概率论与数理统计案例.doc
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概率论与数理统计案例
概率论部分:
案例1邮局开设多少服务窗口合理
案例2国家邮政局发行贺年(有奖)明信片的利润计算
案例3彩民获奖的概率问题
案例4人寿保险问题
案例5免费抽奖问题
案例6双色球彩票中奖概率的理论计算与验证
案例7公交大巴车门高度如何设计
案例8怎样由脚印长度估计罪犯身高
案例9生日问题
案例10排队等待问题
案例11传送带效率问题
案例12商品订货
案例13交货时间为随机变量的存贮模型。
案例14轧钢问题续集
案例15销售量为随机的存储模型(报童卖报问题)
案例16到货时间为随机的存储模型(报童卖报问题)
案例17随机性人口模型
案例18捕鱼问题
案例19足球门的危险区域
案例20利用蒙特卡洛方法(随机模拟)计算积分
统计部分
案例21计算常用描述性统计量,绘制常用统计图
案例22卡方分布问题:
案例23工程师的建议是否应采纳
案例24化妆品销售量的预测
案例25假设检验(配对样本的t检验,本题目源于2012年全国大学生数学建模竞赛A题)
案例26气候预测
案例27蠓虫的分类模型
案例1邮局开设多少服务窗口合理
某居民区有n个人,设有一个邮局,开m个服务窗口,每个窗口都在办理所有业务。
m太小则经常排长队。
m太大又不经济。
假定在每一指定时刻,这n个人中每一个是否去邮局是独立的。
每个人在邮局的概率都是p。
现要求“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过s”这个事件的概率不小于(一般取)则至少需开设多少窗口?
利用伯努利分布解决这个问题
设事件
由题设条件知
由于为两两互斥事件。
故
找一个最小的自然数,使上面不等式成立。
此就是问题的答案。
案例2国家邮政局发行贺年(有奖)明信片的利润计算
有一张某年邮政贺年(有奖)明信片的奖号“E03组586897”可知:
编号000001到999999是一组,同一英文字母打头的估计可达99组,而英文字母有26个,最多可有99=2574组。
经摇奖后,每组中奖号码是:
一等奖(3000元)768691929617009949
二等奖(1000元)3379378768
三等奖(300元)61222258
四等奖(50元)127
五等奖(4元)46
纪念奖(0.5元邮票)7
有奖明信片每张售价0.5元,普通明信片售价0.25元(算作有奖明信片的成本)。
下面计算国家邮政局在这个项目上将获利多少。
设随机变量为每张明信片可能获得的奖金额,则其分布律为(n=999999)
0.5
4
50
300
1000
3000
P
于是每张明信片的期望奖金为
邮政局从每张明信片上平均能赚:
0.5-0.299-0.25=0.021(元)
在整个项目上将能获利:
0.021(万元)
案例3彩民获奖的概率问题
近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:
先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
表一
中奖
等级
10选6+1(6+1/10)
基本号码特别号码
说明
一等奖
abcdefg
选7中(6+1)
二等奖
abcdef
选7中(6)
三等奖
abcdeXXbcdef
选7中(5)
四等奖
abcdXXXbcdeXXXcdef
选7中(4)
五等奖
abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef
选7中(3)
六等奖
abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef
选7中
(2)
“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
表二
中奖
等级
33选7(7/33)
36选6+1(6+1/36)
基本号码特别号码
说明
基本号码特别号码
说明
一等奖
●●●●●●●
选7中(7)
●●●●●●★
选7中(6+1)
二等奖
●●●●●●○★
选7中(6+1)
●●●●●●
选7中(6)
三等奖
●●●●●●○
选7中(6)
●●●●●○★
选7中(5+1)
四等奖
●●●●●○○★
选7中(5+1)
●●●●●○
选7中(5)
五等奖
●●●●●○○
选7中(5)
●●●●○○★
选7中(4+1)
六等奖
●●●●○○○★
选7中(4+1)
●●●●○○
选7中(4)
七等奖
●●●●○○○
选7中(4)
●●●○○○★
选7中(3+1)
注:
●为选中的基本号码;★为选中的特别号码;○为未选中的号码。
参考答案:
彩票方案可将其分为四类,:
10选6+1(6+1/10)型、:
选型、:
选型和:
