信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析Word文档下载推荐.docx
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rzfl,JTni
JJO
则f2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*
(3)由f3(t)的波形可⅛l∕3<
f)=f3(~r)则有
Γ⅛=0
n
/(z)cos(fiΩt>
d;
(4)
%4
召=亍
即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波*由/<
(0的波形可知,人⑺为奇谐函数■即
fdι)=一fZ土£
)
b2=hA=b6=・*・=0
则有U
即人"
)的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"
4-11
某1Ω电阻两端的电压u(t)如图4-佃所示,
(1)
求u(t)的三角形式傅里叶系数。
(3)
利用(3)的结果求下列无穷级数之和
图4-18
解
(1)由旳⑺的波形可矩
Λ<
r)=√√-n=-∕l(f⊂f)
亠IUJr=f(t)cos(riΩt)df
则有丿丁人,jj=0.1,2,-
[仇=0
"
[J=盘?
=应丄=*"
=QE=仇=仏=*八=0
则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠
(2)由f2(t)的波形可知
利用
(1)的结果和U(I)J,求下列无穷级数之和
2
111S=I-11_丄……
357
求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
—
Bu(r)sin()df=
'
1
W(OSirι(wπ∕)dt=
!
-iT*
T«
1—cost
n=12…
&
«
=
SinC?
J7;
r)dz
g
IJ=1r2*…
图4-19
s=1!
!
12•
325272
解
(1)FhUCt)的波形图可知丁=2,0=
则三角形式的傅里叶级数为
守+丫仇0口5疋)=
—If=II
1K
T÷
Σ
⅛_I
1—cos(?
z)∙f小、
sι∏(JIlItJ
¢
2)u(t)波形图可知
7T
1一f-I)FT>
in(yπ)
LJ
2--⅛÷
则可得无穷级数
1Ω电阻上的平均功率为
P=丄
T
则电压有效值为
ftlIdt)的波形图可知
u2(i)dz=丄
U2Ct)dz=-t
=√T=丄V√2
dr
Cl
U(I)At=—
—IZ叩
1C
∑j.
将MF)的傅里叶级数代入上式得
-1P1—COS(MTr)-#林八「斗I
⅛^⅛一忑一Sm(Tr)]CIZ=I
u(t)dt
PL
-1
nπ
工1-(-1)"
Ff=1
K
λiπ
4.17
I卫Tr「
1^∞s
=1-⅜-⅛-⅜-
根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
f(t)=
(2)
f(t)二
2-X
—2,」:
;
:
:
t厂:
很亠t
一sin(2叫I2X
-:
:
t:
IL2二t
Sin[口-2)】_:
,t,:
二(t-2)'
解
(1)由于宽度为“偏度为1的门函数趴⑺的频谱函数为&
(专)・即
≡<
T)
取Γ=狙幅度为寺,根据傅里叶变换线性性质有
耶-∣-gri(F)—-g-×
2Sa(ω)—SaCaJ)
即+幻C)~~Sa<
∞)
注意到是偶阴数■根据对称性可得
SaC/)"
__*2ττX-y⅛≤(ω)=Jr呂辛(⅛?
)根据时移性和尺度变换性可知菟沁2E—2)]]=屛亠)宀
由/(r)=山_严打2)_=2Sa[2π(t-2)^可知
π⅛∙t一L)
九tΛ"
[=⅛4jω)e-jf"
=
e~l2vIu*I≤2?
