普通高等学校招生全国统一考试江苏卷理科数学Word文档下载推荐.docx
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=5,x=4≥4是,输出S=5.
答案5
4.函数y=
的定义域是__________.
解析要使式子有意义,则7+6x﹣x2≥0,解得﹣1≤x≤7.
答案[﹣1,7]
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是__________.
解析由题知,该组数据平均值为
=8,所以该数据方差为
[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=
.
答案
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是__________.
解析由已知男女同学共5名.
从5名学生中任选2名,共有
=10种选法.
若选出的2人中恰有一名女生,有
=6种选法.
若选出的2人都是女生,有1种选法.
所以所求的概率为P=
7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣
=1(b>
0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是__________.
解析∵双曲线x2﹣
0)过点(3,4),
∴32﹣
=1,
解得b2=2,即b=
或b=﹣
(舍去).
∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,
∴双曲线的渐近线方程为y=±
x.
答案y=±
x
8.已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是__________.
解析∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,
∴
整理②得a1+4d=3,即a1=3﹣4d,③
把③代入①解得d=2,∴a1=﹣5.
∴S8=8a1+28d=16.
答案16
9.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是__________.
解析∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为120,
∴AB·
BC·
CC1=120.
∵E为CC1的中点,CC1⊥底面ABCD,
∴CE为三棱锥E﹣BCD的底面BCD上的高,CE=
CC1,
∴VE﹣BCD=
AB·
CE
=
CC1
CC1=
×
120=10.
答案10
10.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+
(x>
0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是__________.
解析当直线x+y=0平移到与曲线y=x+
相切位置时,切点Q即为点P到直线x+y=0的最小距离的点,有y'
'
=1﹣
=﹣1(x>
0),得x=
(﹣
舍).
此时y=
=3
,即切点Q(
,3
),
则切点Q到直线x+y=0的距离为d=
=4,即为所求最小值.
答案4
11.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是__________.
解析设点A(x0,y0),则y0=lnx0,
又y'
,当x=x0时,y'
,点A在曲线y=lnx上的切线为y﹣y0=
(x﹣x0),即y﹣lnx0=
﹣1,代入点(﹣e,﹣1),得﹣1﹣lnx0=
﹣1,
即x0lnx0=e,得x0=e,y0=1,故点A(e,1).
答案(e,1)
12.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若
=6
,则
的值是__________.
解析如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,
由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
又
·
(
)
)·
,
得
,即|
|=
|,故
13.已知
=﹣
,则sin
2α+
解析由
,得3tan2α﹣5tanα﹣2=0,
解得tanα=2或tanα=﹣
又sin
=sin2αcos
+cos2αsin
(sin2α+cos2α)
.(*)
①当tanα=2时,(*)式=
;
②当tanα=﹣
时,(*)式=
综上,sin
14.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=
,g(x)=
其中k>
0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是__________.
解析当x∈(0,2]时,设y=f(x)=
⇔(x﹣1)2+y2=1(y≥0),结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)的图象:
∵当x∈(1,2]时,g(x)=﹣
,又g(x)的周期为2,
∴当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,g(x)=﹣
由图可知:
当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点,
∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.
当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点,
∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点,
由f(x)与g(x)的周期性可知:
当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点.
如图,当y=k(x+2)与圆弧:
(x﹣1)2+y2=1(0<
x≤1)相切时,d=
=1⇒k2=
(k>
0)⇒k=
当y=k(x+2)过点A(﹣2,0)与B(1,1)时,k=
≤k<
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.
(1)若a=3c,b=
,cosB=
,求c的值;
(2)若
,求sin
的值.
解
(1)因为a=3c,b=
由余弦定理cosB=
即c2=
.所以c=
(2)因为
由正弦定理
,所以cosB=2sinB.
从而cos2B=(2sinB)2,
即cos2B=4(1﹣cos2B),故cos2B=
因为sinB>
0,所以cosB=2sinB>
0,
从而cosB=
因此sin
=cosB=
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:
(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
证明
(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB∥A1B1,
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,
所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱,
所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1(a>
b>
0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:
(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
解
(1)设椭圆C的焦距为2C.
因为F1(﹣1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=
,AF2⊥x轴,
所以DF2=
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2﹣c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为
=1.
(2)(解法一)由
(1)知,椭圆C:
=1,a=2.
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x﹣1)2+y2=16,
解得y=±
4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(﹣1,0),所以直线AF1:
y=2x+2.
由
得5x2+6x﹣11=0,
解得x=1或x=﹣
将x=﹣
代入y=2x+2,得y=﹣
因此B
又F2(1,0),所以直线BF2:
y=
(x﹣1).
得7x2﹣6x﹣13=0,
解得x=﹣1或x=
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=﹣1.
将x=﹣1代入y=
(x﹣1),得y=﹣
因此E
(解法二)由
(1)知,椭圆C:
如图,连接EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(﹣1,0),由
得y=±
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,
所以y=﹣
.因此E
18.(本小题满分16分)
如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:
线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:
百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?
并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:
百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
解(解法一)
(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,
所以cos∠PBD=sin∠ABE=
所以PB=
=15.
因此道路PB的
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- 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 江苏 理科 数学