n阶行列式的计算方法Word文档下载推荐.docx
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4−3×
2=−2
例2计算三阶行列式D=
−3
8
−1
D=
4−38
(−3)×
2+2×
8×
0+0×
4×
(−1)−0×
0−2×
2−1×
(−1)
=−14
2.利用n阶行列式的定义
a11
a12
⋯a1n
n阶行列式D=
a21
a22
⋯a2n
=∑(−1)τa1p1a2p2⋯anpn
⋮
(p1p2⋯pn)
an1
an2
⋯ann
其中τ=τ(p1
p2⋯pn),求和式中共有n!
项。
显然有
上三角形行列式D=
⋯a2n
=a11a22⋯ann
⋱
ann
下三角形行列式D=
λ1
对角阵D=
λ2
=λ1
λ2⋯λn
λn
另外D=
n(n−1)
=(−1)2
⋰
例3
计算行列式
⋯0
⋯2
Dn=
n−1⋯0
n
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1n−1a2n−2⋯an−11ann=n!
.
该项列标排列的逆序数t(n-1n-2…1n)等于(n−1)(n−2),故
Dn=(−1)
(n−1)(n−2)
n!
3.利用行列式的性质计算
性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DT。
注由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。
性质2交换行列式的两行(列),行列式变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零。
性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即
⋯a1n
⋯
⋯⋯⋯
D1=
kai1
kai2
⋯kain
=k
ai1
ai2
⋯ain
=kD。
⋯ann
第i行(列)乘以k,记为ri×
k(或ci×
k)。
推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。
性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,
a1n
bi1+ci1bi2+ci2
⋯bin+cin
则
bi1
bi2
⋯bin
+
ci1
ci2
⋯cin
=D1+D2。
性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变。
x
a⋯
例4
计算Dn
=
a
x⋯
r+(r+⋯+r)
12n
解Dn=[x+(n−1)a]
⋮。
⋯1
=[x+(n−1)a]
x−a⋯
⋯x−a
=[x+(n−1)a](x−a)n−1
例5一个n阶行列式Dn=aij的元素满足
aij=−aji,i,j=1,2,⋯,n,
则称Dn为反对称行列式,证明:
奇数阶反对称行列式为零.
证明:
由aij=−aji知aii=−aii,即
aii=0,i=1,2,⋯,n
故行列式Dn可表示为
a13
−a12
a23
−a13
−a23
⋯a3n
⋯⋯
−a1n
−a2n
−a3n
由行列式的性质D=DT
0−a12
⋯−a1n
⋯−a2n
⋯−a3n
a2n
a3n
⋯0
=(−1)n
⋯a3n
=(−1)nDn
当n为奇数时,得Dn=−Dn,因而得Dn=0。
4.利用行列式按行(列)展开
ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn
D
i=
j
j=1,2,⋯,
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- 行列式 计算方法