秋九年级数学上册第4章相似三角形专题训练相似三角形的五种基本模型新版浙教版Word下载.docx
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图9-ZT-4
4.如图9-ZT-4,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,M是边BC上一点,BM=3,N是线段MC上的一个动点,连结DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是________.
5.2017·
株洲如图9-ZT-5所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连结CF.
求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)△ABG∽△CFG.
图9-ZT-5
► 模型三 旋转型
6.如图9-ZT-6,已知==,求证:
△ABD∽△ACE.
图9-ZT-6
7.如图9-ZT-7,在△ABC和△AED中,AB·
AD=AC·
AE,∠CAE=∠BAD,S△ADE=4S△ABC.求证:
DE=2CB.
图9-ZT-7
► 模型四 垂直型
图9-ZT-8
8.如图9-ZT-8,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P从点A出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
图9-ZT-9
► 模型五 一线三等角型
图9-ZT-10
9.如图9-ZT-10,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°
,OB=2OA,点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上,则k的值为( )
A.-4B.4C.-2D.2
10.
(1)尝试:
如图9-ZT-11①,已知A,E,B三点在同一条直线上,且∠A=∠B=∠DEC=90°
.求证:
△ADE∽△BEC;
(2)一位同学在尝试了上题后还发现:
如图9-ZT-11②③,只要A,E,B三点在同一条直线上,且∠A=∠B=∠DEC,则
(1)中结论总成立.你同意吗?
请选择其中之一说明理由.
图9-ZT-11
11.如图9-ZT-12,等边三角形ABC的边长为6,D是BC边上的动点,∠EDF=60°
.
(1)求证:
△BDE∽△CFD;
(2)当BD=1,FC=3时,求BE的长.
图9-ZT-12
详解详析
1.解:
(1)∵DE∥BC,
∴△AED∽△ACB,∴==.
(2)∵=,BD=10,∴=,
∴AD=5,∴=.
2.解:
在Rt△ABC中,AB==5(cm),由题意知AP=(5-t)cm,AQ=2tcm.
当PQ∥BC时,△AQP∽△ACB,∴=,∴=,解得t=,<2,符合题意;
当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB,∴=,∴=,解得t=,<2,符合题意.
综上所述,当t=或时,以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
3.C [解析]∵AB,CD,EF都与BD垂直,∴AB∥EF∥CD,∴△ABE∽△DCE,∴==,同理△BEF∽△BCD,∴===.∴EF=CD=.故选C.
4.或 [解析]如图,作EF⊥BC于点F,DN′⊥BC于点N′且交EM于点O′,此时∠MN′O′=90°
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC=10.
∵DN′∥EF,∴四边形DEFN′是平行四边形.∵∠EFN′=90°
,∴四边形DEFN′是矩形,
∴EF=DN′,DE=FN′=10.
∵AB=AC,∠A=90°
,∴∠B=∠C=45°
,
∴BN′=DN′=EF=FC=5,MN′=5-3=2,
而=,∴=,∴DO′=;
当∠MON=90°
时,则△DOE∽△EFM,
∴=.
∵EM==13,∴DO=.
故答案为或.
5.证明:
(1)由正方形ABCD和等腰直角三角形DEF,得∠ADC=∠EDF=90°
,AD=CD,DE=DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF.
(2)如图,延长BA到点M,交DE于点M,
∵△ADE≌△CDF,
∴∠EAD=∠FCD,
即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.
∵∠MAD=∠BCD=90°
∴∠EAM=∠BCF.
∵∠EAM=∠BAG,
∴∠BAG=∠BCF.
又∵∠AGB=∠CGF,
∴△ABG∽△CFG.
6.证明:
∵==,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE.
∵=,∴=,
∴△ABD∽△ACE.
7.证明:
∵AB·
AE,∴=.
又∵∠CAE=∠BAD,
∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC,
即∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB.
又∵S△ADE=4S△ABC,
∴=4,
∴==4,∴=2,
∴DE=2CB.
8.D [解析]整个运动过程分成两段:
①当点P在AB上运动时,即0≤x≤3,随着x的增加y值不变,y=4;
②如图,当点P在BC上运动时,3<x≤5,
∵∠BAP+∠DAP=90°
∠BAP+∠APB=90°
∴∠DAP=∠APB.
又∵∠AED=∠ABP=90°
∴△ADE∽△PAB,
∴=,
即=,
∴y=.
故选D.
9.A [解析]如图,过点A,B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D.
设点A的坐标是(m,n),则AC=n,OC=m.
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°
∵∠DBO+∠BOD=90°
∴∠DBO=∠AOC.
又∵∠BDO=∠ACO=90°
∴△BDO∽△OCA,
∴==.
∵OB=2OA,
∴BD=2m,OD=2n.
∵点A在反比例函数y=的图象上,
∴mn=1.
∵点B在反比例函数y=的图象上,点B的坐标是(-2n,2m),
∴k=-2n·
2m=-4mn=-4.
故选A.
10.解:
(1)证明:
∵∠A=∠B=∠DEC=90°
,∴∠DEA+∠CEB=90°
∵∠DEA+∠D=90°
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC.
(2)同意,以题图②为例说明:
∵∠A=∠DEC,∠A+∠D=∠DEC+∠CEB,∴∠D=∠CEB.
又∵∠A=∠B,
11.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°
∴∠EDB+∠BED=120°
∵∠EDF=60°
∴∠CDF+∠EDB=120°
∴∠BED=∠CDF,
∴△BDE∽△CFD.
(2)∵△BDE∽△CFD,
即=,解得BE=.
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