北师大八年级数学上册总复习知识点+例题Word格式.docx
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的直角三角形;
若时,△ABC是锐角三角形;
若时,△ABC是钝角三角形.
2.勾股数
满足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数:
①3、4、5;
②5、12、13;
③8、15、17;
④7、24、25;
⑤9、40、41.
如果()是勾股数,当t为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征:
1.较小的直角边为连续奇数;
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为,且,那么存在成立.(例如④中存在=24+25、=40+41等)
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关.
类型一、勾股定理及逆定理的应用
例1、如图所示,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°
,E、F为AB上两点(E左F右),且∠ECF=45°
,求证:
.
举一反三:
【变式】已知凸四边形ABCD中,∠ABC=30°
,∠ADC=60°
,AD=DC,
求证:
例2、如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
例3、如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
例4、如图:
正方形ABCD中,E是DC中点,F是EC中点.求证:
∠BAF=2∠EAD.
【变式】如图所示,在△ABC中,AB:
BC:
CA=3:
4:
5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动;
点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,问过3秒时,△BPQ的面积为多少?
类型三、勾股定理的实际应用
例5、如图所示,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC=400米,BD=200米,CD=800米,牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水,所走路程最短?
最短路程是多少?
【变式】如图所示,正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最短.求EP+BP的最小值.
例6、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处,在沿海城市福州A的正南方向240千米,其中心风力为12级,每远离台风中心25千米,台风就会减弱一级,如图所示,该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°
方向向C移动,且台风中心的风力不变,若城市所受风力达到或超过4级,则称受台风影响.试问:
(1)该城市是否会受到台风影响?
请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
《实数和二次根式》全章复习与巩固
要点一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根,且互为相反数;
零的平方根为零;
负数没有平方根;
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零;
重要结论
要点二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
(1)所有的实数分成三类:
有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.
(2)无理数分成三类:
①开方开不尽的数,如,等;
②有特殊意义的数,如π;
③有特定结构的数,如0.1010010001…
(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内,正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式:
(1)任何一个实数的绝对值是非负数,即||≥0;
(2)任何一个实数的平方是非负数,即≥0;
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即().
非负数具有以下性质:
(1)非负数有最小值零;
(2)有限个非负数之和仍是非负数;
(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是-;
一个正实数的绝对值是它本身;
一个负实数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:
先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1.实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;
法则2.正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小;
法则3.两个数比较大小常见的方法有:
求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法.
要点三、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如的式子叫做二次根式,如等式子,都叫做二次根式.
二次根式有意义的条件是,即只有被开方数时,式子才是二次根式,才有意义.
2.二次根式的性质
(1);
(2);
(3).
(1)一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即(),如().
(2)中的取值范围可以是任意实数,即不论取何值,一定有意义.
(3)化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简.
(4)与的异同
不同点:
中可以取任何实数,而中的必须取非负数;
=,=().
相同点:
被开方数都是非负数,当取非负数时,=.
3.最简二次根式
(1)被开方数是整数或整式;
(2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
最简二次根式有两个要求:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式.
判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开方数是否相同,再判断.如与,由于=,与显然是同类二次根式.
要点四、二次根式的运算
1.乘除法
(1)乘除法法则:
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式:
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式:
(1)当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则,如.
(2)被开方数一定是非负数(在分母上时只能为正数).
如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后,将同类二次根式的系数相加减,被开方数和根指数不变,即合并同类二次根式.
二次根式相加减时,要先将各个二次根式化成最简二次根式,再找出同类二次根式,最后合并同类二次根式.如.
例1、已知,求的值.
例2、已知实数x、y满足,求2x﹣的立方根.
类型二、与实数有关的问题
例3、已知是的整数部分,是它的小数部分,求的值.
【变式】已知5+的小数部分为,5-的小数部分为,则+的值是;
-的值是_______.
【变式】实数在数轴上的位置如图所示,则的大小关系是:
;
例5、阅读材料:
学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:
估算的近似值.
小明的方法:
∵,设().∴.
∴.∴.解得.∴.
问题:
(1)请你依照小明的方法,估算的近似值;
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:
已知非负整数、、,若,且,则_________________(用含、的代数式表示);
(3)请用
(2)中的结论估算的近似值.
类型四、二次根式概念及运算
例6、计算:
5+﹣×
+÷
.
【变式】.
例7、已知为△ABC的三边长,化简
例8、若,化简.
【变式】当.
《平面直角坐标系》全章复习与巩固
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义,规定了顺序并放在一起就形成了有序数对,人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思,如某人记录某个月不确定周期的零散收入,可用(13,2000),(17,190),(21,330)…,表示,其中前一数表示日期,后一数表示收入,但更多的人们还是用它来进行空间定位,如:
(4,5),(20,12),(13,2),…,用来表示电影院的座位,其中前一数表示排数,后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系,如下图:
(1)坐标平面内的点可以划分为六个区域:
x轴,y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,这六个区域中,除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外,其他区域之间均没有公共点.
(2)在平面上建立平面直角坐标系后,坐标平面上的点与有序数对(x,y)之间建立了一一对应关系,这样就将‘形’与‘数’联系起来,从而实现了代数问题与几何问题的转化.
(3)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征:
①x轴上的点纵坐标为零;
y轴上的点横坐标为零.
②平行于x轴直线上的点横坐标不相等,纵坐标相等;
平行于y轴直线上的点横坐标相等,纵坐标不相等.
③关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称的点纵坐标相等,横坐标互为相反数;
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.
④象限角平分线上的点的坐标特征:
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.
注:
反之亦成立.
(4)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论:
①坐标平面内点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|.
②x轴上两点A(x1,0)、B(x2,0)的距离为AB=|x1-x2|;
y轴上两点C(0,y1)、D
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- 北师大 八年 级数 上册 复习 知识点 例题