高考数学一轮复习 131抽样方法与总体分布的估计精品讲义 理 新人教A版Word文档格式.docx
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分层抽样
将总体分成若干层,按个体个数的比例抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体中个体有明显差异
(1)从含有N个个体的总体中抽取n个个体的样本,每个个体被抽到的概率为
(2)系统抽样的步骤:
①将总体中的个体随机编号;
②将编号分段;
③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;
④按照事先研究的规则抽取样本.
(3)分层抽样的步骤:
①分层;
②按比例确定每层抽取个体的个数;
③各层抽样;
④汇合成样本.
2.总体估计
①在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体
②样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.反映频率分布的图表有样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图、频率折线图、茎叶图等.
③从总体中抽取一个个体,就是一次随机试验,从总体中抽取一个容量为n的样本,就是进行了n次试验,试验连同所出现的结果叫随机事件,所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
④样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线
⑤方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征,一般地,设一组样本数据,,…,,其平均数为,则方差,标准差
⑥样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
★重难点突破★
重点:
弄清楚三种抽样方法的相同与相异之处;
能读懂频率分布直方图等各种数据图表;
会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.
难点:
从样本数据中提取出基本的数字特征,并给出合理解释
重难点:
三种抽样方法的特点及通过各种数据图表,分析和处理数据
1.弄清三种抽样方法的特点、联系与区别是正确选择抽样方法的前提
问题1:
某市进行一次大型高三调研考试,在每间试室抽取一个学生的成绩作样本,采用的抽样方法是;
为了解该市A、B、C三类学校的学生答卷情况,采用的抽样方法为
解析:
考虑到学生多、个体差异不明显,采用系统抽样,第二种情形由于个体差异明显,采用分层抽样
2.要懂得从图表中提取有用信息
如:
在频率分布直方图中
①小矩形的面积=组距=频率
②众数最高矩形的中点的横坐标
③中位数的左边与右边的直方图的面积相等,可以由此估计中位数的值
★热点考点题型探析★
考点1随机抽样
题型1:
抽样方法的选取
[例1](xx·
湖南)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;
在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法
【解题思路】采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。
[解析]当总体中个体较多时宜采用系统抽样;
当总体中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;
当总体中个体较少时,宜采用随机抽样.
依据题意,第①项调查中,总体中的个体差异较大,应采用分层抽样法;
第②项调查中,总体中个体较少且无明显差异,应采用简单随机抽样法.故选B.
【名师指引】深刻理解三种抽样方法的特点及适用范围
【新题导练】
1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况,从中抽查了100名运动员的年龄,就这个问题来说,下列说法正确的是
A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100
[解析]D
2.一个总体中共有10个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本,则某特定个体入样的概率是
[解析][简单随机抽样为等概率抽样]
3.某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是()
(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法(D)分层抽样法
【解析】D[个体差异明显、按比例抽样]
题型2:
实施抽样过程中的计算问题
[例2](xx·
福建)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是___________.
【解题思路】研究“事先制定的规则”,按照规则抽取样本
[解析]“事先制定的规则”是“如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同”
∵m=6,k=7,m+k=13,∴在第7小组中抽取的号码的个位数是3,又第7小组的十位数是6,∴在第7小组中抽取的号码是63.
【名师指引】要研究清楚各种抽样方法在实施过程中的步骤、规则
[例3]某单位有职工160名,其中业务人员120名,管理人员16名,后勤人员24名.为了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法,抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________.
[解析]分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取.
∵120∶16∶24=15∶2∶3,又共抽出20人,
∴各层抽取人数分别为20×
=15人,20×
=2人,20×
=3人.
答案:
15人、2人、3人
【名师指引】计算公式:
某部分抽样人数
4.(xx佛山二模)当前,我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为().
A.40B.30C.20D.36
【解析】B
5.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多______人。
【解析】60[由上表得]
6.从个编号抽取个号码入样,考虑用系统抽样的方法抽样,则抽样距为()
A.B.C.D.
【解析】C.[先剔除若干个体,再分组,使为整数]
考点2总体估计
题型1从图表中获取信息
[例4](xx·
广东)图l是某县参加xx年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位:
)在[150,155)内的学生人数).图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180(含160,不含180)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.B.C.D.
【解题思路】先从图1读出需要统计的数据,再从图2读出终止条件
[解析]从条形统计图可以得出:
身高在160~180(含160,不含180)的学生人数为,故终止条件为
统计与算法综合题,读图是关键,选C
【名师指引】统计图表包含:
样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图、频率折线图、茎叶图等,从图表中获取信息是一项基本要求
7、(xx广州一模)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了
11场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示,
则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为()
A.19、13B.13、19C.20、18D.18、20
[解析]A
8.(xx汕头一模)某校为了了解学生的课外阅读情况,随即调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示。
根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()。
A.0.6小时B.0.9小时
C.1.0小时D.1.5小时
[解析]B
50名学生阅读总时间为45,平均阅读时间0.9小时
9.(xx揭阳调研)统计某校1000名学生的数学会考成绩,
得到样本频率分布直方图如右图示,规定不低于60分为
及格,不低于80分为优秀,则及格人数是;
优秀率为。
解析:
800;
20%
样本特征数的计算
[例5]为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。
已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。
天数
151~180
181~210
211~240
241~270
271~300
301~330
331~360
361~390
灯泡数
1
11
18
20
25
16
7
2
【解题思路】先计算样本的平均值、标准差,再对总体进行估计
[解析]用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命。
各组中值分别为165,195,225,285,315,345,375,由此算得平均数约为165×
1%+195×
11%+225×
18%+255×
20%+285×
25%+315×
16%+345×
7%+375×
2%=267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
1/100×
[1×
(165-268)2+11×
(195-268)2+18×
(225-268)2+20×
(255-268)2+25×
(285-268)2+16×
(315-268)2+7×
(345-268)2+2×
(375-268)2]=2128.60(天2).
故所求的标准差约(天)
答:
估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
【名师指引】弄清计算原理、提高计算能力
10、从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取袋,测得各袋的质量分别为(单位:
):
492
496
494
495
498
497
501
502
510
503
506
511
507
500
499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为_____.
[解析]样本频率为0.25,估计概率约为0.25
11、(xx上海)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是
[解析]
,平均数为10,要使该总体的方差最小,只需最小,
题型3:
绘制图表
[例1]
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