届高三新课标版数学文二轮专题复习专题十八 数系的扩充与复数的引入Word下载.docx
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A.1-iB.1+i
C.-1-iD.-1+i
【答案】 A ∵=i(1-i)=1+i,∴z=1-i,故选A.
6.(2015·
课标Ⅱ,2,易)若a为实数,且=3+i,则a=( )
A.-4B.-3
C.3D.4
【答案】 D ∵==1++i=3+i,
∴1+=3,=1,∴a=4.
7.(2015·
课标Ⅰ,3,易)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
A.-2-iB.-2+i
C.2-iD.2+i
【答案】 C 依题意,z-1===1-i,所以z=2-i.选C.
8.(2015·
北京,9,易)复数i(1+i)的实部为________.
【解析】 ∵i(1+i)=-1+i,∴实部为-1.
【答案】 -1
9.(2015·
江苏,3,易)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为________.
【解析】 ∵z2=3+4i,
∴|z2|==5=|z|2,∴|z|=.
【答案】
1.(2014·
山东,1,易)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=( )
A.3-4iB.3+4i
C.4-3iD.4+3i
【答案】 A 由题意,a=2,b=-1,
∴(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.
2.(2014·
课标Ⅱ,2,易)=( )
A.1+2iB.-1+2i
C.1-2iD.-1-2i
【答案】 B ===-1+2i,故选B.
3.(2013·
湖南,1,易)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】 B z=i(1+i)=-1+i,故对应的点(-1,1)在第二象限.
4.(2012·
江西,1,易)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+2的虚部为( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
【答案】 A ∵z2+2=(1+i)2+(1-i)2=0,
∴z2+2的虚部为0,故选A.
5.(2011·
辽宁,2,易)i为虚数单位,+++=( )
A.0B.2iC.-2iD.4i
【答案】 A 由in(n∈N*)的周期为4知+++=+=+=0,故选A.
思路点拨:
本题考查复数的基本运算,利用in(n∈N*)的周期性可简化运算.
6.(2012·
陕西,4,中)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B ab=0⇒a=0或b=0,这时a+=a-bi不一定为纯虚数,但如果a+=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0,由此知选B.
7.(2014·
广东,10,中)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:
①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);
②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);
③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);
④z1*z2=z2*z1.
则真命题的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
【答案】 C 根据定义w1*w2=w12,可知,
①(z1+z2)*z3=(z1+z2)3=z13+z23=(z1*z3)+(z2*z3),故①正确;
②z1*(z2+z3)=z1(z2+z)=z1(2+3)=z12+z13=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确;
③(z1*z2)*z3=(z12)*z3=(z12)3=z1(23)=z1*(z2z3)≠z1*(z2*z3),故③不正确;
④z1*z2=z12≠z21=z2*z1,故④不正确,故选C.
8.(2014·
浙江,11,易)已知i是虚数单位,计算=__________.
【解析】 =====--i.
【答案】 --i
9.(2014·
江苏,2,易)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
【解析】 由题意得z=(5+2i)2=25+2×
5×
2i+(2i)2=21+20i,所以其实部为21.
【答案】 21
10.(2013·
江苏,2,中)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为________.
【解析】 方法一:
z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,∴|z|==5.
方法二:
|z|=|(2-i)2|=|2-i|2=22+(-1)2=5.
【答案】 5
11.(2013·
湖北,11,中)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.
【解析】 在复平面内,复数z=a+bi与点(a,b)一一对应.
∴点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+3i.
【答案】 -2+3i
考向1 复数的概念及运算
1.复数的相关概念
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,是实数;
当b≠0时,是虚数;
当a=0且b≠0时,是纯虚数.
(2)复数相等:
如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d;
a+bi=0⇔a=0且b=0.
(3)共轭复数:
a+bi(a,b∈R)与c+di(c,d∈R)互为共轭复数⇔a=c,b=-d.
2.复数的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
运算法则
运算形式
加法
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
减法
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
乘法
z1·
z2=(a+bi)·
(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法
===+i
(c2+d2≠0)
3.常用结论
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.
(2)(1±
i)2=±
2i,(a+bi)(a-bi)=a2+b2.
不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,并不能推出z1=z2=0.
(1)(2014·
陕西,3)已知复数z=2-i,则z·
的值为( )
A.5B.C.3D.
(2)(2014·
辽宁,2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( )
A.2+3iB.2-3i
C.3+2iD.3-2i
(3)(2014·
湖南,11)复数(i为虚数单位)的实部等于________.
【解析】
(1)∵z=2-i,∴=2+i,∴z·
=(2-i)(2+i)=22+1=5,故选A.
(2)∵(z-2i)(2-i)=5,∴z=+2i=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.故选A.
(3)==-3-i,其实部为-3.
【答案】
(1)A
(2)A (3)-3
复数的相关概念与运算技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键.
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.
(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则,但可以通过对代数式结构特征的分析,灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程.
福建,2)复数(3+2i)i等于( )
A.-2-3iB.-2+3i
C.2-3iD.2+3i
广东,2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=( )
A.3+4iB.3-4i
C.-3+4iD.-3-4i
(1)
【答案】 B (3+2i)i=3i+2i2=-2+3i,故选B.
(2)
【答案】 A 由(3-4i)z=25,得z===3+4i,故选A.
考向2 复数的几何意义及模的运算
1.复数的几何意义
(1)复数加法的几何意义:
复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则;
(2)复数减法的几何意义:
复数的减法即向量的减法,满足三角形法则.
2.复数的模
向量的长度r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|,即|z|=|a+bi|=.
3.模的运算性质
(1)|z|2=||2=z·
;
(2)|z1·
z2|=|z1||z2|;
(3)=.
重庆,1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
课标Ⅰ,3)设z=+i,则|z|=( )
A.B.
C.D.2
【解析】
(1)实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限.
(2)因为z=+i=+i=+i=+i,所以|z|===,故选B.
【答案】
(1)B
(2)B
与复数几何意义、模有关的解题技巧
(1)只要把复数z=a+bi(a,b∈R)与向量对应起来,就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题.
(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.
江西,1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=( )
A.1B.2
C.D.
(2)(2013·
广东,3)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A.(2,4)B.(2,-4)
C.(4,-2)D.(4,2)
【答案】 C 由z(1+i)=2i知z====1+i,所以|z|==,故选C.
【答案】 C 由iz=2+4i,得z==4-2i,所以z对应的点的坐标是(4,-2).
河北石家庄二模,2)设i是虚数单位,则复数的共轭复数是( )
A.+iB.-i
C.-iD.+i
【答案】 D 令z====-i,∴=+i.
山东菏泽一模,2)已知复数z=,则( )
A.|z|=2
B.z的实部为1
C.z的虚部为-1
D.z的共轭复数为1+i
【答案】 C z====-1-i,所以|z|=|-1-i|=,z的实部为-1,z的虚部为-1,z的共轭复数为-1+i,故选C.
3.(2014·
山西大同二模,2)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)·
|=( )
A.B.2
C.D.1
【答案】 A 方法一:
|(1-z)·
|=|1-z|||=|2+
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