数学分析试题库计算题解答题答案Word格式文档下载.docx
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20.求下列函数的高阶微分:
设
,求
解因为
所以
21.
22.
令
两边对两边对
求导有
两边对
23.求由参量方程
所确定的函数的二阶导数
由含参量方程的求导法则有
求
即求参量方程
的导数
24.设
试求
解基本初等函数导数公式,有
应用莱布尼兹公式(
)得
.
25.试求由摆线方程
所确定的函数
的二阶导数.
解
26.求
到
项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
所以
项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
27.
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
-
+
不存在
递减,凹
极小值
-3
递增,凹
极大值
1
28.解
(1)
,故对任意正整数m,
在
连续.
(2)
,故当
时,
可导.
(3)先计算
的导函数.
,
由
(2)知,
,于是当
时,有
,所以当
29.解因为
,不满足柯西中值定理的条件,所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理.
30.证明
(1)对任何
,有
,故
是极小值点.
(2)当
,作数列
,则
.即在
的任何右邻域
内,既有数列
中的点,也有数列
中的点.并且
,所以在
内
的符号是变化的,从而
不满足极值的第一充分条件.又因为
,所以用极值的第二充分条件也不能确定
的极值.
31.答:
能推出
内连续.证明如下:
,取
,于是
,由题设,
上连续,从而在
连续.由
的任意性知,
内连续.
32.试求函数
上的最值和极值.
在闭区间
上连续,故必存在最大最小值.
令
得稳定点为
.又因
故
处不可导.列表如下
递减
递增
和
为极小值点,极小值分别为
为极大值点,极大值为
又在端点处有
所以函数在
处取最小值
在
处取最大值
33.求函数
上的最大最小值:
解得函数在
的稳定点为
而
所以函数在
的最大值和最小值分别为
34.确定函数
的凸性区间与拐点:
解得
当
,从而区间
为函数的凹区间,
为函数的凸区间.
并且
,所以
为曲线的拐点.
35.设
则
是有理数列.
点集
非空有界,但在有理数集内无上确界.
数列
递增有上界,但在有理数集内无极限.
36.设
有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.
满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.
37.不能从
中选出有限个开区间覆盖
.因为
中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为
则当
时,这有限个开区间不能覆盖
38.
39.令
40.
41.
42.令
则有
43.令
44.
45.
46.
47.
.其中和式是函数
上的一个积分和,所以
48.
.于是
49.以平面
截椭球面,得一椭圆
.所以截面积函数为
.于是椭球面的体积
50.化椭圆为参数方程:
.于是椭圆所围的面积为
51.
于是所求摆线的弧长为
52.根据旋转曲面的侧面积公式
可得所求旋转曲面的面积为
53.因为
于是无穷积分
收敛,其值为
54.因为
55.因为
从而级数
的部分和为
于是该级数收敛,其和为
56.因为
且级数
收敛,所以级数
收敛.
57.因为
由根式判别法知级数
58.因为
发散,故原级数不绝对收敛.但
单调递减,且
由莱布尼茨判别法知级数
条件收敛.
59.因为
时,
于是.所以级数
的部分和数列
时有界,从而由狄利克雷判别法知级数
收敛;
同法可证级数
上收敛.
又因为
级数
发散,
收敛,于是级数
发散,由比较判别法知级数
发散.所以级数
60.判断函数项级数
在区间
上的一致收敛性.
解记
.则有ⅰ>
级数
ⅱ>
对每个
↗;
ⅲ>
对
成立.由Abel判别法,
上一致收敛.
61.
.讨论函数列{
}的一致收敛性.
0,
.|
―0|
.可求得
函数列{
}在区间
上非一致收敛.
62.函数列
上是否一致收敛?
由于
.当
时,只要
,就有
,故在
上有
.于是函数列(8)在
上的极限函数
,又由于
所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛.
63.
在R内是否一致收敛?
解显然有
在点
处取得极大值
.由系2,
不一致收敛.
64.函数列
时,只要
就有
.因此,在
.于是,在
.但由于
因此,该函数列在
上不一致收敛.
65.求幂级数
的收敛域.
是缺项幂级数.
.收敛区间为
时,
通项
.因此,该幂级数的收敛域为
66.计算积分
精确到
因此,
上式最后是Leibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使
可取
.故从第
项到第
项这前7项之和达到要求的精度.于是
67.把函数
展开成
的幂级数.
解
.
68.求幂级数
的和函数.
解法一收敛域为
设和函数为
则有
解法二
69.展开函数
70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数
(i)
(ii)
解
(1)(i)函数
及其周期延拓后的图象所示.显然
是按段光滑的,故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于
所以在区间
上
(ii)函数
时
上
71.设
是以
为周期的分段连续函数,又设
是奇函数且满足
试求
的Fourier系数
的值,
解由
是奇函数,故
是偶函数,再由
,故有
.
作变换
所以,
72.设
以
为周期,在区间
内,
试求
的Fourier级数展开式。
解由Fourier系数的计算公式,
.
又
满足Fourier级数收敛的Dirichlet条件,
73.设
求在
的以
为周期的Fourier级数展开式.
解注意到
因此
由
内分段单调,连续,且
故在
内
74.设
为周期的连续函数,其Fourier系数为
.试用
表示函数
的Fourier系数
75.试求极限
76.试求极限
77.试求极限
解由于
又
78.试讨论
解当点
沿直线
趋于原点时,
当点
沿抛物线线
趋于原点时,
因为二者不等,所以极限不存在.
79.试求极限
=
80.
有连续的偏导数,求
解令
则
81.
求
82.求抛物面
处的切平面方程与法线方程。
解由于
处
所以,切平面方程为
即
法线方程为
83.求
处的泰勒公式.
解由
得
84.求函数
解由于
解得驻点
是极小值点,极小值为
85.叙述隐函数的定义.
答:
设
,函数
对于方程
若存在集合
与
,使得对于任何
,恒有唯一确定的
,使得
满足方程
则称由方程
确定了一个定义在
上,值域含于
的隐函数。
一般可记为
且成立恒等式
86.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答
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