rrad∕S
0,ItUl>
2Jrrad/s
(2)由于e-ttlfl-一-,社:
GiJ—&
/可知3q一>
2πe^fl-W=2πe^alW
α-+Γ
即∕∞=≠⅛^∞<
f<
∞的傅里叶变换为决
又有
4.18求下列信号的傅里叶变换
(1)f(t)dl(t-2)
(2)f(t)=e'
(t」\'
(t-1)
(3)f(t)=sgn(t2-9)
(5)f(t)=
CI)已知
由时移性质可得
⅛Cz-2)—e^j2
再由频移性质可得八“的傅里叶变换
5"
—2)Ae^i
即
F⅛>
⑵/Cr)=严i%—1)=Sf<
t-D-(-3}⅛G-1)
=y(t-1)+3⅞<
r-1)
又M—•网,由时移特性可知/Cr)的傅里叶变换为
F(jω)=(讪+3)e^i*
3)/(r)=Sgn(^—9>
=1一2g⅛Cr)
又
迁—耳点(F)El购「df—Ie^'
ltt,1dt='
hin"
G
J—™J—3<
i)
=2πδ(ω)
孔fg=2%〉_血型
OJ
⑸由
εCf—*TtS(at)+JCU
利用时移特性可得
再rtι尺度变换特性可得
芝(£
—1)→~~>
2]ττ⅛(2G—τ^-e^j2ω2=π⅝(⅛)十Λe^j'
α,ZjZω-Jω
即∕ω的傅里叶变换为
F(jω)=JΓ⅛(ω)÷
τ^-e^j2w
JQJ
4.19试用时域微积分性质,求图4-23示信号的频谱。
图4-23
ι∕≡⅛)
2442
解
(1)由的波形可得其闭合表达式为
∕ι(r)=—[ε(t+r)-ε(i-r)]
fι(f)=—Cr+L)—ε(1—r)∏—[$(『一r)—讯f—r)_—τr
C(/)■*—*■TΓ<
3b(OJ)+-、—
M—1
可得
A^jWr
ε(fiτ)j*—*Fπ<
5Cω)十——
Ja
⅛(z±
r)—戶呎
=-•沁辺一2CM(Ozr)
rω
当3=0时上式值为X则有
C2)由九(D的波形可得其闭合表达式为
/2(f)=Ar(J+f)eG+f)_(,+f^+f)
ε(r-y)-€<
z+^)-ε(i-y>
÷
^(r-y)
(t)j**fTT(JlCw)—■;
一p±
JW⅛
E(F土齐-)Y—”π⅞(ω)一
/jω
二丄'
.
E(f土~)—Mπ⅝(ω)一二
4Jω
当ω=0时•上式为Ch则有
4.20若已知F[f(t)]=Fj),试求下列函数的频谱:
(1)tf(2t)
(3)tdJ)(5)(i-t)f(i-t)
(8)ejtf(3-2t)
(9)CTIt
解
(1)根据频域微分特性可知
则有tf(t)一j羊F(jG
dω
根据尺度变换特性可得
纤⑵〉一j*舟F(j号)
则可得乳圧⑵j£
£
F(j号)
(3)市时域微分持性可得
巴F…Cjω)F(jω)
又由频域微分特性可得
(―Q警…缶∞F(Q]
则有=j
(jω)_=—-F(joj)+oj-^-F(jα>
ClCUJ-Juω
(5)由频域微分特性可得
r∕(z)—j⅛(jω)αω
由反转特性可得一tf(—t)"
i*—j(―]ω)
文由时移性质可得
(-Z÷
1)∕(-Z+1)—j严f_F(—讪)
即5f2(l—z)∕(l—t)_=—je--z-^-F(―jω)
8)由尺度变换特性可得
∕C-2f)W—*£
尸(一j-y)
Fh时移特性可得『(3—2t)—*+才节F(—j号〉
又由频移特性可得
ejγ(3-2∕)*r⅛kF(j
W1
KPMej7(3一2D]=咛1F(j
413F(jω)
—-—JSg∏Cω)
TrZL
(9)甫时域微分特性可得
则由时域卷积定理可得
—■*~~*jωFCjω)*(—j)sg∏(ω)兀f
4.21求下列函数的傅里叶变换
FQJ=2cos(3,)
(5)
F(j•)八∙2sine-j(2nI)"
n=B豹
Fz)r
解(I)傅里叶逆变换为
fit}=F(jα∣)Glf^,1dω=T-dtυ
=^ttJ-H^TrJβ⅛0
=-J-(W吋—EFe√}=坯皿Qf
2πjr寸
⑶F(j和)的傅里叶逆变换为
t)=ZLl2cos(3ω)^zdω=f丨(e3a,+e"
j5w)efdf
/TT」一ocZ7f..—X
=二「[ejw(W)+亡"
叮击ZTrJ-=C
⅛δ(f)-~~>
1,得5(f)=亠ejw'
dωτ则有
∆7Γi.—κ
/Cr)=Mr+3)+δ(t一3)
也1•则由时移特性可知
Ul
鏡"
一
1、*2si∏c<
j_;
1)VA∈JW
Cu
耳?
“一
\2Si∏α∕一;
3如
3)——e
ω
L\2sin∣Qj—,j⅛∣
O)<
——►e
则F(^)的傅里叶逆变换为f(t)=k[F(ja)[=gi(t-1)
+g√/—3)+g2(/—5)
ftι于g√r)
4.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)<
(2)利用时域的积分定理。
(3)将f(t)看作门函数g2(t)与冲激函数Ht2)、弋-2)的卷积之和。
图4-25
解⑴已知禺⑴一rSaC^).将r=2代入,得
如⑺—2Sa(ω)
由博里叶变换的时移性质可得
幻(F二F)——*2Sa(ω
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