平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1复习课程Word下载.docx
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关于原点对称的两个点,x、y都相反;
于x轴平行的直线,y相同,x不同,可表示为y=b;
于y轴平行的直线,x相同,y不同;
可表示为x=a;
坐标系中求线段长的方法:
如果两个点的连线平行于x轴或y轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;
如果不平行,则运用两点之间的距离公式:
L=;
5、牢记中点坐标公式:
6、平面直角坐标系中坐标的处理原则:
A、过点做平行于x轴、y轴的垂线;
B、坐标转线段长,线段长转坐标;
4)点的存在性问题:
3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标:
;
4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标:
.
精讲精练
1.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A(-1,0),B(0,4),顶点C,D在第二象限内,则C,D两点的坐标分别是_______,_______.
(分别过C、D两点构造双垂直模型,正方形四边均相等,因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。
)
在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(-2,-3),B(5,-2),C(2,4),D(-2,2),求四边形ABCD的周长和面积.
(构造直角三角形,将坐标转化为线段长,利用勾股定理求出各边长即可;
将此四边形补成正方形,通过“补形以做差”,利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。
9.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.
(1)求△ABC的面积.
(2)如果在第二象限内有一点P(m,),是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
总结提升:
1、此题需将坐标转化为线段长,方法是:
2、平面直角坐标系中,我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。
比如此题就可以OA为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。
18.如图,在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2),取线段AB的中点M,分别作A,B到x轴的垂线段AE,BF,取EF的中点N,则MN是梯形AEFB的中位线,故MN⊥x轴,利用梯形中位线的知识,我们可以得到点M的坐标是____________(用x1,y1,x2,y2表示).
(牢记中点坐标公式)
已知点M(-4,2),将坐标系向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,则点M在新坐标系内的坐标为______.
(总结提升:
牢记点的平移和坐标系的平移不同;
坐标系的平移相当于把点向反方向平移;
34.如图,35.将△ABC绕点C(0,36.-1)旋转180°
得到△A′B′C,37.设点A的坐标38.为(a,39.b),40.则点A′的坐标41.为()
A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)
由于旋转180°
,根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,且又在一条直线上,所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。
42.如图,已知A(,0),B(0,2),把△AOB绕点A顺时针旋转60°
后得到△AO′B′,则点B′的坐标是()
A.(4,)B.(,4)
C.(,3)D.(,)
首先把坐标转化为线段长,可以得出三角形AOB是一个含有30°
角的直角三角形,又由于旋转角是60°
,所以AB′垂直于横轴,再把线段长转化为坐标即可。
50.如图,在平面直角坐标系中,已知A(4,1),B(0,3),请在x轴上找一点P,使得点P到点A,B两点距离之和最小,则点P的坐标是_________.
这是一个典型的奶站问题,做点B关于横轴的对称点,连接此对称点和A点,于横轴的交点就是所求的点。
求出直线的表达式,然后求出和横轴的交点即可。
62.如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,其中A(2,0),B(2,2),连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A′的位置上,则点A′的坐标为________.
欲求点A′的坐标,我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点;
根据折叠的轴对称性质,折叠是一种全等变换,则∠BOA=∠BOA′=60°
,则∠A′OG也=60°
,则我们构造的小直角三角形是一个含有30°
角的直角三角形,根据三边关系比,可求出相应线段的长,然后转化为点的坐标即可。
74.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,A点坐标为(0,2),E是线段BC上一点,且∠AEB=60°
,沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________.