选无特别号型,分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式:
----彩民中第等奖的概率,;
:
10选6+1(6+1/10)型
,,
:
选型
,,,,
,,。
:
选型
,,,,
,,。
:
选无特别号型
,,,,。
各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如下表:
方案
6+1/10
2×10-7
8×10-7
1.8×10-5
2.61×10-4
3.42×10-3
4.1995×10-2
-----
0.045695
7/29
6.40705×10-7
4.48494×10-6
9.4184×10-5
2.8255×10-4
2.8255×10-3
4.7092×10-3
0.029825
0.037742
6+1/29
6.40705×10-7
1.4096×10-5
8.4573×10-5
8.8880×10-4
2.2200×10-3
1.4800×10-2
0.019734
0.037742
7/30
4.91207×10-7
3.43845×10-6
7.5646×10-5
2.2694×10-4
2.3828×10-3
3.9714×10-3
0.026476
0.033137
7/31
3.80290×10-7
2.66203×10-6
6.1227×10-5
1.8368×10-4
2.0205×10-3
3.3675×10-3
0.023572
0.029208
7/32
2.97101×10-7
2.07971×10-6
4.09913×10-5
1.4974×10-4
1.722×10-3
2.8700×10-3
0.021047
0.025832
7/33
2.34080×10-7
1.63856×10-6
4.0964×10-5
1.2289×10-4
1.4747×10-3
2.4578×10-3
0.018843
0.022941
7/34
1.85887×10-7
1.30121×10-6
3.3831×10-5
1.0149×10-4
1.2687×10-3
2.1145×10-3
0.016916
0.020436
7/35
1.48709×10-7
1.04097×10-6
2.8106×10-5
8.4318×10-5
1.0961×10-3
1.8269×10-3
0.015224
0.018261
7/36
1.19794×10-7
8.38556×10-7
2.3480×10-5
7.0439×10-5
9.5092×10-4
1.5849×10-3
0.013736
0.016367
6+1/36
1.19794×10-7
3.47402×10-6
2.0844×10-5
2.9182×10-4
7.2954×10-4
6.5659×10-3
0.008755
0.016367
7/37
9.71301×10-8
6.79911×10-7
1.9717×10-5
5.9152×10-5
8.2813×10-4
1.3802×10-3
0.012422
0.014710
6/40
2.6053×10-7
1.5632×10-6
5.1584×10-5
1.2896×10-4
2.0634×10-3
2.7512×10-3
0.028428
0.033425
5/60
1.831×10-7
9.155×10-7
4.9437×10-5
9.8874×10-5
2.6202×10-3
2.6202×10-3
0.045416
0.050806
案例4人寿保险问题
随着中国经济的突飞猛进,快速发展,人们越来越重视自身的健康保护,特别是人寿保险事业,在近十年的时间里从无到有,再到发展成具有现在的众多实力强劲保险公司。
人寿保险已经日益深入人心,购买人寿保险已经是人们自我保护和预防自身突发事件的一种重要的手段。
人们自然会问,自己交很少的钱,而一旦自己发生变故,保险公司会赔付超过自己所交保金百倍的赔偿金,那么保险公司会不会一次而赔本呢?
答案当然是否定的,否则保险公司不都会纷纷倒闭了么。
下面以某人寿保险公司的保费赔偿方式运用概率统计的方法分析。
在2500个同年龄段同社会阶层的人参加某保险公司的人寿保险。
以往的统计资料显示,在一年中,每个人死亡的概率为万分之一(0.0001)。
每个参加保险的人一年付给保险公司120元的保险费,而在死亡时其家属可从保险公司领取2万元。
分析以下几个问题:
保险公司亏本的概率;
保险公司一年获利不少于10万元的概率;
给出保险公司亏本的可能性分析。
参考解答:
设随机变量表示第个参保人的情况,即,因此服从两点分布,于是一年中死亡人数,又由于很大因此可用近似,若使用中心极限定理又近似有。
(1)
(2)
(3)分析参保人数与保险公司亏本的关系:
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- 概率论 数理统计 案例