判断两个增函数减函数图象的公共点个数时要慎重高考数学考点分类解析Word文档下载推荐.docx
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时,减函数
与增函数
的图象有唯一公共点;
与减函数
的图象有公共点,但公共点不一定唯一.所以,认为函数
的图象公共点个数为2,理由不充足.由几何画板可以研究这个问题:
时,又
且
的图象有三个公共点(图3是
的情形):
图3(请重新绘制实线函数图象,上方不是水平的)
解决题1、题2是有难度的,先要给出下面的定理1(其证明见文献[3]):
定理1指数函数
与其反函数
图象公共点个数的情形是:
(1)当
时是3个公共点;
(2)当
时是1个公共点;
(3)当
时是2个公共点;
(4)当
(5)当
时没有公共点.
由定理1,容易得到:
定理2方程
的实根个数的情形是:
时是4个解;
时是2个解;
时是3个解;
时是1个解.
题3(2013年高考天津卷理科第7题)函数
的零点个数为()
A.1B.2C.3D.4
笔者认为解答这道高考题也是不容易的(而笔者见到的解答都是由图1来求解的,而这是不对的).
文献[4],[5]也提出了“判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重”的问题:
题4(苏州市2009—2010学年度高一(必修1+必修4)上学期期末统考测试题第11题)若方程
恰有三个不相等的实数根,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
参考答案是D,文献[4],[5]均论述了这是不对的.
有以下结论成立:
结论1增函数
的图象公共点个数只能是0或1(因为两者公共点的个数即方程
解的个数,而
是增函数).
结论2增函数
的图象公共点个数可以是任意自然数,并且也可以是无数个(比如两个增函数
的图象公共点个数即方程
解的个数,是无数个).
结论3减函数
的图象公共点个数可以是任意自然数,并且也可以是无数个(由结论2可得).
所以判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重.
题5(2015年高考广东卷文科第21题)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a≥2时,讨论f(x)+
在区间(0,+∞)内的零点个数.
参考答案
(1)f(0)≤1即
,由分类讨论可得答案为
.
(2)用导数可求得答案为:
函数f(x)在
上分别是减函数、增函数.
(3)①当
时,
,可求得f(x)+
在区间(0,+∞)内的零点个数是1(且零点是2).
②当
时.
由
(2)得,函数f(x)在
上分别是减函数、增函数,所以
.而
是增函数,当
又
,所以
再结合图4可得:
时,曲线
有两个公共点,即此时所求零点的个数为2.
图4(请添上坐标原点O,铅垂线是x=a,去掉铅垂线的上端点,x轴的负半轴也要画出来)
综上所述可得:
时,所求零点的个数为1;
时,所求零点的个数为2.
笔者对题5第(3)问的参考答案的质疑及纠正当
1)又当
及
均是减函数,所以函数
也是减函数.
,所以当
时,函数f(x)+
在区间(0,+∞)内的零点个数是1.
2)又当
均是增函数,所以由结论2知,此时函数f(x)+
在区间(0,+∞)内的零点个数尚不能确定.而参考答案说,由图4知此时的零点个数是1,其理由是不充足的.其严谨的解答如下:
时,可得函数f(x)+
在区间(0,+∞)内的零点个数即关于x的方程
解的个数.
由导数易证
是增函数,所以
也是增函数.还可证得
(因为
),
,所以此时函数f(x)+
参考文献
1王朝银.步步高·
寒假作业·
数学·
高一[Z].哈尔滨:
黑龙江教育出版社,2011
2张芳.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学(高中),2007(12):
41
3甘志国.初等数学研究(I)[M].哈尔滨:
哈尔滨工业大学出版社,2008.248-256
4甘志国.这道经典题目的结论和解答都是错误的[J].数学教学2010(7):
23-24,封底
5甘志国.甘志国谈高中数学解题技巧[M].哈尔滨:
哈尔滨工业大学出版社,2013
用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题
高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<
1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<
0,则a的取值范围是( )
解法1(数形结合法)D.令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)>
0得x>
-
,由g′(x)<
0得x<
,所以函数g(x)在
上分别是减函数、增函数.
