平方厘米.
3.圆台的上、下底面半径分别为2厘米和5厘米,母线长为4厘米,那么这个圆台的表面积等于____.
4.用半径为2厘米的半圆形铁皮卷成的圆锥形容器,则它的底面半径为____厘米,容积是____立方厘米.
5.一个圆锥的高是10厘米,侧面展开图是半圆,那么圆锥的侧面积等于____.
二、选择题:
1.一个圆柱体高80厘米,侧面积为1.5平方米,它的全面积是____(精确到0.01平方米).
(A)1.78平方米(B)2.06平方米
(C)3.74平方米(D)5.25平方米
2.圆锥的侧面积为427.2平方厘米,母线长为17厘米,那么圆锥的高是___(精确到0.01厘米).
(A)5.75厘米 (B)15厘米
(C)16.52厘米(D)5.25厘米
3.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是___.
(A)4πS (B)2πS
(C)
S(D)
4.母线和底面直径相等的圆锥叫做等边圆锥,一个等边圆锥的底面半径是5厘米,那么它的侧面积是_______.
(A)25平方厘米 (B)50π平方厘米
(C)100π平方厘米(D)250π平方厘米
5.把一个底面半径是1厘米的圆柱体侧面展开,得到一个正方形,这个圆柱体的体积是立方厘米(取
=3.14).
(A)1 (B)3.14
(C)3.14×
3.14(D)3.14×
6.28
6.长、宽分别为6寸、4寸的长方形铁片,把它围成一个圆桶,另加一个底,形成圆柱形的杯子,这个杯子的最大容积是____.
(A)
(B)
(D)
三、解答题:
1.一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水,水中放置一个底面半径是9厘米、高20厘米的铁质圆锥体,当圆锥从桶中取出后,桶内的水将下降多少厘米?
2.在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里,有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中.当钢材从桶里取出后,桶里的水下降了3厘米.求这段钢材的长.
3.有A、B两个容器,如下页图,先将A容器注满水,然后倒入B容器,求B容器的水深。
(单位:
厘米)
4.从一个底面半径为3厘米,高为4厘米的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到一个如下图的几何体.求这个几何体的表面积和体积.
5.圆锥形烟囱帽的底的半径是40厘米,高是30厘米,计算它的侧面面积。
若烟囱表面要涂油漆,已知每平方米需要油漆150克,问需油漆多少克?
6.一个圆台的母线长为25厘米,而两个底面半径之比为1:
3,已知圆台的侧面积等于1000
平方厘米,求这个圆台的全面积.
7.把一条导线以螺旋状绕在圆柱管上,绕成十圈,圆柱管的外圆周长4厘米,导线的两端点位于圆柱的同一条母线上,每线长(两端点之间的距离)为9厘米.试求导线的长度.
8.在长为1米的圆筒形管子的横截面上,最长直线段为12厘米,求此管子的体积.
9.如下页图,长方形纸片ABCD中,AB=3厘米,BC=4厘米。
①如果以BC为底边,折成一个底面为正方形的长方体,加盖后其体积为V1;
如果以AB为底边,同样折成一个长方体,其体积为V22,求V1∶V2;
②如果以BC为底边,把纸卷成一个圆柱,其体积为V3;
如果以AB为底边,把纸片卷成一个圆柱,其体积为V4,求V3∶V4(取
③这四个不同形状的形体,加盖后其表面积之比又分别是多少(即求S1∶S2和S3∶S4)?
10.一个几何体如下图,求它的表面积。
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- 第七 旋转体 计算