届全国高中高考复习阶段滚动检测四 数学文 检测范围第一单元至第十三单元Word文件下载.docx
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选B 因为“∃x0∈[-1,m](m>
0”是假命题,
所以“∀x∈[-1,m](m>
-1),|x|-1≤0”是真命题,
所以|m|-1≤0且m>
-1,所以-1<
m≤1.
3.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为( )
A.-7B.-3
C.2D.3
选D 依题意得a·
b=2×
1×
cos=-1,
由(a+λb)·
(2a-b)=0,得2a2-λb2+(2λ-1)a·
b=0,
即-3λ+9=0,解得λ=3.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log2a)+f(loga)≤2f
(1),则a的取值范围为( )
A.[1,2]B.
C.(0,2]D.
选D 由题意可得f(log2a)≤f
(1),因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,所以≤a≤2.
5.设P是左、右顶点分别为A,B的双曲线x2-y2=1上的点,若直线PA的倾斜角为,则直线PB的倾斜角是( )
A.B.
C.D.
选C 由题意可得A(-1,0),B(1,0),直线PA:
y=-(x+1),与x2-y2=1联立可得P(-2,),所以直线PB的斜率k=-,则直线PB的倾斜角为.
6.已知a,b,c均为正数,且(a+c)(b+c)=2,则a+2b+3c的最小值为( )
A.B.2
C.4D.8
选C 因为a,b,c均为正数,且(a+c)(b+c)=2,
所以a+2b+3c=(a+c)+2(b+c)≥2=4,
当且仅当a+c=2(b+c),即a=2b+c时,a+2b+3c取得最小值为4.
7.函数f(x)=cos2x+sin2x的图象向右平移个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到函数g(x),若存在x0,使得|g(x0)|≤a成立,则a的最小值为( )
A.3B.1
C.5D.2
选B f(x)=cos2x+sin2x=2sin,则g(x)=2sin2x-3,
则g(x)∈[-5,-1],所以|g(x)|∈[1,5],
若存在x0,使得|g(x0)|≤a成立,则|g(x)|min≤a,
所以1≤a,即a的最小值为1.
8.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为+π,则a的值为( )
A.B.1
选B 由三视图可知,该几何体是组合体,一个是三棱锥,一个是半圆柱,所以该几何体的体积V=×
×
2a×
a+×
πa2×
2=+π,所以a=1.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn=ln,则ea7+a8+a9=( )
选B 因为Sn=ln=ln,
由an=Sn-Sn-1(n≥2),可得a7+a8+a9=S9-S6=ln-ln=ln,
所以ea7+a8+a9=e=.
10.设直线xcosθ-ysinθ+2cosθ=0(θ∈[0,π))与关于x,y的不等式组所表示的平面区域有公共点,则θ的取值范围为( )
A.∪{0}B.
C.∪{0}D.∪{0}
选A 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,
当θ=0时,直线为x=-2,符合题意.
当θ≠0时,直线可化为y=(x+2),
其恒过定点(-2,0),要满足条件,
结合图易知≤1,解得θ∈,
综上,θ=0或≤θ<
π.
11.菱形ABCD的对角线相交于点O,其中AO=,P是△BCD内(包括边界)一动点,则·
的取值范围是( )
A.[15,20]B.[10,20]
C.[10,20]D.[5,10]
选B 以O为原点,OD所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,),C(0,-),设P(x,y),
则=(x,y-),=(0,-2),·
=-2y+10,
当点P在△BCD内移动时,-≤y≤0,所以·
∈[10,20].
12.已知函数f(x)=a-2lnx(a∈R),g(x)=-,若至少存在一个x0∈[1,e],使f(x0)>
g(x0)成立,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.(0,+∞)
C.[0,+∞)D.(1,+∞)
选B 令h(x)=f(x)-g(x)=ax-2lnx,
因为“至少存在一个x0∈[1,e],使f(x0)>
g(x0)成立”,
所以h(x)=f(x)-g(x)>
0有解,即a>
有解,所以a>
min.
