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1、由内心、重心性质产生的联想
2、重心的巧用
3、三角形“四心”与一组面积公式
三角形各心间的联系
与三角形的心有关的几何命题的证明
.1
1
2
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10
13
三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活,是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型,因此,它是近几年来升学、竞赛的热点。
92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。
本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用,以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法,提高灵活运用有关知识的能力。
“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心。
△ABC的外心一般用
字母O表示,它具有如下性质:
(1)外心到三顶点等距,即OA=OB=OC
111
(2)/A=1BOCB1AOCC丄
2'
2'
2
AOB。
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心,与外心有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,就可以大显神通了。
下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点,此点称为三角形的外心
已知:
△ABC中,XX,YY,ZZ’分别是BC,ACAB边的垂直平分线,求证:
XX,YY,ZZ'
相交于一点(图3-111).
C
3-111
例1、如图9-1所示,在^ABC中,AB=AC任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ求证:
△ABC的外心0与点AP、Q四点共圆。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。
^母I表示,它具有如下性质:
(1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
(2)/A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、△BCI的外心)。
(3)/BIC=98+-/A,/CIA=90+1/B,/AIB=90o+-/C。
222
例1证明:
三角形三内角平分线交于一点,此点称为三角形的内心.已知:
△ABC中,AXBY,CZ分别是/A,/B,
证:
AX,BYCZ交于一点(图3-110).
ABC的内心一般用字
C、
内心I等距(即D为
2、内心
说明若证明几条直线共点,可先证其中两条直线相交,再证这个交点分别在其余各条直线上,则这几条直线必共点于此交点.
由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等,所以以此交点为圆心,以此点到各边的距离为半径作圆,此圆必与三角形三边内切,所以称此交点为三角形内切圆圆心,简称内心.
求证:
四边形O1O2O3O4是一个矩形。
3.AABC中,I是内心,过I作DE直线交AB于D,交AC于E.求证:
DE=DB+EC
3、垂心
△ABC的垂心一般用字母H表示,
CHIABo
DE、F,则A、F、H、E;
B、D
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
它具有如下的性质:
⑴顶点与垂心连线必垂直对边,即AH1BC,BH1AC
(2)若H在^ABC内,且AHBHCH分别与对边相交于
HF;
CE、H、D;
B、C、E、F;
C、A、F、D;
A、B、DE共六组四点共圆。
(3)△ABH的垂心为C,ABHC勺垂心为A,AACH的垂心为Bo
⑷三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
例4证明:
三角形三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.
如图3-114,^ABC中,三边上的高线分别是AXBYCZX,Y,Z为垂足,求证:
AX,BYCZ交于一点.
分析要证AXBY,CZ相交于一点,可以利用前面的证明方法去证,也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明.为此,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证,只须构造出一个新三角形AB'
C'
使AXBYCZ恰好是△AB'
C的边上的垂直平分线,则AXBYCZ必然相交于一点.
A
3-114
例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。
在底边BC保持不变的情况下,让顶点A至底边BC的距离变小,问这时乘积SABCShbc的值变大?
变小?
还是不变?
证明你的结论。
例4、如图9-8所示,已知△ABC的高ADBE交于H,AABC
△ABH的外接圆分别为OO和O01,求证:
O0与O01的半径相等。
4.设G为^ABC的垂心,D,E分别为AB,AC边的中点,如果Ssbc=1,那么Smd=?
4、重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
△ABC的重心一般用字母G表示,它有如下的性质:
(1)顶点与重心G的连线必平分对边。
⑵重心定理:
三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
(3)SBGCSCGASAGB—SABC。
例3证明:
三角形的三条中线相交于一点,此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:
1.
△ABC中,AXBY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线,求证:
AX,BYCZ相交于一点G,并且AG:
GX=21(图3-112).
ABC为一个质量均匀
明为什么称G点为△ABC的重心呢?
这可以从力学得到解释.设△
的三角形薄片,并设其重量均匀集中于A,B,C三点,如果把B,C两点的重量集中于BC边中点X时,那么△ABC的三顶点A,B,C的集中重量作了重新分配.若A点为1,则X点为2,因此在AX上的重心支撑点必在AG:
GX=2:
1处的G点.这样一来,如果在G点支起三角形,那么△ABC必保持平衡,所以G点为三角形的重心(图3-113).
