高考文科数学一轮总复习简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word文档格式.docx
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特称命题
结构
对M中任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,綈p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
常用知识拓展
1.含逻辑联结词命题真假的判断
(1)p∧q中一假则假,全真才真.
(2)p∨q中一真则真,全假才假.
(3)p与﹁p真假性相反.
2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
(2)否定结论:
对原命题的结论进行否定.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( )
(2)命题p和﹁p不可能都是真命题.( )
(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( )
(4)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( )
(5)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√ (5)√
(教材习题改编)命题“∃x0∈R,x
-x0-1>
0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2-x-1≤0
B.∀x∈R,x2-x-1>
C.∃x0∈R,x
-x0-1≤0
D.∃x0∈R,x
-x0-1≥0
解析:
选A.依题意得,命题“∃x0∈R,x
0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≤0”,选A.
已知命题p:
对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:
x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧(﹁q) B.(﹁p)∧q
C.(﹁p)∧(﹁q)D.p∧q
选A.因为命题p为真命题,q为假命题,故﹁q为真命题,所以p∧(﹁q)为真命题.
(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”的否定为________________________________________________________________________.
“有些可以被5整除的整数,末位数字不是0”
若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
因为0≤x≤
,所以0≤tanx≤1,
又因为∀x∈
,tanx≤m,故m≥1,
即m的最小值为1.
1
全称命题、特称命题(多维探究)
角度一 全称命题、特称命题的否定
∃m∈R,f(x)=2x-mx是增函数,则﹁p为( )
A.∃m∈R,f(x)=2x-mx是减函数
B.∀m∈R,f(x)=2x-mx是减函数
C.∃m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数
D.∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数
【解析】 本题考查特称命题的否定.由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数”.
【答案】 D
角度二 判断全称命题、特称命题的真假性
(2019·
长沙统一模拟考试)已知函数f(x)=x
,则( )
A.∃x0∈R,f(x0)<
B.∀x∈[0,+∞),f(x)≥0
C.∃x1,x2∈[0,+∞),
<
D.∀x1∈[0,+∞),∃x2∈[0,+∞),f(x1)>
f(x2)
【解析】 幂函数f(x)=x
的值域为[0,+∞),且在定义域上单调递增,故A错误,B正确,C错误,D选项中,
当x1=0时,结论不成立,选B.
【答案】 B
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
所有对象使命题真
否定为假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在一个对象使命题真
所有对象使命题假
[注意] 无论是全称命题还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,都可先判断其否定的真假.
(2019·
河南商丘模拟)已知f(x)=sinx-x,命题p:
∃x∈
,f(x)<
0,则( )
A.p是假命题,﹁p:
∀x∈
,f(x)≥0
B.p是假命题,﹁p:
C.p是真命题,﹁p:
D.p是真命题,﹁p:
选C.易知f′(x)=cosx-1<
0,所以f(x)在
上是减函数,因为f(0)=0,所以f(x)<
0,所以命题p:
0是真命题,綈p:
,f(x)≥0,故选C.
含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)
(1)命题p:
若sinx>
siny,则x>
y;
命题q:
x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A.p∨qB.p∧q
C.qD.﹁p
(2)(2019·
唐山市五校联考)已知命题p:
“a>
b”是“2a>
2b”的充要条件;
∃x∈R,|x+1|≤x,则( )
A.(﹁p)∨q为真命题
B.p∨q为真命题
C.p∧q为真命题
D.p∧(﹁q)为假命题
【解析】
(1)取x=
,y=
,可知命题p不正确;
由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故﹁p为真命题,p∨q是真命题,p∧q是假命题.
(2)由函数y=2x是R上的增函数,知命题p是真命题.
对于命题q,当x+1≥0,即x≥-1时,|x+1|=x+1>
x;
当x+1<
0,即x<
-1时,|x+1|=-x-1,
由-x-1≤x,得x≥-
,无解,
因此命题q是假命题.
所以(﹁p)∨q为假命题,A错误;
p∨q为真命题,B正确;
p∧q为假命题,C错误;
p∧(﹁q)为真命题,D错误.故选B.
【答案】
(1)B
(2)B
(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式命题真假的判断步骤
①确定命题的构成形式;
②判断命题p,q的真假;
③根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式命题的真假.
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系
①p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假;
②p∨q假⇔p,q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真;
③p∧q真⇔p,q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假;
④p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真;
⑤﹁p真⇔p假;
﹁p假⇔p真.
已知命题p:
“若x2-x>
0,则x>
1”;
“若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是( )
A.p∨(﹁q)B.p∨q
C.p∧qD.(﹁p)∧(﹁q)
选B.若x2-x>
1或x<
0,故p是假命题;
若x,y∈R,x2+y2=0,则x=0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题,故选B.
由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)
已知p:
存在x0∈R,mx
+1≤0,q:
任意x∈R,x2+mx+1>
0,若p或q为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>
0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则有Δ=m2-4<
0,即-2<
m<
2.因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2,+∞).
[迁移探究1] (变结论)本例条件不变,若p且q为真,则实数m的取值范围为________.
依题意知p,q均为真命题,当p是真命题时,有m<
0;
当q是真命题时,有-2<
2,
由
可得-2<
0.
(-2,0)
[迁移探究2] (变结论)本例条件不变,若p且q为假,p或q为真,则实数m的取值范围为________.
若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假.
当p真q假时
所以m≤-2;
当p假q真时
所以0≤m<
2.
所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).
(-∞,-2]∪[0,2)
[迁移探究3] (变条件)本例中的条件q变为:
存在x0∈R,x
+mx0+1<
0,其他不变,则实数m的取值范围为________.
依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>
0,
所以m>
2或m<
-2.由题意知,p,q均为假命题,
所以
得0≤m≤2,
所以m的取值范围是[0,2].
[0,2]
(1)由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤
①求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
②根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
(2)全称命题可转化为恒成立问题
含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.
[注意] 要注意分类讨论思想的应用,如本例的迁移探究
(2),由于p和q一真一假,因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解.
河南师范大学附属中学开学考)已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[1,4]
C.(-∞,1]D.[e,4]
选D.命题p等价于lna≥x对x∈[0,1]恒成立,所以lna≥1,解得a≥e;
命题q等价于关于x的方程x2+4x+a=0有实根,则Δ=16-4a≥0,所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题,所以命题p真,命题q真,所以实数a的取值范围是[e,4],故选D.
[基础题组练]
1.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,ex>
B.∀x∈N,x2>
C.∃x0∈R,lnx0<
D.∃x0∈N*,sin
x0=1
选B.对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.
2.(2019·
太原模拟试题
(一))已知命题p:
∃x0∈R,x
-x0+1≥0;
若a<
b,则
>
,则下列为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(﹁q)
C.(﹁p)∧qD.(﹁p)∧(﹁q)
选B.对于命题p,当x0=0时,1≥0成立,所以命题p为真命题,命题﹁p为假命题;
对于命题q,当a=-1,b=1时,
,所以命题q为假命题,命题﹁q为真命题,所以p∧(﹁q)为真命题,故选B.
3.(2019·
辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0)B.[0,4]
C.[4,+∞)D.(0,4)
选D.因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+
≤0”是假命题,所以其否定“∀x∈R,4x2+(a-2)x+
0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×
4×
=a2-4a<
0,解得0<
a<
4,故选D.
4.(2019·
湖北八校联考)下列说法正确的个数是( )
①“若a+b≥4,则a,b中至少
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