吉林省长春市普通高中届高三质量检测三数学理试题解析版Word格式.docx
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6.已知
、
是两个单位向量,且夹角为
,则(
-2
)•(-2
+
)=( )
7.若8件产品中包含6件一等品,在其中任取2件,则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为( )
8.已知m,n为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,一定能推出α∥β的是( )
,
C.
9.“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年,某企业连续12年累计研发投入达4100亿元,我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比.这12年间的研发投入(单位:
十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示.
根据折线图和条形图,下列结论错误的是( )
年研发投入占营收比增量相比
年增量大
B.该企业连续
12
年研发投入逐年增加
年研发投入增值最大
D.该企业连续
年研发投入占营收比逐年增加
10.函数f(x)=
的部分图象大致是( )
11.已知O为坐标原点,抛物线C:
y2=8x上一点A到焦点F的距离为6,若点P为抛物线C准线上的动点,则|OP|+|AP|的最小值为( )
A.4B.
12.已如函数f(x)=
,若x1≠x2,且f(x1)+f(x2)=2,则x1+x2的取值范围是( )
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知函数
的最小正周期为π,则ω=______,若
,则sin2α=______.
14.已知矩形ABCD,AB=12,BC=5,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为______.
15.
我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述:
“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:
①四个侧面都是直角三角形;
②最长的侧棱长为
;
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;
④外接球的表面积为24π.
其中正确的描述为______.
16.已知数列{an}中,a1=2,
,则
=______.
三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)
17.在△ABC中,AB=6,
.
(1)若
,求△ABC的面积;
(2)若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,求BC的长.
18.某工厂有两个车间生产同一种产品,第一车间有工人200人,第二车间有工人400人,为比较两个车间工人的生产效率,采用分层抽样的方法抽取工人,并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位:
min)分别进行统计,得到下列统计图表(按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分组).
分组
频数
[55,65)
2
[65,75)
4
[75,85)
10
[85,95]
合计
20
第一车间样本频数分布表
(Ⅰ)分别估计两个车间工人中,生产一件产品时间小于75min的人数;
(Ⅱ)分别估计两车间工人生产时间的平均值,并推测哪个车间工人的生产效率更高?
(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(Ⅲ)从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中,随机抽取3人,记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
19.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点,AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).
(1)证明:
平面POB⊥平面ABCE;
(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为
,求二面角A-PE-C的余弦值.
20.
如图所示,椭圆
离心率为
,B1、B2是椭圆C的短轴端点,且B1到焦点的距离为
,点M在椭圆C上运动,且点M不与B1、B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.
21.已知a∈R,函数
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x=2是f(x)的极值点,且曲线y=f(x)在两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))(x1<x2<6)处的切线互相平行,这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2,求b1-b2的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l1的倾斜角为30°
,且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l2:
ρcosθ=3,从原点O作射线交l2于点M,点N为射线OM上的点,满足|OM|•|ON|=12,记点N的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l1与曲线C交于P,Q两点,求|AP|•|AQ|的值.
23.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤4的解集;
(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m,当a,b,c∈R+,且a+b+c=m时,求
的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解:
sin210°
=sin(180°
+30°
)=-sin30°
=-
故选:
B.
所求式子中的角度变形后,利用诱导公式化简即可求出值.
此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
2.【答案】A
由B中不等式解得:
-1<x<2,即B={x|-1<x<2},
∵A={-1,0,1,2},
∴A∩B={0,1},
A.
求出集合B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3.【答案】A
∵
=
的实部与虚部相等,
∴a+1=1-a,即a=0.
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部与虚部相等列式求得a值.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
4.【答案】B
由已知中N=4,
第一次进入循环时,p=1,此时k=1不满足退出循环的条件,则k=2
第二次进入循环时,p=2,此时k=2不满足退出循环的条件,则k=3
第三次进入循环时,p=6,此时k=3不满足退出循环的条件,则k=4
第四次进入循环时,p=24,此时k=4满足退出循环的条件,
故输出的p值是24
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是利用循环计算p值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案.
本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法,属于基础题.
5.【答案】C
数列{an}是等差数列,a2=4=a1+d,a4=2=a1+3d,所以a1=5,d=-1,则S6=6a1+
=15.
C.
根据等差数列的性质,根据a2=4,a4=2,求出a1,d,代入等差数列的前n项和公式即可.
本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式,属于基础题.
6.【答案】A
)=
=-4+5×
利用平面向量的数量积的运算法则求解即可.
本题主要考查平面向量.向量的数量积的应用,是基本知识的考查.
7.【答案】C
假设第一次取出的不是一等品,则第二次是从7产品包含6件一等品中取一件,是一等品的概率为
在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下,另一件是从7件产品中取一件一等品.
本题考查了条件概率与独立事件,属中档题.
8.【答案】B
对于A,若α∩β=l,m∥l,n∥l,显然条件成立,但α,β不平行,故A错误;
对于B,由m∥n,m⊥α可得n⊥α,又n⊥β,故α∥β,故B正确;
对于C,若m⊥n,m∥α,n∥β,则α,β可能平行,可能相交,故C错误;
对于D,m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β,故D错误.
根据空间线面位置关系的定义,性质判断或举反例说明.
本题主要考查空间直线与平面位置关系,属于基础题.
9.【答案】D
从研发投入占营收比(图中的红色折线)07~09年有所下降,并非连续
年研发投入占营收比逐年增加,故D错.
D.
根据图形给出的信息,分析判断即可.
本题考查识图能力.属基础题.
10.【答案】B
∵函数f(x)的定义域为(-∞,-
)∪(-
)∪(
,+∞)
f(-x)=
=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,
令f(x)=0,即
=0,解得x=0,
∴函数f(x)只有一个零点,故排除D,
当x=1时,f
(1)=
<0,故排除C,
综上所述,只有B符合,
先判断函数的奇偶性,再根据函数值的变化趋势即可求出.
本题考查了函数图象的识别,掌握函数的奇偶性,以及函数值的变化趋势是关键,属于中档题
11.【答案】C
抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,
∵|AF|=4,
∴A到准线的距离为6,即A点的横坐标为4,
∵点A在抛物线上,
∴A的坐标A(4,4
)
∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B(-4,0),
∴|PO|=|PB|,
∴|PA|+|PO|的最小值:
|AB|=
=4
由已知条件,结合抛物线性质求出A点坐标,求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B,由|PO|=|PB,|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|,由此能求出结果.
本题主要考查抛物线的相关知识.两条线段之和的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.
12.【答案】C
根据题意,画出分段函数f(x)图象如下:
由两个函数图象及题意,可知:
x1,x2不可能同时>1.
因为当x1和x2都>1时,f(x1)+f(x2)>2,不满足题意,
∴x1,x2不可能同时>1.
而x1≠x2,
∴x1<1<x2,
∴f(x1)+f(x2)=
∵f(x1)+f
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