北京市东城区第一学期高三期末数学文科及解析Word文件下载.docx
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C.
D.3
8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:
焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则的值所在的区间为( )
二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)
9.已知向量=(1,-2),=(2,m),若⊥,则m=______.
10.在△ABC中,已知a=1,,则c=______.
11.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=-1,b1=2,a3+b2=-1,试写出一组满足条件的数列{an}和{bn}的通项公式:
an=______,bn=______.
12.过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线,交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB为等腰直角三角形,则双曲线的离心率e=______.
13.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制散点图,拟合了记忆保持量与时间(天)之间的函数关系:
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论:
①随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低;
②9天后,小菲的单词记忆保持量低于40%;
③26天后,小菲的单词记忆保持量不足20%.
其中正确的结论序号有______.(注:
请写出所有正确结论的序号)
14.已知函数f(x)=x3-4x,g(x)=sinωx(ω>0).若∀x∈[-a,a],都有f(x)g(x)≤0,则a的最大值为______;
此时ω=______.
三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)
15.已知等差数列{an}满足a1=1,a2+a4=10.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列{bn}的前n项和.
16.已知函数.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求证:
对于任意的,都有.
17.某中学有学生500人,学校为了解学生课外阅读时间,从中随机抽取了50名学生,收集了他们2018年10月课外阅读时间(单位:
小时)的数据,并将数据进行整理,分为5组:
[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)试估计该校所有学生中,2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数;
(Ⅱ)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18,20],现从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人,求至少抽到1名女生的概率;
(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数.
18.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,A1B1⊥B1C1,AA1=AB=2,BC=1,E为A1C1中点.
(Ⅰ)求证:
A1B⊥平面AB1C1;
(Ⅱ)求三棱锥B-ECC1的体积;
(Ⅲ)设平面EAB与直线B1C1交于点H,求线段B1H的长.
19.已知函数,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
20.已知椭圆C:
的离心率为,其左焦点为F1(-1,0).直线l:
y=k(x+2)(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B,直线BF1与椭圆C的另一个交点为E.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当时,求△F1AB的面积;
(Ⅲ)证明:
直线AE与x轴垂直.
1.C
解:
∵集合A表示-2到0的所有实数,
集合B表示5个整数的集合,
∴A∩B={-1,0},
故选:
C.
直接利用交集运算得答案.
本题考查了交集及其运算,是基础题.
2.D
∵1+i2=1-1=0,i+i2=i-1,
(1-i)2=1-2i+i2=-2i.
∴为纯虚数的是(1-i)2.
D.
直接利用复数的运算求解即可得答案,
本题考查了复数的基本概念,是基础题.
3.A
角α以Ox为始边,终边在射线y=2x(x≥0)上,在终边上任意取一点(1,2),
则cosα=
=
A.
在终边上任意取一点(1,2),再利用任意角的三角函数的定义,求得cosα的值.
本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
4.B
作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-
x+
平移直线y=-
由图象可知当直线经过点A(2,1)时,
直线y=-
的截距最小,此时z最小,
此时z=2+2×
1=4.
B.
作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.
本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.
5.B
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的p的值,
可得程序框图实质是计算排列数
的值,
当n=5,m=3时,可得:
=60.
模拟执行程序框图,可得程序框图实质是计算排列数
的值,由n=5,m=3即可计算得解.
本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.
6.A
由c>d,则“a>b”⇒“a+c>b+d”,反之不成立.
例如取c=5,d=1,a=2,b=3.满足c>d,“a+c>b+d”,但是a>b不成立.
∴c>d,则“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件.
由c>d,则“a>b”⇒“a+c>b+d”,反之不成立.例如取c=5,d=1,a=2,b=3.
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
7.D
由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC,
其中PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=2,BC=1,
∴PB=
=3,
∴在该三棱锥中,最长的棱长为PB=3.
由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC,其中PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=2,BC=1,由此能求出在该三棱锥中,最长的棱长.
本题考查三棱锥中最长棱长的求法,考查三棱锥性质及其三视图等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想,是基础题.
8.B
lgE=4.8+1.5M,
∴lgE1=4.8+1.5×
8=16.8,lgE2=4.8+1.5×
7.5=16.05,
∴E1=1016.8,E2=1016.05,
∴
=100.75,
∵100.75>90.75=31.5=3×
>5,
的值所在的区间为(5,6),
先把数据代入已知解析式,再利用对数的运算性质即可得出.
本题考查了对数的运用以及运算,熟练掌握对数的运算性质是解题的关键.
9.1
∵
;
∴m=1.
故答案为:
1.
根据
即可得出
进行数量积的坐标运算即可求出m.
考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算.
10.
在△ABC中,已知a=1,
∴sinC=
由正弦定理可得
∴c=
=4
4
.
先根据同角的三角函数的关系求出sinC,再根据正弦定理即可求出.
本题考查了正弦定理和同角的三角函数的关系,考查了运算和求解能力,属于基础题.
11.-n
2
等差数列{an}的公差设为d,
等比数列{bn}的公比设为q,
a1=-1,b1=2,a3+b2=-1,
可得-1+2d+2q=-1,
即为d=-q,
可取d=-1,可得q=1,
则an=-1-(n-1)=-n;
bn=2.
-n,2.
设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得d,q,即可得到所求通项公式,注意答案不唯一.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
12.
过双曲线
的右焦点F作垂直于x轴的直线,交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB为等腰直角三角形,
可得c=
即ac=c2-a2,可得:
e2-e-1=0,e>1,
解得:
e=
利用已知条件列出方程,转化求解即可.
本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
13.①②
可得f(x)随着x的增加而减少,故①正确;
当1<x≤30时,f(x)=
+
x
f(9)=
•9
=0.35,
9天后,小菲的单词记忆保持量低于40%,故②正确;
f(26)=
•26
>
故③错误.
①②.
由分段函数可得函数的单调性,可判断①;
由f(9)的值可判断②;
由f(26)的值可判断③.
本题考查分段函数的图象和性质,主要是单调性和函数的取值范围的求法,考查判断能力和运算能力,属于基础题.
14.4
∵函数f(x)=x3-4x,g(x)=sinωx(ω>0)均为奇函数.
∴只需考虑∀x∈[0,a],都有f(x)g(x)≤0即可.
∵函数f(x)=x3-4x在[0,2]满足f(x)≤0,在[2,+∞)满足f(x)≥0,
∴当且仅当在[0,2]上g(x)≥0,在[2,a]满足g(x)≤0,
a才能取到最大值,(如图).
此时
a=4.
4,
函数f(x)=x3-4x,g(x)=sinωx(ω>0)均为奇函数.只需考虑∀x∈[0,a],都有f(x)g(x)≤0即可.
结合图象可得当且仅当在[0,2]上g(x)≥0,在[2,a]满足g(x)≤0,a才能取到最大值.
本题考查了函数的对称性应用,数形结合法,属于中档题.
15.(共13分)解:
(I)设{an}的公差为d,
因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5.
所以a3-a1=2d=5-1=4.
解得d=2.
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×
2=2n-1.……………………………..(7分)
(Ⅱ)由(I)知,,
所以{bn}的前n项和为
=.……………………..(13分)
(Ⅰ)利用等差数列,求出数列的公差,然后求解{an}的通项公式;
(Ⅱ)通过
利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{bn}的前n项和.
本题考查等差数列以及等比数列的求和,考查计算能力.
16.解:
(Ⅰ)===,
所以,f(x
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