令u(x)=,则u′(x)=≥0在[1,e]恒成立,
∴u(x)min=u
(1)=0,则a>
0.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1与抛物线y2=-12x有相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________.
由抛物线方程可得焦点坐标为(-3,0),
所以c=3,则a2=c2-1=8,
则双曲线的两条渐近线的方程为y=±
x.
答案:
y=±
x
14.在数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}前12项和等于________.
法一:
∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,a8-a7=13,a9+a8=15,a10-a9=17,a11+a10=19,a12-a11=21,
∴从第一项开始,相邻的两个式子作差得:
a1+a3=a5+a7=a9+a11=2,
即依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,
相邻的两个式子相加得:
a4+a2=8,a6+a8=24,a12+a10=40,
即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.
以上式子相加可得,
S12=a1+a2+…+a12=(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)
=3×
2+8+24+40=78.
法二:
由题意,当n为奇数时,an+1-an=2n-1,an+2+an+1=2n+1,
两式相减得an+2+an=2;
当n为偶数时,an+1+an=2n-1,an+2-an+1=2n+1,
两式相加得an+2+an=4n.
所以S12=(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)
=2×
3+4(2+6+10)=78.
78
15.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:
(x-1)2+y2=2,圆C2:
(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在点P满足:
过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围为________.
由已知得,C1(1,0),C2(m,-m),作出示意图如图所示,由题意可得|PA|2=|PG|·
|PC1|,
又|PA|2=|PC1|2-2,
所以|PG|=,
|AG|==,
所以S△PAB=2×
=1,
令=t(t≥0),化简可得t3-t2-4=0,解得t=2,
即=2,所以|PC1|=2,
因为圆C2:
(x-m)2+(y+m)2=m2的点P到C1距离的最小值为
|C1C2|-m=-m,
最大值为|C1C2|+m=+m,
由-m≤2≤+m,
解得1≤m≤3+2,所以正数m的取值范围为[1,3+2].
[1,3+2]
16.若函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为________.
由题意可知,函数y=f(f(x))-1的零点,即为f(f(x))-1=0的解,
则或则f(x)=0或f(x)=2,显然或
解得x=1或x=4,故所求零点个数为2.
2
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f=,且sinB+sinC=,求bc的值.
解:
(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-
=sin2x+cos2x=2sin,
因此f(x)的最小正周期为T==π.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由f=2sin=2sinA=,且A为锐角,所以A=.
由正弦定理可得2R===,
sinB+sinC==,
则b+c=×
=13,
所以cosA===,
所以bc=40.
18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn=k·
3n-m,且a1=3,a3=27.
(1)求证:
数列{an}是等比数列;
(2)若anbn=log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)证明:
∵Sn=k·
3n-m,
∴S1=a1=3k-m=3,a3=S3-S2=18k=27,
解得k=m=,
则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=·
3n-·
3n-1=3n.
又a1=3,∴∀n∈N*,an=3n,
则有=3为常数,故由等比数列的定义可知,数列{an}是等比数列.
(2)∵anbn=log3an+1,∴bn=,
则Tn=+++…++,
∴Tn=+++…++,
两式相减,得
Tn=+-
=+-=-,
所以Tn=.
19.(本小题满分12分)如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点.
平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若该三棱柱所有的棱长均为2,求三棱锥B1AEF的体积.
∵B1B⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,
∴B1B⊥AE.
∵AB=AC,E为BC的中点,∴AE⊥BC.
∵B1B∩BC=B,B1B⊂平面B1BCC1,BC⊂平面B1BCC1,
∴AE⊥平面B1BCC1.
∵AE⊂平面AEF,
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)∵VB1AEF=V,AE=,
S△B1EF=S▱B1BCC1-S△B1BE-S△FEC-S△FB1C1
=4-1--1=,
∴VB1AEF=VAB1EF=×
=.
20.(本小题满分12分)已知椭圆E:
+=1(a>
b>
0)的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且=λ,λ∈[-2,-1],以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC长度的最小值.
(1)由题意,
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