已知G是△ABC的中心,过AG的圆与BG切于GCG的延长线交圆于D,求证:
例1、
分析、
延长GP至F,使PF=PG边FBFCAD(图9-9)。
例2、设G是等腰△ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。
若AD=18BE=15则这个等腰三角形的面积为多少?
例3、平行四边形ABCD勺面积是60,E、F分别是ABBC的中点,AF分别与EDBD交于GH,则四边形BHGE勺面积是。
例7如图3-118.设ABC的重心,从各顶点及G向形外一直线I弓I垂线AA,BB,
CC,GG(其中A,B‘,C,G为垂足).求证:
AA+BB+CC=3GG.
分析由于图中有许多可以利用的梯形,故可考虑利用梯形中位线定理来证明.
说明当本题中AA,BB,CC,GG不垂直于I,但仍保持互相平行时,本题结论是否还成立?
试作出你的猜想,并加以证明.
5、外心与内心
例1、已知△ABC中,0为外心,I为内心,且AB+AC=2B。
01丄Al(图9-10)。
2.如图3-119.在^ABC中,0为外心,I为内心,且AB>
BOCA求证:
(1)/0AI>
/OBI;
(2)/0AI>
/OCI.
6、重心与内心
CA
例1、如图9-11所示,已知△ABC的重心G与内心I的连线GI//BCo求证:
ABBC成等差数列。
7、外心与垂心
例1、如图9-12所示,在△ABC中,H为垂心,0为外心,/BAC=60,求证:
AH=AO
例6如图3-116.已知H是^ABC的垂心,0是外心,0」BC于L求证:
AH=20L
8、外心与重心
AZ为/BAC的平分线(图3
CF的交点,卩是^ABC所在平面上的任一点,作PL丄AD于L,PMLBE于M,PNICF于N。
试证:
PL、PMPN中较大的一条线段等于其它两条线段的和。
10、垂心、重心、外心
例题、证明:
△ABC勺垂心H、重心G和外心0在同一条直线上。
旁心
例5证明:
三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点,此点称为三角形的旁心.已知:
BXCY分别是△ABC的外角/DBC和/ECB的平分线,
AZBXCY相交于一点.
—115),求证:
Sa
△APB的面积分别为Sa,Sb,Sc,则塑o(探)
PDC
APSbSc
PDSa
-ABr(r为内切圆半径),于
2。
故(探)式是三角形内心。
2、重心的巧用
命题3:
如果平面上有n个质点P(Xi,yi)(i1,2,,n),它们的质量
11
(探)式中,当P为内心时,Sa丄BCr,Sb丄CAr,Sc
22
是APACAB;
当p为重心时,SaSbSc,于是竺
PDBCPD
重心性质的推广,我们不妨称之为三角形内点性质。
利用它,许多数学竞赛题都可求解。
例1、已知R为锐角△ABC外接圆半径,O是外心,AOBOCO分别
交对边于A1,B1,C1(图9-20)。
OA1OB1OC1-R。
n
miXi
i1
XG,yG
mi
这几个命题看似简单,但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的
思路。
例1、三只苍蝇沿△ABC的三边爬行,使由这三只苍蝇构成的三角形的与△ABC的重心保持不变,求证:
如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边,那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合。
例2、如图9-23所示,已知△P1P2P3和其内任一点P,直线P1PP2P和P3P分别与对
边交于Q1,Q2Q3证明:
在比值空,空,空中至少有一个不大于2。
PQ1PQ2PQ3
例3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些线段分成边比x:
y:
Z,设x>
y>
z,求x:
z(图9-24)。
例4、如图9-25所示,在△ABC中DE分别为BCCA上一点,且BD:
DC=m:
1,CE:
EA=n:
1,AD与BE相交于F,求:
Sabf是Sabc的几倍?
3、三角形“四心”与一组面积公式
有这样一道竞赛题:
△ABC为锐角三角形,过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径
AA,BB,CC,求证:
SABCSABCSABCSABC。
该题中,三直径之交点即为△ABC的外心,若就外心这一条件进行一些联想和变化,经探索可得一系列与面积有关的结果。
我们归纳如下(证明略去)。
定理:
设卩为^ABC平面内的点,APBP、CP所在直线分别交△ABC的外接圆于A,B,C,
那么
(1)若卩为^ABC的外心,则对锐角三角形,有SabcSabcSabcSabc。
①
对非锐角三角形(不妨设/A>
90o,下同),有SabcSabcSabcSabc。
②
(2)若卩为^abc的垂心,则对锐角三角形,有①式成立,对非锐角三角形,有②式成立。
⑶
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