二次函数旋转折叠Word格式.docx
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二次函数旋转折叠Word格式.docx
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(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标.
3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中,
(1)如图①,当点E在射线CB上时,E点坐标为;
(2)当△CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是(a为锐角时);
(3)如图②,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;
(4)如图③,当旋转角a=90°
时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上.
4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°
,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下列问题:
(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线BB′翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;
(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.
5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°
.
(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;
(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题
(1)所求的抛物线的图象上;
(3)将题
(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.
6、如图抛物线y=ax2+ax+c(a≠0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(-1,2).
(2)在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?
若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;
(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将△CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?
请指出并证明你的结论.
7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和
B(5,0),连接AB.
(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°
,得到△COD,(点A落到点C处),请画出△COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;
(2)将
(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?
如果存在,请求出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
8、在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.
(1)当α=60°
时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.
(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.
(3)当α=90°
时,如图乙.请探究:
经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.
9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°
,得到矩形DEFG(如图1).
(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;
(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示.
①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与
(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?
如果不变,求出其值;
②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:
是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?
若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;
若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).
10、如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;
若不存在,请说明理由.
11.已知如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD.
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°
后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q.问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?
若存在,求出P点坐标;
若不存在,请说明理由.
二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)答案
(3)设
(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.
[解析]
(1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得;
(2)根据旋转的知识可得:
A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后的抛物线解析式为:
y=x2-3x+1;
(3)首先求得B1,D1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想.
2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.
【解析】
(1)本题需先根据题意把A(-2,4)和点B(1,0)代入抛物线y=mx2+2mx+n中,解出m、n的值即可.
(2)本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式,再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式.
(3)本题需根据平移与菱形的性质,得到A′、B′的坐标,再过点A′作A′H⊥x轴,得出BH和A′H的值,再设菱形AA′B′B的中心点M,作MG⊥x轴,根据中位线性质得到MG、BG的值,最后求出点M的坐标.
(1)依题意得点E在射线CB上,横坐标为4,纵坐标根据勾股定理可得点E.
(2)已知∠BCD=60°
,∠BCF=30°
,然后可得∠α=60°
(3)设CG=x,则EG=x,FG=6-x,根据勾股定理求出CG的值.
(4)设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a(x-4)2,把点A的坐标代入求出a值.当x=7时代入函数解析式可得解.
,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下列问题:
(1)根据四边形OABC是矩形,A(3,0),C(0,1)求出B′的坐标,设直线BB′的解析式为y=mx+n,利用待定系数法即可求出此直线的解析式,进而可得出M、N两点的坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式;
(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,由对称的性质可得出OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,再由勾股定理求出MN的长,由三角形的面积公式得出OE的长,利用两点间的距离公式求出x、y的值,把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可;
(3)由于抛物线移动的方向不能确定,故应分三种情况进行讨论.
【解答】
(3)①在上下方向上平移时,根据开口大小不变,对称轴不变,
所以,二次项系数和一次项系数不变,
根据它过原点,把(0,0)这个点代入得常数项为0,
新解析式就为:
y=-12x2+2x;
②在左右方向平移时,开口大小不变,二次项系数不变,为-12,
这时根据已经求出的C′(-1,0),M(5,0),可知它与X轴的两个交点的距离还是为6,
所以有两种情况,向左移5个单位,此时M与原点重合,另一点经过(-6,0),
代入解出解析式为y=-12x2-3x;
③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合,此时另一点过(6,0),
所以解出解析式为y=-12x2+3x.
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- 二次 函数 旋转 折叠