此题道理同上,我们过F点做横轴的平行线,与BC相交与点H;
根据折叠的轴对称性质,∠BEA=∠AEF=60°
,则角FEH=60°
,我们构造的是一个含有30°
角的直角三角形,根据其三边关系比,分别求出三边的长度,然后用2-BH即是F的纵坐标,2-HF的相反数就是F的横坐标。
86.已知A(-2,0),B(3,0),C(0,-1),以A,B,C三点为顶点作平行四边形,则第四个顶点的坐标为:
_____________________.
1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。
常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线,以便不重不漏,由于在平面直角坐标系中,我们选择横轴或纵轴上的线段,以方便计算;
2、若以AB为边,根据平行四边形的对边平行且相等,我们过点C做AB的平行线,则有两种情况,分别过两个D点做此平行线的垂线,则可以构造两个小直角三角形,与相应的三角形对应全等,借助于其三边的关系即可求出点D的坐标;
3、若以AB为对角线,根据平行四边形的对边平行且相等,分别做两边的平行线相交与D点即可,然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。
97.如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P坐标为:
这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。
我们常用的处理模式是:
“一条线,两个圆”,也就是先做定线段OA的垂直平分线,与纵轴的交点即是其中的一个点,然后分别以两个定点为圆心,定长线段为半径画圆,与纵轴的交点即是其他的点。
当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。
)
如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(6,0),C(0,2),点M是OA的中点,点P在线段BC上运动,当△OMP是腰长为3的等腰三角形时,则P点的坐标为:
1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型,我们先判断谁是定点,谁是动点,然后按照“一条线、两个圆”的模型解题;
2、由于此题的特殊性,一条线不再使用,我们只考虑分别以两个定点为圆心,定长线段为半径做圆,然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线,构造直角三角形,运用勾股定理解题即可。
总共三个点。
113.如图,方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置分别用(2,2),(4,3)来表示,请在小方格的顶点上确定一点C,连接AB,AC,BC,使△ABC的面积为2个平方单位,则点C的位置有__个.
1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置;
2、由于A、B两点是定点,而C是动点,我们先随意确定一个C点的位置,使得由此构成的三角形的面积是2;
3、根据平行线间的距离处处相等,为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线,这条平行线上的格点即是我们所求的点;
4、同时在线段AB的另一侧,也一定存在着另一条等距离的平行线,我们再看看有几个格点,两项相加,即是全部的点。
三、回顾与思考
【参考答案】
一、知识点睛
1.①坐标转线段长,线段长转坐标;
②过点作横平竖直的线.
2.①平移线段②一线两圆
二、精讲精练
1.(-4,5),(-5,1)
2.,
3.
(1)6;
(2)存在,(-3,)
4.
5.(-1,5)
6.D
7.B
8.(3,0)
9.(-1,)
10.(-1,)
11.(1,1),(5,-1),(-5,-1)
12.(0,),(0,-2),(0,-),(0,-4)
13.(,2),(3-,2),(3+,2)
14.7
坐标的应用(随堂测试)
1.如图,平面直角坐标系中有一矩形OABC,其中A(4,0),C(0,4),若将△AOB沿OB所在直线翻折,点A落在点D处,则D点的坐标是________.
2.如图,在平面直角坐标系中,其中A(2,0),∠ABO=30°
,在y轴上取一点P,使△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P坐标为_______________.
1.(,6)
2.(0,),(0,),(0,),(0,)
坐标的应用(作业)
4.在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为(2,3),(5,-2),(-2,0),求△ABC的周长和面积.
(分割以求和,补形以作差)
10.如图,已知A(0,4),B(2,0),把线段AB绕点A逆时针旋转90°
,点B落在点B′处,则点B′的坐标是()
A.(6,4)B.(4,6)C.(6,5)D.(5,6)
(构造双垂直模型解题即可)
15.如图,图形关于点D(0,-2)成中心对称,若点A的坐标是(2,3),则点M的坐标为.
(运用中点坐标公式解题即可)
22.在平面直角坐标系中,点C坐标为(0,),点E坐标为(1,0),将△COE沿直线CE折叠,点O落在点D处,则点D的坐为.
(过点D做横轴的垂线,构造含30°
角的直角三角形,利用其三边关系比解题即可)
30.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),
(0,-3),(-2,-1),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个点的坐标为:
_____________.
(按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题即可)
36.如图,在平面直角坐标系中,已知点P(2,1),点T是x轴上的一个动点,当△PTO是等腰三角形时,点T的坐标为:
(根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可)
41.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(5,4),点P为线段BC上动点,当△POA为等腰三角形时,点P的坐标为:
47.把△ABC放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,则
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