又函数g(x)在x<
时g(x)<
0,在x>
时g(x)>
0,所以其大致图象如图1所示.
直线y=ax-a过点(1,0).
若a≤0,则f(x)<
0的整数解有无穷多个,因此只能a>
0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<
0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,得x0只能是0,所以实数a应满足
即
解得
≤a<
1.
即实数a的取值范围是
解法2(分离常数法)D.令
后,得题设即关于t的不等式
有唯一的整数解.
若
,由a<
1,可得
所以题设即关于t的不等式
有唯一的整数解,也即关于t的不等式
设
,得
,所以函数
在
上是增函数,得最大值为
,由此可作出函数
的图象如图2所示:
注意到图象
过点
,所以由图2可得:
时,满足
的整数t有
,所以此时不满足题意.
的整数t只有
,所以此时满足题意.
得所求a的取值范围是
解法3(排除法)D.当
时,不等式f(x)<
0即ex(2x-1)<
0也即
,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.
令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
又g′(0)=1,所以可得曲线
在点
处的切线为
,如图3所示.
图3
所以当a<
1且
时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.
所以选D.
注小题不大做,还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.
例谈用验证法解题
——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解
题1解方程:
(1)
;
(2)
(3)
解
(1)容易观察出
均是该方程的解.
按常规方法解此方程时,先去分母得到一元二次方程,该一元二次方程最多两个解,再检验(舍去使原方程中分母为零的解),所以原方程最多有两个解.
而已经找到了原方程的两个解
,所以这两个解就是原方程的所有解.
(2)同理,可得原方程的所有解是
(3)容易观察出
同上得原方程最多有两个解,而已经找到了原方程的两个解
(因为对于任意的非零实数
,
和
都是原方程的解,所以应当把
理解成原方程的两个解),所以这两个解就是原方程的所有解.
题2解方程
解设函数
,易知它是增函数,所以方程
至多有一个根(当2在函数
的值域中时有一个根,否则没有根),……所以原方程的根是
题3已知
,求
解由
及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解:
或
该方程组即
因为关于
的一元二次方程
最多有两个解,所以该方程组也最多有两组解,……所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解,……
题4
(2007年高考陕西卷理科第22
(1)题)已知各项全不为零的数列
的前
项和为
,且
N*),其中
,求数列
的通项公式.
解由题设得
确定时,
也唯一确定.所以由
知,数列
是唯一确定的.
可以观察出
满足题设的所有条件,所以数列
是满足题设的唯一数列,得
另解
因为
①
由题设得
,再由①知
是唯一确定的数列
.再同上得
题5
(2005年高考江苏卷第23
(1)
(2)题)设数列
,已知
为常数.
(1)求
的值;
(2)证明数列
为等差数列;
解
(1)
(2)
N*),
②
所以
是唯一确定的数列,
也是唯一确定的数列.
又由
知,若
为等差数列,则
,于是
容易验证
满足②,所以题中的
为等差数.
题6
已知数列
满足
解首先,由首项
及递推关系
知,满足题意的数列
是唯一确定的.所以,若能找到一个数列满足该题目的所有条件,则该数列的通项公式就是所求的答案.
易得
,即
(k是常数)满足递推关系
,再由
满足题目的所有条件,所以本题的答案就是
题7
解易知本题的答案是是唯一确定的,所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.
是非零常数),即
满足递推关系
注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的,所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式,则该通项公式就是所求的唯一答案.
对于要求解的问题
,若能证明它最多有
是确定的正整数)个解,又找出了它的
个解
,则这
个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题:
题8(2010·
安徽·
理·
20)设数列
中的每一项都不为0.证明
为等差数列的充分必要条件是:
对任何
N*,都有
证明先证必要性.若数列
是公差
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