模块复习第二章 第6节 对数与对数函数+参考答案文档格式.docx
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④logamMn=
logaM(m,n∈R,且m≠0).
(3)换底公式:
logbN=
(a,b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>
1
0<
a<
图象
性质
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>
1时,y>
0;
当0<
x<
1时,y<
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=
;
(2)logambn=
logab.
其中a>
0,且a≠1,b>
0,且b≠1,m,n∈R.
2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),
,函数图象只在第一、四象限.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)log2x2=2log2x.( )
(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.( )
(3)函数y=ln
与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
(4)当x>
1时,若logax>
logbx,则a<
b.( )
解析
(1)log2x2=2log2|x|,故
(1)错.
(2)形如y=logax(a>0,且a≠1)为对数函数,故
(2)错.
(4)当x>1时,logax>logbx,但a与b的大小不确定,故(4)错.
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.(必修1P73T3改编)已知a=2-
,b=log2
,c=log
,则( )
A.a>
b>
cB.a>
c>
b
C.c>
aD.c>
解析 ∵0<
1,b<
0,c=log
=log23>
1.
∴c>
b.
答案 D
3.(必修1P74A7改编)函数y=
的定义域是________.
解析 由log
(2x-1)≥0,得0<
2x-1≤1.
∴
<
x≤1.
∴函数y=
的定义域是
.
答案
4.(2018·
嘉兴调研)计算log29×
log34+2log510+log50.25=( )
A.0B.2C.4D.6
解析 原式=2log23×
(2log32)+log5(102×
0.25)=4+log525=4+2=6.
5.(2019·
武汉月考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>
0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
1,c>
B.a>
1,0<
c<
C.0<
D.0<
解析 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<
1.又当x=0时,y>
0,即logac>
0,所以0<
6.(2018·
全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.
解析 由f(3)=1得log2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.
答案 -7
考点一 对数的运算
【例1】
(1)计算:
÷
100-
=________.
(2)计算:
解析
(1)原式=(lg2-2-lg52)×
100
=lg
×
10=lg10-2×
10=-2×
10=-20.
(2)原式=
=
=1.
答案
(1)-20
(2)1
规律方法 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab=N⇔b=logaN(a>
0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
【训练1】
(1)若lg2,lg(2x+1),lg(2x+5)成等差数列,则x的值等于( )
A.1B.0或
C.
D.log23
(2)(2019·
成都七中检测)已知a>
1,若logab+logba=
,ab=ba,则a=________,b=________.
解析
(1)由题意知lg2+lg(2x+5)=2lg(2x+1),
∴2(2x+5)=(2x+1)2,(2x)2-9=0,2x=3,x=log23.
(2)设logba=t,则t>
1,因为t+
,
所以t=2,则a=b2.
又ab=ba,所以b2b=bb2,
即2b=b2,又a>
1,解得b=2,a=4.
答案
(1)D
(2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】
(1)(2019·
潍坊一模)若函数f(x)=ax-a-x(a>
0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是( )
(2)当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<
logax恒成立,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(1,2]D.
解析
(1)由f(x)在R上是减函数,知0<
又y=loga(|x|-1)是偶函数,定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
∴当x>
1时,y=loga(x-1)的图象由y=logax的图象向右平移一个单位得到.
因此选项D正确.
(2)由题意,易知a>
在同一坐标系内作出y=(x-1)2,x∈(1,2)及y=logax的图象.
若y=logax过点(2,1),得loga2=1,所以a=2.
根据题意,函数y=logax,x∈(1,2)的图象恒在y=(x-1)2,x∈(1,2)的上方.
结合图象,a的取值范围是(1,2].
答案
(1)D
(2)C
规律方法 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【训练2】
(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>
0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0<
a-1<
b<
1B.0<
b-1<
1D.0<
日照调研)已知函数f(x)=
若方程f(x)-a=0恰有一个实根,则实数a的取值范围是________.
解析
(1)由函数图象可知,f(x)在R上单调递增,又y=2x+b-1在R上单调递增,故a>
1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知-1<
logab<
0,
即logaa-1<
loga1,所以,a-1<
综上有0<
(2)作出函数y=f(x)的图象(如图所示).
方程f(x)-a=0恰有一个实根,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a恰有一个公共点,
故a=0或a≥2,即a的取值范围是{0}∪[2,+∞).
答案
(1)A
(2){0}∪[2,+∞)
考点三 对数函数的性质及应用
多维探究
角度1 对数函数的性质
【例3-1】(2017·
全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析 由题意知,f(x)=lnx+ln(2-x)的定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;
又f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误.
答案 C
角度2 比较大小或解简单的不等式
【例3-2】
(1)(一题多解)(2018·
天津卷)已知a=log2e,b=ln2,c=log
,则a,b,c的大小关系为( )
cB.b>
c
(2)若loga(a2+1)<
loga2a<
0,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.
C.
D.(0,1)∪(1,+∞)
解析
(1)法一 因为a=log2e>
1,b=ln2∈(0,1),c=log
log2e=a>
1,所以c>
法二 log
=log23,如图,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图象,由图知c>
(2)由题意得a>
0且a≠1,故必有a2+1>
2a,
又loga(a2+1)<
1,
同时2a>
1,∴a>
.综上,a∈
角度3 对数型函数性质的综合应用
【例3-3】已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出a的值;
如果不存在,请说明理由.
解
(1)∵a>
0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即x∈[0,2]时,3-ax>
0恒成立.
∴3-2a>
0.∴a<
又a>
0且a≠1,∴a的取值范围是(0,1)∪
(2)t(x)=3-ax,∵a>
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat为增函数,
∴a>
1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f
(1)=loga(3-a),
即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
规律方法 1.确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
3.在解决
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