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0.10
0.050
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
【解析】解:
(Ⅰ)依题意,所求平均数为,
方差为.
(Ⅱ)由题意完善列联表如下:
14
20
24
36
,
没有的把握认为评分的高低与性别有关.
例2.某校举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为进行统计,按照,,,,,,,,,的分组作出频率分布直方图,已知得分在,,,的频数分别为16,4.
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;
(Ⅱ)估计本次竞赛学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(Ⅲ)在选取的样本中,若男生和女生人数相同,我们规定成绩在70分以上称为“优秀”,70分以下称为“不优秀”,其中男女生中成绩优秀的分别有24人和30人,请完成列联表,并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”?
男生
女生
总计
优秀
不优秀
0.05
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
附:
,其中.
(Ⅰ)由题意可知,样本容量,,.
(Ⅱ)设本次竞赛学生成绩的平均数为,
则.
(Ⅲ)100位学生中男女生各有50名,成绩优秀共有54名,所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表:
54
26
46
50
100
没有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.
例3.某健身馆为了宣传健身效果,吸引顾客,特别请专业的评估机构对他们500名学员的锻炼成果进行评估打分(满分100分),并且认为评分不低于80分的参与者为健身达人,得到如表:
健身达人
非健身达人
男
200
250
女
150
300
500
(Ⅰ)判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为健身达人与性别有关系?
(Ⅱ)若500名学员中40岁以上的有100人,30岁到40岁的有300人,30岁以下的100人,先从中分层抽取5人进行抽奖活动,再从这5人中抽取两位对其进行全年免单活动,求两人全年免单都在30岁到40岁之间的概率是多少?
(Ⅰ)因为,
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为健身达人与性别有关系.
(Ⅱ)根据分层抽样可知在40岁以上的学员中应抽取1人,记为;
在30岁到40岁的学员中应抽取3人,记为,,;
在30岁以下的学员中应抽取1人,记为,
则从这5人中抽取2人,所有可能情况如下:
,,,,,,,,,,
共10种情况,
2人都在30岁到40岁之间的有,,共3种情况,
所以两人全年免单都在30岁到40岁之间的概率.
例4.某公司为了推广某项技术,对旗下200名员工的年龄和人数进行了统计,统计其对这项技术的接受程度,从而为后期宣传工作做准备,并绘制了如下频率分布直方图.
(Ⅰ)根据如图求样本年龄的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(保留两位小数);
(Ⅱ)若将样本分为两个年龄段,年龄在区间,和,分别称为“青少年”和“中老年”,根据相关条件完成下表,并判断是否有的把握认为对新技术接受程度与年龄段有关?
青少年
中老年
接受
90
不接受
110
(Ⅰ)根据频率分布直方图可知样本年龄的平均数
.
设样本年龄的中位数为,由题知组距为10,
,的频率为,
,的频率为,所以中位数在区间,内,
所以,
即,
所以样本年龄的平均数为44.50,中位数为38.67.
(Ⅱ)由题意知,样本中的“青少年”共有(人,
则“中老年”共有(人.
根据频率分布直方图完成列联表如下:
70
40
140
则:
所以有的把握认为对新技术接受程度与年龄段有关.
例5.“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
积极型
懈怠型
总计
男
女
1
2
3
6
8
0
10
6
(Ⅰ)若采用样本估计总体的方式,试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(Ⅱ)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
(Ⅰ)由题意知,40人中该日走路步数超过5000步的有35人,频率为,
所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为;
(Ⅱ)由表中数据,填写列联表如下;
积极型
懈怠型
6
8
12
22
18
计算观测值,
所以没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
例6.为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:
表1:
男生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟)
人数
5
25
15
表2:
女生上网时间与频数分布表
(Ⅰ)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;
(Ⅱ)完成表3的列联表(此表应画在答题卷上),并回答能否有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”?
(Ⅲ)从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,再从中任取两人,求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.
表
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
60
,其中
0.50
0.40
0.25
0.455
0.708
1.323
3.84
10.83
(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数,
依据题意有,解得:
所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人;
(4分)
(2)根据题目所给数据得到如下列联表:
130
其中,
因此,没有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”;
(8分)
(3)因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为,
所以5人中上网时间少于60分钟的有3人,记为、、,
上网时间不少于60分钟的有2人,记为、,
从中任取两人的所有基本事件为:
、、、、、、、、、共10种,
其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种,
故所求的概率为.(12分)
例7.某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型,为了解该疾病类型与性别的关系,在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查,其中男性人数为,女性人数为,男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的,女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的.
Ⅰ型病
Ⅱ型病
(1)完成联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,求男性患者至少有多少人?
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物,两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,根据以往试验统计,甲团队平均花费为;
乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,每个周期必须完成3次接种,若一个周期内至少出现2次抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.
若,从两个团队试验的平均花费考虑,该公司应选择哪个团队进行药品研发?
0.01
(1)根据题意填写列联表如下;
若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,
则,
解得,
由,且,所以的最小值为12,即男性患者至少有12人;
(2)设甲研发试验品花费为,则;
设乙研发试验品花费为,则的可能取值为、,
所以;
因为,所以;
①当时,,因为,所以,所以,乙团队试验的平均花费较少,所以选择乙团队进行研发;
②当时,,因为,所以,所以,甲团队试验的平均花费较少,所以选择甲团队
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- 独立性 检验 解析